第五节+数据处理

第五节数据处理定义：数据处理就是用简明而严格的方法把实验数据所代表的事物的内在规律性提炼出来。它是获得数据到结果，包括记录、整理、计算、分析等内在的一个加工的过程。数据处理方法很多，主要讲列表法、作图法、逐差法和最小二乘法。次数12345低精度信号源f(Hz)25.050.075.0100.0125.0高精度信号源f(Hz)26.148.077.0100.0124.0修正值(Δf)1.1-2.02.00.0-1.0一、列表法列表法就是在记录和处理数据时，将原始数据（有时还把运算的中间项）列成表格。要求：要把原始数据和必要的运算过程中的中间结果引入表中。必须标明各符号所代表的物理量的意义，并写明单位。表中的数据要正确地反映测量结果的有效数字。次数123456789105.010.015.020.025.030.335.040.045.050.010.310.5110.6410.7910.9411.0811.2211.3611.5311.66通过测量温度t和在温度t下铜的电阻Rt来测量铜的电阻温度系数，得到t与Rt的数据列表如下：）关系温度（）电阻（tRt~)(样品：铜)(Ct)(tR表中数据均为有效数字优点：1.简单而明确地表示相关各物理量之间的关系。2.便于对比检查测量与运算结果是否合理。3.便于发现和分析问题，有助于从中找出规律性的联系和找出经验公式。二、作图法二、作图法作图法就是把一系列数据之间的关系或其变化情况用图线直观地表示出来的一种方法，它是研究物理量之间的变化规律，找出对应的函数关系，求出经验公式的最常用的方法之一。1.作图的应用A.图线是依据许多数据点描出的平滑曲线，因而具有取平均的效果，从图线我们可以看出偶然误差的大小以及判断是否存在系统误差。。。。。。。B.直接得到经验公式(求斜率与截距）从实验得出的一系列数据为线性关系或近似为线性关系时，可用一直线作为其图线。根据实验数据得到直的图线过程叫直线拟合，数据应分布在直线两边。直线方程为ybxa斜率为截距为此法称为三点法，三个点为非实验点.截距为211221xyxyaxx2121yybxx213321yyayxxxC.内插与外推从图线可得到非测量点的数据。如图所示：利用内插或外推使测量范围得到了扩展，并且方便快捷、避免了复杂的计算。*当数据在测量范围内时为内插（X1,Y1）*当数据在测量范围外时为外推（X2,Y2）注意：实验图线是不能随意延伸，不能认定在一定范围内得到的规律一定可以适应于另一范围。D.校正曲线一信号源的输出频率有较大的误差，可利用高精度的信号源对它进行校正，校正结果如下：利用校正曲线可以提高仪器的准确度。注意：校正曲线是折线图，相邻的数据点用直线连接。E.曲线改直从实验得出的数据常近似满足一定的非线性函数关系，给实验数据找到合适的非线性函数图线的过程叫曲线拟合。很多非线性函数关系可通过适当变换成为线性关系，把这种变换称为曲线改直。为常数、幂函数baaxyb,).1(。，截距为斜率为的线性函数，为则abxyaxbylglglg,lglglg为常数。、baaeybx,).2(为常数。、baabyx,).3(。，截距为斜率为的线性函数，为则abxyabxylnln,lnln。，截距为斜率为的线性函数，为则abxyaxbylglglg,lg)(lglg为常数。CCI,).4(。斜率为的线性函数，为则CI,CI11为常数。ppxy,2).5(2。斜率为的线性函数，为则pxy,xpy222121a、b为常数。,bxax(6).y为常数。、avattvS020,21).7(斜率为a，截距为b。的线性函数，x1为y1b,x1ay1则。，截距为斜率为的线性函数，为则002,21vattsatvts测量单摆的周期T随摆长L的变化，函数关系为：224TgLL~T曲线为抛物线。若进行曲线改直作L~T2曲线。结果将得到一条通过原点的直线。其斜率等于24g。由此可算出试验所在地的重力加速度g电容的放电过程RcteQq式中R或c为未知量，可以用作图的方法确定。两边取对数得：QLntRcqLn1作曲线，设图线的斜率为截距为。由此可算出电路参数R和c。tqLn~Rc1QLn2.作图规则①决定作图参量、选取坐标纸。作图一定要用坐标纸，测量数据中的可靠数字在图上也应是可靠的，即图纸上一小格对应数据中可靠数字的最后一位，而误差位在小格之间估计。2.作图规则②标明坐标轴和图名2.作图规则③标点若同时有几条线，分别用“x”“+”“0”“∆”“□”“I”等标点，通常不用园点“•”，特别是小圆点“.”，图线绘制时应准确落在标记的中心上。2.作图规则④连线说明：如果图线是反映物理量之间关系的，画出拟合直线或连成光滑曲线，校正曲线画成折线，同一图上要画几条曲线，可以分别用不同虚实线或不同颜色画出来。3.作图举例直角坐标举例。测得铜电阻与温度对应的一组数据如表所示，试用直角坐标作图表示出电阻与温度的函数关系。测量次数12345678910铜电阻Rt10.2010.3510.5110.6410.7610.9411.0811.2211.3611.53温度t0.05.010.015.020.025.030.035.040.045.0)()(C在图中任选两点和，将两点代入式中可得：最后，得到电阻随温度的变化关系为：)(20.100314.0tRc)/(0314.00.130.4860.1070.11Cb由于有x=0的坐标点，故)(20.10a)70.11,0.48(1P)60.10,0.13(2P用电势差计校准量程为1mV的毫伏表，测量数据如下（表中单位均为mV）。在如图所示的坐标中画出毫伏表的校准曲线，并对毫伏表定级别。毫伏表读数0.1000.2000.3000.4000.500电势差计读数0.10500.21500.31300.40700.5100修正值△U0.0050.0150.0130.0070.0100.6000.7000.8000.9001.0000.60300.69700.78500.89201.00700.003-0.003-0.015-0.0080.007毫伏表读数电势差计读数修正值△U例4：%5.1%10000.1015.0%100%amax量程毫伏表的级别为：为1.5级表三、逐差法1.逐差法的含义把实验测量数量（因变量）进行逐项相减或依顺序分为两组实行对应项测量数据相减之差作因变量的多次测量值。然后求出最佳值——算术平均值的处理数据的方法。次数（K）12345678910电压V（V）02.004.006.008.0010.0012.0014.0016.0018.00电流I（mI）02.043.956.038.029.9611.9713.9816.0418.062.041.912.081.991.942.012.012.062.029.969.9310.0310.0110.04伏安法测电阻,试用逐差法求出电流I的最佳值并算出电阻R)(1mAIIKK)(5mAIIKK①.若按逐项相减，则有111)(1101nkkkIII9102312...1101IIIIII1101101IIIVR解：根据伏安公式次数（K）12345678910电压V（V）02.004.006.008.0010.0012.0014.0016.0018.00电流I（mI）02.043.956.038.029.9611.9713.9816.0418.062.041.912.081.991.942.012.012.062.029.969.9310.0310.0110.04②.若按顺序分为两组（1~5为一组，6~10为一组）mAI99.9596.993.903.1001.1004.10实行对应项相减，其结果如表：可以利用这种分组法计算因变量的平均值根据欧姆定律得)(1000.11099.900.2533IVR)(1mAIIKK)(5mAIIKK)(I2.有关逐差法的几点说明③使用条件：自变量等间隔变化（对一次逐差必须是线性关系，否则先进行曲线改直）用数据进行直线拟合（一次逐差）②优点：充分利用测量数据（取平均的效果）①作用：验证函数是否线性关系（一次逐差）④如果测量数据不是偶数，计算时就要去掉头、尾或中间一组数据。⑤计算不确定度时，把两个数据的差作为直接测量量来计算不确定度，在数据较少时（如7个数据，逐差后剩3个）仪器误差一般要按照常值1.4倍计算。四、最小二乘法近似计算法比较：作图法：直观、简便。但主观随意性大（粗略）逐差法：粗略的近似计算方法（要满足一定条件）回归分析法：最准确的计算方法1.回归分析法定义：由数理统计的方法处理数据，通过计算确定其函数关系的方法。步骤：1.推断函数形式（回归方程）2.由实验数据确定参数a、b、c等的最佳值。3.根据实验数据检验函数关系是否合理。y=aebx+c(指数关系）如y=a+bx(线性关系）2.用最小二乘法进行一元线性回归（1）最小二乘法原理给定函数关系为y=a+bx最小乘数a和b的值是能使各次测量值误差平方和为最小的那个值。数学表达式为：Kiiyy12min)(（2）一元线性回归（直线拟合）函数形式bxay（1）实验数据为.......,......,2121kkyyyxxx对应由于x和y的测量存在误差，将kkyyyxxx......,......,2121和代入（1）式，等式两边并不相等。等式两端的差值用k......,21表示，则)(111bxay)(222bxay)(kkkbxay…...按最小二乘法原理，a、b最佳值应满足：kiiikiimin)bxay(1212（2）由于最小，kii12（2）式对a和b求偏导应为0。kiiikiibxaya11202kiiiikiixbxayb11202整理后得kiikiikiiikikiiixbxayxxbkay12111100（3）由于xxkkii11yykkii112121xxkkiixyyxkkiii11002xbxaxyxbay222xxxyxyxaxayxxxyyxb22代入（3）式有：总结：上式a、b就是用最小二乘法求得拟合直线的截距和斜率的最佳值。注意：1.用最小二乘法计算a、b时，计算中间过程不宜用有效数字运算法则，否则引起较大的计算误差，用计算器为好，把显示数字都记下来为好。2.若x、y相关性好，可粗略考虑a的有效数字位数与y有效数字最后一位对齐，b的有效数字位数与和中有效位数较少的相同。但最可靠的方法是通过计算a、b的不确定度来确定有效数字的位数。3.最小二乘法求出拟合直线时，并不要求自变量等间距变化，测量时比逐差法更方便。1yyk1xxk（3）相关系数r相关系数：定量描述x、y变量之间线性相关程度的好坏yyxxxyLLLkiikiikiiixyyxkyxL111121121kiikiixxxkxL21121kiikiiyyykyL式中r0拟合曲线斜率为正r0斜率为负r=0则x和y无线性关系(a)(b)(c)(d)（4）举例还是以铜电阻~温度关系为例，测得的一组数据如表所示。已知Rt和t的函数关系为Rt=a+bt，试用最小二乘法求出a、b。次数K12345678电阻Rt10.3510.5110.6410.7610.9411.0811.2211.36温度t5.010.01