第五章随机振动简介56

第五章随机振动基础在振动系统中，由于激励或参数的不确定性，振动响应也是不确定性的。研究不确定性振动的科学叫随机振动。随机振动虽具有不确定性，但仍可利用统计的方法研究其规律性。研究随机振动实质上是用统计与概率方法了解振动的内在机理及规律性。随机振动中的样本是随时间变化的，这与概率统计中的样本不同。所以随机振动理论仅仅是以概率统计方法为基础。本章主要介绍线性系统的随机振动基本概念和基本理论。将从随机过程的统计特性入手，介绍几种统计量（总体平均、自相关函数、时间平均、时间自相关函数、功率谱密度函数等）以及如何用这些统计量来描述随机振动，建立激励与响应统计特征之间的相互联系。最后介绍了空间谱及与时间谱的转换。5.1随机过程及统计特征在前面的章节中所讨论的振动，其激励和响应都可以以时间为变量预先准确描述。但在实际问题中不能以时间为参量预先准确描述的振动是普遍存在的。比如，运行中列车转向架的振动、地震引起的结构振动、发动机运行时产生的振动及飞机降落时起落架的振动等。这些振动都无法对既定的时刻t预先给出它们准确的振动情况，更无法用前面章节中的方法解决。因此,这种具有不确定性的振动过程称作随机振动。为了探寻随机振动内在的机理及规律性，通常需要对某一给定的随机振动反复试验、记录，从而比较分析每一次的试验结果。例如实际生产中统计某一随机振动每一次试验中振幅的最大值即为最简单的振动分析。若对不确定性振动系统进行振动测试，对每一个测点，每测试一次可得一条测试曲线,测试量可以是广义位移或广义力,记为1()xt,如图5.1中第一条曲线所示。为了消除不确定性影响,一般要重复多次.假设测试工作重复了n次，可以得到n条时间位移曲线)(txk（nk,2,1），如图5.1所示。)(txk为随机变量，是时间t的函数，因此叫做一个样本函数。所有可能的样本函数)(txk（nk,2,1）的集合称为随机过程，记作)(tX。图5.1随机过程同样地，对道路或铁路不平顺度进行测试时，也可以得一条以空间坐标为参数的样本函数，多次测量后得到以空间坐标为参数的随机过程。因此，对于不确定性量的每一次试验或测试都可以得到一条曲线，其数值是关于某些参量（如时间、空间）的随机变量，称作样本函数，每一个样本函数是不同的。样本函数的本质是随机函数，可以拥有多个参量。对于某一随机振动问题，可以在相同的情况下重复无限多次试验，每一次试验都用同样的参量，这些试验的集合构成随机过程。)(tX随机振动虽具有不确定性，但仍可利用统计的方法研究其规律性。科学试OOOO)(1tx1t1tt)(3tx)(txk1t1t1t1ttt)(2tx1t1tt验中的数值显现即为数据，研究随机振动问题就是对这些数据进行采集、整理、分析和阐释,确定一些统计量度以描述随机振动的属性,根据分析的结果得出结论。这些工作其本质上都是统计工作。研究随机振动遇到的第一个问题便是如何表征或描述随机振动过程。随机振动具有不确定性，因此无法用一个振动样本的细节来表征。借鉴概率与统计理论，通常以其统计特征量来表征随机振动。随机变量统计特征常用分布密度函数来描述描述，而分布密度函数一般由均值和均方值来描述。对于随机振动，随机变量是时间的函数，因此该随机过程在1t时刻的振动情况可用各个样本在1t时刻的平均值和方差或均方值来描述。对于任意时刻1t，用所有样本来求随机过程)(tX在1t时刻的总体平均得到)(1lim)]([)(1111txntXEtnkknx（5.1）式（5.1）中)(tx称为随机过程)(tX在1t时刻的总体平均值，简称均值，也称为数学期望。均值)(1tx得到后对随机振动在1t时刻振动情况已经有初步的了解。进一步描述随机振动在1t时刻的振动情况，可求出随机变量)(1tX的均方值及方差，其数学描述如下。2112112)(1lim])([)(txntXEtnkknx（5.2）211121112))()((1lim]))()([()(ttxnttXEtxnkknxx（5.3）它们分别对反映了随机变量的波动有效值及波动强弱。至此，随机变量在时刻的波动幅值的期望、有效值及振动强弱等基本情况已描述清楚。在概率统计理论中描述两个随机变量x、y的相关程度可用随机变量的协方差)])([(yxyxE表示，叫作相关函数。同理][xyE也在一定程度上反映了随机变量Y、X的相关程度。对随机过程)(tX各样本)(txk，取任意时刻1t和1t值构成两个随机变量)(1txk和)(1txk，并对随机过程)(tX中这各样本的这两个变量值乘积取总体平均，得到))()(1lim)](),([),(1111111txtxntXtXEttRknkknx（5.4）式（5.4）中),(11ttRx称作随机过程)(tX在1t和1t时刻的自相关函数。它表示了随机过程X不同时刻值随机分布情况的相关程度。特别地，当0时：2211111111(,)[(),()]lim()()nxkxnkRttEXtXtxttn（5.5）显然，此时自相关函数取极大值。以上应用概率统计的方法，求出了随机过程某一时刻的总体均值、均方值、方差的自相关函数，了解了随机振动在某一时刻的统计特征。但任意时刻的统计特征还待进一步讨论。5.2平稳、各态历经过程及统计特征应用概率统计理论，我们得到了计算随机变量统计特征公式（5.1）~（5.5）。但由于随机变量均为时间的函数，所以得到的统计特征都是时间的函数。由于不同时间的统计特征不同，要全面了解统计特征，需要对不同时刻进行计算。其次，统计特征计算足够多的样本，测试工作量很大。随机过程的研究中随时间变化的样本函数和大量的样本数量这两个基本问题增加了试验和计算分析的难度。因此，在保留主要因素，忽略次要因素的前提下，需要寻找一种合理、有效的参量简化方法使描述处理方法简单、有效。首先考虑简化时间这个参量。假设随机过程的总体平均)(1tx和自相关函数),(11ttRx等统计量均与时刻1t无关，这样的随机过程称为平稳过程。由这个假设可知，平稳随机过程的均值为一常量。xxt)((5.6)而自相关函数仅依赖于时差而与时刻t无关)(),(xxRttR(5.7)满足以上假设随机振动的样本函数的统计特征与时间无关，称为平稳随机振动。平稳过程简化使得随机过程统计特征与时间无关，可取样本函数中任意时刻的值进行总体平均得到统计特征，大大的简化了试验和分析工作量，但概率统计需要大量的样本以保证分析的准确性。如果随机过程可以用任意一个样本函数在时间序列上求得的平均值及自相关函数表征，即任选一个样本()kxt在时间序列上求平均值及自相关函数作为总体平均的结果，这样就可以回避获取大量样本及处理庞大数据问题，从而可以用一个样本函数代表总体。为此，我们进一步假定平稳随机过程()Xt的平均值及自相关函数各种状态在各个样本中都经历，亦即总体中随机值的分布和样本中随机值按时间的分布是相同的，从而可以用时间平均代替总体平均。随机过程()Xt中样本函数()kxt的时间平均的数学定义为：dttxTkTTkTx22)(1lim)((5.8)时间自相关函数数学定义为：dttxtxTkRkTTkTx)()(1lim),(22(5.9)满足时间平均代替总体平均这个假设的随机过程称为各态历经过程（遍历过程）。从而各态历经过程时间平均就是总体平均，有：xxk)((5.10))(),(xxRkR(5.11)对于各态历经随机过程，可以用一个样本函数的统计特征来表征总体统计特征，使得试验分析时只需要一个有效的样本函数。总体平均和时间平均实质上是对同一事物的不同角度描述。由平稳过程与各态历经过程定义知各态历经过程一定是平稳过程，而平稳过程不一定是各态历经过程。各态历经过程是定义在时间平均之上，仅当随机过程是各态历经过程时，时间平均及其他基于时间的统计量才能描述总体的统计特征，这时时间平均才具有统计意义，因此若给定的随机过程为平稳过程而不是各态历经过程，我们只能采用总体平均去研究。当然，无论平稳过程还是各态历经过程都只能在一定近似程度下成立，也是目前研究随机振动问题比较成熟的手段。它广泛见于一般工程问题中，已经得到较多的应用。特别指出，一般工程随机振动都可认为是各态历经过程，因此以后本章所讨论的情形如无特殊说明都为各态历经过程。5.3各态历经过程的时间域统计特征均值和方差及相关函数随机过程的重要参数，由于各态历经随机过程的统计特征与样本和时间无关，本节只在时间域讨论它们的统计特征及相互关系。对于随机过程中任意一个样本函数)(tx均值：dttxTTTTx22)(1lim(5.12)均方值：dttxTTTTx2222)(1lim(5.13)标准差：222222])([1limxxTTxTxdttxT（5.14）自相关函数为：dttxtxTRTTTx)()(1lim)(22（5.15）自相关函数具有以下性质：（1）自相关函数是时差的偶函数，)()(xxRR；（2）22)()0(XERx，时差为零时的自相关函数就是均方值；（3）)0()(xxRR，时差为零时随机过程的自相关程度最大；（4）2)(limxxR，自相关函数为时差的衰减函数，当时趋于均值的平方。均方值、方差、均值及自相关函数之间的关系如图5.3所示。图5.2均值、均方差与自相关函数关系示意图（5）若样本函数是周期为T的函数，则自相关函数也是周期的，周期也为T，并且在T时自相关函数取极大值，)0()(RTRx，所以自相关函数还能反映函数的周期性。【例1】：设若样本函数为)20sin()(ttx，求该样本函数的自相关函数。解：样本函数的周期为0.1s，如图5.3(a)所示，其自相关函数如图5.3(b)所示，在周期1.0和0处取得极大值。0.000.250.500.751.001.25-101x(t)时间/s(a)-0.2-0.10.00.10.2-300-200-1000100200300自相关函数时间间隔/s(b)图5.3样本函数与自相关函数更一般地，设有两个平稳过程)(tX和)(tY，它们之间相差时间的互相关222xxx2x22xxO)(xR函数定义为：dttytxTtYtXERTTTxy)()(1lim))()(()(22(5.16)dttxtyTtXtYERTTTyx)()(1lim))()(()(22(5.17)式5.17中设tt1可以得到下列式子：)-()-()(1lim)()-(1lim)(1221111221xyTTTTTTyxRdttytxTdttxtyTR(5.18)所以，一般情况下，互相关函数)(xyR和)(yxR并不相等，它们之间存在的关系为)-()(xyyxRR。5.4功率谱密度函数相关函数反应了随机变量在时间域内的统计特性，但工程分析中我们同样关心随机振动在频域内的统计特性，因为它是影响工程结构的直接因素。本节将主要阐释功率谱函数以及它的物理意义。考虑某一电路两端的电压为)(txk的各态历经过程的随机样本，样本表达式为：)(0)()()(TtTttxtxkk在上述定义中，把样本扩展到了负半轴。若其电阻1R，且电路工作时间无限长，则其随机动样本的平均功率TTkTdttxT2)(21lim平均功率虽然平均功率从电学上引出，但在力学范畴，功和能一般都可以表达为与广义力或广义位移的平方成正比的量，所以，对于随机振动，我们也需要用平均功率来了解其域特征。平均功率从时间域描述功和能，我们还需要从频率域来描述功和能，了解能量与频率的关系。为了建立时间域和频率域平均功率的关系，我们先介绍卷积定理及Parseval定理