第五节泰勒公式

经济数学---微积分教案山东女子学院1第五节泰勒公式教学目的：理解泰勒中值定理，掌握常见泰勒公式。教学重点：泰勒中值定理。教学难点：泰勒中值定理和泰勒中值定理的应用。教学内容：一、泰勒(Taylor)中值定理的引入对于一些较复杂的函数为了便于研究往往希望用一些简单的函数来近似表达由于用多项式表示的函数只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算便能求出它的函数值因此我们经常用多项式来近似表达函数在微分的应用中已经知道当x很小时有如下的近似等式1xex，ln(1)xx。这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子但是这种近似表达式还存在着不足之处首先是精确度不高这所产生的误差仅是关于x的高阶无穷小其次是用它来作近似计算时不能具体估算出误差大小因此对于精确度要求较高且需要估计误差时候就必须用高次多项式来近似表达函数同时给出误差公式设函数()fx在含有0x的开区间内具有直到1n阶导数现在我们希望做的是找出一个关于0xx的n次多项式0100()()()nnnPxaaxxaxx来近似表达()fx要求()nPx与()fx之差是比0()nxx高阶的无穷小并给出误差|()()nfxPx|的具体表达式我们自然希望()nPx与()fx在0x的各阶导数(直到(1n)阶导数)相等这样就有0100()()()nnnPxaaxxaxx，11200()2()()nnnPxaaxxnaxx，2200()2132()(1)()nnnPxaxxnnaxx，300()321432()(1)(2)()nnnPxxxnnnaxx,,，()()!nnnPxna。于是经济数学---微积分教案山东女子学院200()nPxa，01()nPxa，02()2!nPxa，03()3!nPxa，,，()0()!nnnPxna。按要求有000()()nfxPxa，001()()nfxPxa，002()()2!nfxPxa，003()()3!nfxPxa，,，()()00()()!nnnnfxPxna。从而有00()afx，10()afx，)(!2102xfa)(!3103xfa)(!10)(xfnann即()01()(0,1,2,,)!kkafxknk于是就有2()000000011()()()()()()()()2!!nnnPxfxfxxxfxxxfxxxn二、泰勒中值定理定理（泰勒中值定理）如果函数)(xf在含有0x的某个开区间),(ba内具有直到1n阶导数则当x在),(ba内时)(xf可以表示为0xx的一个n次多项式与一个余项)(xRn之和，即)())((!1))((!21))(()()(00)(200000xRxxxfnxxxfxxxfxfxfnnn其中10)1()()!1()()(nnnxxnfxR(介于0x与x之间)证明：由假设,)(xRn在),(ba内具有直到)1(n阶导数,且0)()()()(0)(000xRxRxRxRnnnnn两函数)(xRn及10)(nxx在以0x及x为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得0)()()()()(10010nnnnnxxxRxRxxxRnnxnR))(1()(011(介于0x与x之间)经济数学---微积分教案山东女子学院3两函数)(xRn及nxxn))(1(0在以0x及1为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,得0))(1()()())(1()(0101011nnnnnxnxRRxnR1022))(1()(nnxnnR(介于0x与x之间),此下去,经过)1(n次后,得,0)()1(xPnn所以)()()1()1(xfxRnnn则由上式得10)1()(!1)()(nnnxxnfxR(介于0x与x之间).证毕说明：这里多项式nnnxxxfnxxxfxxxfxfxp))((!1))((!21))(()()(00)(200000称为函数)(xf按0xx的幂展开的n次近似多项式公式)())((!1))((!21))(()()(00)(200000xRxxxfnxxxfxxxfxfxfnnn称为)(xf按0xx的幂展开的n阶泰勒公式而()nRx的表达式10)1()()!1()()(nnnxxnfxR(介于x与0x之间)称为拉格朗日型余项当0n时泰勒公式变成拉格朗日中值公式00()()()()fxfxfxx(在x与0x之间)因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广如果对于某个固定的n，当x在区间(,)ab内变动时(1)()nfx总不超过一个常数M则有估计式1010)1(||)!1(|)()!1()(||)(|nnnnxxnMxxnfxR及0)(lim0)(0nxnxxxxR可见将0xx时误差()nRx是比0()nxx高阶的无穷小即0()[()]nnRxoxx在不需要余项的精确表达式时n阶泰勒公式也可写成2()0000000011()()()()()()()()[()]2!!nnnfxfxfxxxfxxxfxxxoxxn当00x时的泰勒公式称为麦克劳林公式就是)(!)0(!2)0()0()0()()(2xRxnfxfxffxfnnn或)(!)0(!2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf经济数学---微积分教案山东女子学院4其中1)1()!1()()(nnnxnfxR例1：求xexf)(的n阶麦克劳林公式解：由于xnexfxfxf)()()()(所以1)0()0()0()0()(nffff而xnexf)()1(代入公式,得).10()!1(!!2112nxnxxnenxxxe例2：求xxfsin)(的n阶麦克劳林公式解因为)2sin()()(nxxfn,2,1n所以,0)0(,1)0(,0)0(,1)0(,0)0()4(fffff于是)()!12()1(!51!31sin212153xRxmxxxxmmm例3：计算403cos2lim2xxexx.解：由于)(!2114422xoxxex)(!4!21cos542xoxxx所以)()!412!21(3cos2442xoxxex故原式=4440)(127limxxoxx.127四、常用函数的麦克劳林公式21()1!2!!nxnxxxeoxn352121sin(1)()3!5!(21)!nnnxxxxxoxn2422cos1(1)()2!4!(2)!nnnxxxxoxn经济数学---微积分教案山东女子学院521ln(1)(1)()2nnnxxxxoxn