第八章-刚体的平面运动.

刚体的平面运动8.1运动方程刚体平面运动的分解在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离，这种运动称为平面运动。刚体平面运动的运动方程x0=f1（t）y0=f2（t）Φ=f3（t）8.1运动方程刚体平面运动的分解MNSA1A2A刚体上每一点都在与固定平面M平行的平面内运动。若作一平面N与平面M平行,并以此去截割刚体得一平面图形S。可知该平面图形S始终在平面N内运动。因而垂直于图形S的任一条直线A1A2必然作平动。A1A2的运动可用其与图形S的交点A的运动来替代。刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自身平面S内的运动。123(),(),()OOxftyftft这就是平面图形的运动方程。SMO'yxO8.1运动方程刚体平面运动的分解平面图形S在其平面上的位置完全可由图形内任意线段O'M的位置来确定，而要确定此线段的位置，只需确定线段上任一点O'的位置和线段O'M与固定坐标轴Ox间的夹角即可。点O'的坐标和角都是时间的函数，即平面图形的运动方程可由两部分组成：一部分是平面图形按点O'的运动方程xO'=f1(t),yO'=f2(t)的平移，没有转动；另一部分是绕O'点转角为=f3(t)的转动。8.1运动方程刚体平面运动的分解平面运动的这种分解也可以按上一章合成运动的观点加以解释。以沿直线轨道滚动的车轮为例，取车厢为动参考体，以轮心点O'为原点取动参考系O'x'y'，则车厢的平动是牵连运动，车轮绕平动参考系原点O'的转动是相对运动，二者的合成就是车轮的平面运动(绝对运动)。单独轮子作平面运动时，可在轮心O'处固连一个平动参考系O'x'y'，同样可把轮子这种较为复杂的平面运动分解为平动和转动两种简单的运动。y'x'O'y'x'O'8.1运动方程刚体平面运动的分解对于任意的平面运动，可在平面图形上任取一点O’，称为基点。在这一点假想地安上一个平移参考系O’x’y’；平面图形运动时，动坐标轴方向始终保持不变，可令其分别平行于定坐标轴Ox和Oy。于是平面图形的平面运动可看成为随同基点的平移和绕基点转动这两部分运动的合成。y'x'O'yxO基点O可以任意选择转动的角速度和角加速度与基点的选取无关，因此无须指明是对哪个基点而言，称为图形的角速度和角加速度平动的速度和加速度会随基点选取的不同而不同平面运动平动：ve转动：vrO'M平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和,这就是平面运动的速度合成法或称基点法。1.基点法已知O'点的速度及平面图形转动的角速度，求M点的速度。10.2平面图形内各点速度速度瞬心wvMvO'vMO'vO'aervvvMOMOvvv例1椭圆规机构如图。已知连杆AB的长度l=20cm，滑块A的速度vA=10cm/s，求连杆与水平方向夹角为30°时，滑块B和连杆中点M的速度。解:AB作平面运动，以A为基点，分析B点的速度。cot30103cm/sBAvv由图中几何关系得：1radsBAABvlw方向如图所示。AvAvAvBvBABwAB30°BABAvvvM20cm/ssin30ABAvv30°以A为基点，则M点的速度为将各矢量投影到坐标轴上得：:cossin30MAMAxvvv:sincos30MMAyvv解之得10cmsMvtan360AvAvAvMABwAB30°MvMMAMAvvvxy例2行星轮系机构如图。大齿轮I固定，半径为r1；行星齿轮II沿轮I只滚而不滑动，半径为r2。系杆OA角速度为wO。求轮II的角速度wII及其上B，C两点的速度。解:行星齿轮II作平面运动，求得A点的速度为vAwODADAvvvODACBvAvDAwIIIII以A为基点，分析两轮接触点D的速度。12()AOOvOArrww由于齿轮I固定不动，接触点D不滑动，显然vD＝0，因而有vDA＝vA＝wO(r1+r2)，方向与vA相反，vDA为点D相对基点A的速度，应有vDA＝wII·DA。所以12II2()ODArrvDArwwvAwOCACAvvvODACBvAvCAvCvBvBAvAwIIIII以A为基点，分析点B的速度。II12()BAOAvBArrvwwBABAvvvvBA与vA垂直且相等，点B的速度221222()BABAAOvvvvrrw以A为基点，分析点C的速度。vCA与vA方向一致且相等，点C的速度II12()CAOAvCArrvww122()CCAOvvvrrw同一平面图形上任意两点的速度在其连线上的投影相等。这就是速度投影定理。2.速度投影定理由于vBA垂直于AB，因此[vBA]AB=0。于是将等式两边同时向AB方向投影:8.2求平面图形内各点速度的基点法ABwvBvAvBAvA[][][]BABAABABABvvv[][]BAABABvvBABAvvv例3用速度投影定理解例1。解：由速度投影定理得60cos30cosBAvv解得103cmsBv[][]BAABABvvAvAvBB30°定理：一般情况，在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点。8.2求平面图形内各点速度的瞬心法wS设有一个平面图形S角速度为w，图形上点A的速度为vA，如图。在vA的垂线上取一点C(由vA到AC的转向与图形的转向一致)，有如果取AC＝vA/w，则CAvvACw0CAvvACwNCvAvCA该点称为瞬时速度中心，或简称为速度瞬心。vAA图形内各点速度的大小与该点到速度瞬心的距离成正比。速度的方向垂直于该点到速度瞬心的连线，指向图形转动的一方。8.2求平面图形内各点速度的瞬心法CAwvAvBBDvDwC确定速度瞬心位置的方法有下列几种：(1)平面图形沿一固定表面作无滑动的滚动，图形与固定面的接触点C就是图形的速度瞬心。如车轮在地面上作无滑动的滚动时。8.2求平面图形内各点速度的瞬心法vC(2)已知图形内任意两点A和B的速度的方向，速度瞬心C的位置必在每点速度的垂线的交线上。8.2求平面图形内各点速度的瞬心法wABwOCvAABvB(3)已知图形上两点A和B的速度相互平行，并且速度的方向垂直于两点的连线AB，则速度瞬心必定在连线AB与速度矢vA和vB端点连线的交点C上。8.2求平面图形内各点速度的瞬心法ABvBvACABvBvAC(4)某瞬时，图形上A、B两点的速度相等,如图所示，图形的速度瞬心在无限远处。(瞬时平动：此时物体上各点速度相同，但加速度不一定相等)8.2求平面图形内各点速度的瞬心法wOvAABvB另外注意：瞬心的位置是随时间在不断改变的，它只是在某瞬时的速度为零，加速度并不为零。确定瞬心的一般方法：ABAvBvAAvBBvCwCABAvBvwCABAvBvwABAvBvCw例4用速度瞬心法解例1。解：AB作平面运动1radssin30AAvvAClwcos30103cmsBvBClww210cmsMlvMCwwAvAvBB30°CvMwM瞬心在C点例5已知轮子在地面上作纯滚动，轮心的速度为v，半径为r。求轮子上A1、A2、A3和A4点的速度。A3wA2A4A1vA2vA3vA4vO解：很显然速度瞬心在轮子与地面的接触点即A1各点的速度方向分别为各点与A点连线的垂线方向，转向与w相同，由此可见车轮顶点的速度最快，最下面点的速度为零。2422AAvvrvwovrvw10AvO322Avrvw45º90º90ºO1OBAD例6已知四连杆机构中O1B＝l，AB＝3l/2，AD＝DB，OA以w绕O轴转动。求：(1)AB杆的角速度；(2)B和D点的速度。w解：AB作平面运动，OA和O1B都作定轴转动，C点是AB杆作平面运动的速度瞬心。vAvBvDCwAB32,23235,24OAlABBClAClDCl2AvOAlww223322AABvlAClBABvBClww52DABvDClww例7直杆AB与圆柱O相切于D点，杆的A端以匀速向前滑动，圆柱半径，圆柱与地面、圆柱与直杆之间均无滑动，如图，求时圆柱的角速度。scmvA60cmr1060解一：圆柱作平面运动，其瞬心在点，设其角速度为。1CAB圆柱作平面运动，其瞬心在点，则2CAvABDO1CwDv2CABw22ACvDCvADABw即AADvvrrv3333亦即Avr333w故sradrvA2103603w例8图示小型精压机的传动机构，OA＝O1B＝r＝0.1m，EB＝BD＝AD＝l＝0.4m，在图示瞬时OA⊥AD，O1B⊥ED，O1D在水平位置，OD和EF在铅直位置。已知曲柄OA的转速n＝120rpm，求此时压头F的速度。OADO1BEFn例9图示机构，已知曲柄OA的角速度为w，OA＝AB＝BO1＝O1C＝r，角=b=60º，求滑块C的速度。解：AB和BC作平面运动，其瞬心分别为C1和C2点，则wwrOAvA1AABvrACr1BABvBCrww2133BBCvrBCr233CBCvCCrwwwbOABO1CC1C2wBCwABvAvBvC解：连杆AB作平面运动，瞬心在C1点，则123cos303AABvrrACABl1sin30233233BABABvBCABlrrl例10曲柄肘杆式压床如图。已知曲柄OA长r以匀角速度w转动，AB=BC=BD=l，当曲柄与水平线成30º角时，连杆AB处于水平位置，而肘杆DB与铅垂线也成30º角。试求图示位置时，杆AB、BC的角速度以及冲头C的速度。AOBDC30º30ºvAvBvCwC1wABC2wBC连杆BC作平面运动，瞬心在C2点，则233BBCvrBClww233CBCrvCCww例11曲柄连杆机构中，在连杆AB上固连一块三角板ABD，如图所示。机构由曲柄O1A带动。已知曲柄的角速度为w＝2rad/s，曲柄O1A=0.1m，水平距离O1O2=0.05m，AD=0.05m，当O1A⊥O1O2时，AB∥O1O2，且AD与AO1在同一直线上，=30º。试求三角板ABD的角速度和点D的速度。解、运动分析：O1A和O2B作定轴转动；ABD作平面运动，其速度瞬心在点C。O1O2ABDCw2wABDwvAvDvB10.2m/sAvOAw110.1866mCACOOA1.072rad/sAABDvCAw0.2366mCDCAAD0.254m/sDABDvCDw例12图示蒸汽机传动机构中，已知：活塞的速度为v，O1A1=a1,O2A2=a2,CB1=b1,CB2=b2;齿轮半径分别为r1和r2；且有a1b2r2≠a2b1r1。当杆EC水平，杆B1B2铅直，A1，A2和O1，O2都在一条铅直线上时，求齿轮O1的角速度。vA1vA2w1w2解：设齿轮O1转动方向为逆时针，则齿轮O2的转动方向为顺时针。因A1，A2和O1，O2在一条铅直线上，所以A1，A2点的速度均为水平方向，如图所示。因B1B2作平面运动，vC⊥B1B2，由速度投影定理知vB1，vB1也应垂直于B1B2而沿水平方向。A1B1作平面运动，vA1和vB1都沿水平方向，所以A1B1作瞬时平动，同理A2B2也作瞬时平动，所以vB1vB21111111BAvvOAawwvC2222222BAvvOAawwvA1vB1vB2vA2vCw1w2B1B2杆的速度分布如图所示，速度瞬心在O点。设OC长度为x，则O2112/rrwww因齿轮O1，O2相互啮合，w1r1＝w2r2，所以2222112/BvaarrwwCvvOCxww111111()BvOBbxbva1221122211()bbrvabrabrw22222112(