第八章多元函数.

§8.1空间解析几何简介§8.2多元函数的概念§8.3二元函数的极限与连续§8.4偏导数与全微分§8.5复合函数与隐函数的微分法§8.6二元函数的极值§8.7二重积分第八章多元函数x横轴y纵轴z竖轴定点o空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系.即以右手握住z轴，一、空间直角坐标系当右手的四个手指从正向x轴以2角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向.§8.1空间解析几何简介Ⅶxyozxoy面yoz面zox面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ空间的点有序数组),,(zyx11特殊点的表示:)0,0,0(O),,(zyxMxyzo)0,0,(xP)0,,0(yQ),0,0(zR)0,,(yxA),,0(zyB),,(zoxC坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点,A,B,C设),,(1111zyxM、),,(2222zyxM为空间两点xyzo1MPNQR2M?21MMd在直角21NMM及直角PNM1中，使用勾股定理知,222212NMPNPMd二、空间任意两点间的距离,121xxPM,12yyPN,122zzNM22221NMPNPMd.21221221221zzyyxxMM空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为,),,(zyxM)0,0,0(OOMd.222zyxxyzo1MPNQR2M0),,(zyxF如果曲面S与方程F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程则F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程SzyxO三、曲面与方程定义8.1例1一动点(,,)Mxyz与二定点1(1,1,0)M，2(2,0,2)M的距离相等，求此动点M的轨迹方程．解依题意有由两点间距离公式有化简后即得点M的轨迹方程为230xyz222222(1)(1)(2)(2)xyzxyz12MMMM这个方程表示空间中的一个平面．一般地，一次方程0AxByCzD表示空间的一个平面，其中A，B，C不全为零．例2求通过X轴且过点(4,3,1)的平面方程．解由于平面过X轴，设所求平面方程为因平面过点(4,3,1)，该点坐标满足上述方程，故30BC，即C=-3B将C=-3B代入方程ByCz0并消去B，即得所求平面方程为30yz0ByCz故所求方程为特别,当M0在原点时,球面方程为解:设轨迹上动点为即依题意MOxyz0M表示上(下)球面.222000()()()xxyyzzR例3求球心在点0M000(,,)xyz，半径为R的球面的方程．2222xyzR2222000()()()xxyyzzR0MMR(,,),Mxyz解:配方得5,)0,2,1(0M可见此方程表示一个球面说明:如下形式的三元二次方程(A≠0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为球心为一个球面,或点,或虚轨迹.例4研究方程例5方程222xyR表示怎样的曲面？解：方程222xyR在xOy平面上表示以原点为圆心，R为半径的圆．由于方程不含z，这表示z可取任意值，只要x和y满足方程即可，因此这个方程表示的曲面，是由平行于z轴的动直线沿xOy平面上的定圆222xyR移动而形成的圆柱面.222xyR柱面上平行于z轴并与z轴相距R的动直线叫作它的母线.叫作它的准线，圆一般地，母线平行于z轴的柱面方程是(,)0Fxy.空间曲面的大体形状，可以利用截痕法，并通过一些定性的分析得到，即讨论曲面是否有有界性，对称性等特性；用坐标平面或与坐标平面平行的平面与曲面相交，通过分析交线（即截痕）的形状，确定曲面的大致形状．例6作Z=22xy的图形．解用平面Z=c截曲面Z=22xy，其截面为圆当c=0时，只有(0,0,0)满足方程；以c为半径的圆．当平面Z=c向上移动，即c越来越大时，则截痕的圆也越来越大．22xyc截痕当c0时，其截痕为以点(0,0,c)为圆心，当c0时，平面与曲面无交点．当用平面X=a或Y=b去截曲面时，则截痕均为抛物线．称Z=22xy的图形为旋转抛物面，如图所示．xyOz例7作22zyx的图形．解用平面zc截曲面22zyz，截痕为当c0时，其截痕为两条相交于原点(0,0,0)的直线当c0时，截痕为双曲线．用平面yc截曲面22zyx，截痕为抛物线22,yxczc0,0yxz0,0yxz22,zcxyc用平面xcc截曲面22zyx，截痕为抛物线该曲面即双曲抛物面（马鞍面），如图所示．22,zycxcxyzO一、多元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数．),,,(21nxxxfu设D是平面上的一个点集，如果对于每个点DyxP),(，变量z按照一定的法则f总有确定的值和它对应，则称z是变量yx,的二元函数，记为),(yxfz（或记为))(Pfz当时，元函数统称为多元函数.2nn多元函数中同样有定义域D(f)、值域R(f)、自变量x,y、因变量z等概念．1多元函数的定义§8.2多元函数的概念平面区域可以分类如下：包括边界在内的区域称为闭区域；不包括边界的区域称为开区域；包括部分边界的区域称为半开区域.如果区域延伸到无穷远，称为无界区域，否则称为有界区域.有界区域总可以包含在一个以原点为圆心的相当大的圆域内.二元函数z=f(x,y)的定义域D(f)在几何上表示坐标平面上的一个平面区域.平面区域：指整个xoy平面或者是xoy平面上由几条曲线所围成的部分.围成平面区域的曲线称为该区域的边界，边界上的点称为边界点.二、二元函数的定义域解所求定义域为解所求定义域为.122yx0yx例2求定义域．)ln(),(yxyxf.}0|),{()(无界开区域yxyxfD.}1|),{()(22有界闭区域yxyxfD例3求的定义域．)arcsin(),(22yxyxf例1..22yxz表示：x,y为自变量，z为因变量..)},0[{)(}),(,),{()(zzfRyxyxfD设函数),(yxfz的定义域为D，对于任意取定的DyxP),(，对应的函数值为),(yxfz，这样，以x为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标在空间就确定一点),,(zyxM，当),(yx取遍D上一切点时，得到一个空间点集}),(),,(|),,{(Dyxyxfzzyx，这个点集称为二元函数的图形.三、二元函数的几何意义说明：二元函数的图形通常是一张曲面.1.邻域),(0PU||0PPP.)()(|),(2020yyxxyx0P设是平面上的一个点，是某一正数，与点距离小于的点的全体，称为点的邻域，记为，xoy),(000yxP),(000yxP),(yxP0P),(0PU),(ˆ0PU的去心邻域点||00PPP0P一、预备知识§8.3二元函数的极限与连续2n维空间.)()()(||2222211nnxyxyxyPQ),,,,(21nxxxP),,,,(21nyyyQ设两点为nRPPPPPU,||),(00比如：当时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．3,2,1n设为取定的一个自然数，我们称元数组的全体为维空间，而每个元数组称为维空间中的一个点，数称为该点的第个坐标.nnnnn),,(21nxxx),,(21nxxxixi3聚点.000的聚点是中的点，则称去心邻域内，总有的，点，对于任意给定的给定平面点集EpEpE定义1设函数),(yxfz的定义域为),(,000yxPD是其聚点，如果对于任意给定的正数e，总存在正数，使得对于适合不等式20200)()(||0yyxxPP的一切点，都有e|),(|Ayxf成立，则称A为函数),(yxfz当0xx，0yy时的极限，（或)0(),(rAyxf这里||0PPr）.记为Ayxfyyxx),(lim00二、二元函数的极限说明：（1）定义中的方式是任意的；0PP（2）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．证其值随k的不同而变化，故极限不存在．例1证明不存在．24200limyxyxyx取2kxy24200limyxyxyx4242202limxkxkxxkxyx21kk（2）令),(yxP沿kxy趋向于),(000yxP，若极限值与k有关，则可断言极限不存在；确定极限不存在的方法：1（）找两种不同趋近方式，使存在，但两者不相等，此时也可断言),(yxf在点),(000yxP处极限不存在．),(lim00yxfyx1定义上连续．在就称函数的每一点都连续，那么在如果函数DDyxf)yxf,(),(三、二元函数的连续性),(),().3(;),().2(),().1(),(00),(),(),(),(00limlim0000yxfyxfyxfyxyxfyxyxyxyx存在极限的某邻域内有定义；在点满足条件：设二元函数.),(),(),(),(0000的间断点是函数处连续，否则称点在点则称函数yxfyxyxyxf例2讨论函数)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin)(),(2222yxyxyxyxyxf在(0,0)处的连续性．解01sin)(2222yxyx22221sinyxyx22yx,0e,e当时，22)0()0(0yx故函数在(0,0)处连续.),0,0(),(lim)0,0(),(fyxfyx01sin)(lim222200yxyxyxe01sin)(2222yxyx例3讨论函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在(0,0)的连续性．解取kxy2200limyxxyyx222203limxkxkxkxyx21kk其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．例4.11lim00xyxyyx求解)11(11lim00xyxyxyyx原式111lim00xyyx.21例5.)1(lim100xyxxy求解1)1(lim100yxyyxxy原式2.闭区域上连续函数的性质如果f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)必在D上取得最大值和最小值．如果f(x,y)在有界闭区域D上连续，f(x,y)在D上的最小值和最大值分别为m和M，则对任意的c属于[m,M]，必存在点，使得（1）最大值和最小值定理（2）介值定理),(.),(cf一、偏导数偏增量：设函数在点的某邻域),(yxfz),(yxP内有定义．为该邻域内的点．),(yxxP称函数的增量为关于),(),(yxfyxxf的偏增量.x§8.4偏导数与全微分定义设函数),(yxfz在点),(00yx的某一邻域内有定义，当y固定在0y而x在0x处有增量x时，相应地函数有偏增量),(),(0000yxfyxxf如果存在，则称此极限为函数),(yxfz在点),(00yx处对x的偏导数，记为xyxfyxxfx),(),(lim00000同理函数),(yxfz在点),(00yx处对y的偏导数，可定义为yyxfyyxfy),(),(lim000000000,),(),,(0000yyxxxyyxxxzxzxyxfyxf或0000,),(),,(0000yyxxyyyxxyzyzyyxfyxf或如果函数在区域内任一点处对的偏导数都存在，那么