第八章微分方程复习资料

1第八章微分方程简介本章知识结构导图数学家的故事:莱昂哈德·欧拉简介欧拉(Euler，1707－1783)，瑞士数学家及自然科学家。在1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国的彼得堡去逝。欧拉出生于牧师家庭，自幼已受到父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。欧拉的父亲希望他学习神学，但他最感兴趣的是数学。在上大学时，他已受到约翰第一．伯努利的特别指导，专心研究数学，直至18岁，他彻底的放弃当牧师的想法而专攻数学，于19岁时（1726年）开始创作文章，并获得巴黎科学院奖金。1727年，在丹尼尔．伯努利的推荐下，到俄国的彼得堡科学院从事研究工作。并在1731年接替丹尼尔第一．伯努利，成为物理学教授。在俄国的14年中，他努力不懈地投入研究，在分析学、数论及力学方面均有出色的表现。此外，欧拉还应俄国政府的要求，解决了不少如地图学、造船业等的实际问题。1735年，他因工作过度以致右眼失明。在1741年，他受到普鲁士腓特烈大帝的邀请到德国科学院担任物理数学所所长一职。他在柏林期间，大大的扩展了研究的内容，如行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学等，这些工作与他的数学研究互相推动着。与此同时，他在微分方程、曲面微分几何及其他数学领域均有开创性的发现。1766年，他应俄国沙皇喀德林二世敦聘重回彼得堡。在1771年，一场重病使他的左眼亦完全失明。但他以其惊人的记忆力和心算技巧继续从事科学创作。他通过与助手们的讨论以及直接口授等方式完成了大量的科学著作，直至生命的最后一刻。欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界做出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。此外，他是数学史上最多产的数学家，写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，《无穷小分析引论》（1748），《微分学原理》（1755），以及《积分学原理》（1768-1770）都成为数学中的经典著作。欧拉最大的功绩是扩展了微积分的领域，为微分几何及分析学的一些重要分支（如无穷级数、微分方程等）的产生与发展奠定了基础。在18世纪中叶，欧拉和其他数学家在解决物理方面的问过程中，创立了微分方程学。当中，在常微分方程方面，他完整地解决了n阶常系数线性齐次方程的问题，对于非齐次方程，他提出了一种降低方程阶的解法；而在偏微分方程方面，欧拉将二维物体振动的问题，归结出了一、二、三维波动方程的解法。欧拉所写的《方程的积分法研究》更是偏微分方程在纯数学研究中的第一篇论文。微分方程微分方程的基本概念一阶微分方程的分离变量法一阶线性微分方程()()dyfxgydx一阶线性齐次方程一阶线性非齐次方程特解通解解2本章小结本章主要掌握微分方程的概念、分离变量法、常数变易法。一、微分方程的概念1.定义：含有未知函数导数（或微分）的方程称为微分方程。2.阶：微分方程中含有的未知函数导数（或微分）的最高阶数，称为微分方程的阶。3.解：若将函数()yfx代入微分方程中，使微分方程变为恒等式，则称函数()fx为微分方程的解。4.通解：若微分方程的解中含有任意常数，而且相互独立任意常数的个数等于该微分方程的阶数，则称这样的解为该微分方程的通解。5.特解：由初始条件确定通解中任意常数的特定值，从而得到微分方程的特解。二、可分离变量微分方程1.定义：形如()()dyfxgydx或()()dyfxdxgy的微分方程，成为可分离变量微分方程。2.求解方法：(1)分离变量：将微分方程化成()()dyfxdxgy；(2)方程两边求积分：()()dyfxdxgy，找原函数。三、一阶线性微分方程1.定义：形如()()dypxyqxdx（或()()dxpyxqydy）的方程，称为一阶线性微分方程；若()0qx（或()0qy），该微分方程称为一阶线性齐次微分方程；若()0qx（或()0qy），该微分方程称为一阶线性非齐次微分方程。2.一阶线性非齐次微分方程解法：(1)常数变易法：①求对应齐次微分方程()0dypxydx的通解得()1pxdxyCe；②将齐次微分方程的通解中的常数1C换成待定函数()ux，得到非齐次微分方程通解()()pxdxyuxe；③把()()pxdxyuxe代入原微分方程，得()()()pxdxuxqxe，积分得()()()pxdxuxqxedxC；④得原微分方程的通解为()()()pxdxpxdxyeqxedxC。(2)公式法：①把微分方程转化成标准形式()()dypxyqxdx；②分别列出()px和()qx；③代入一阶线性非齐次微分方程的通解公式得()()()pxdxpxdxyeqxedxC。综合练习一、判断题：1.2234xyyyx是二阶微分方程。()2.220xxyy是22dyxyxydx的解。()3.3xxyexe是2220dydyydxdx的特解。()4.xyye是可分离变量微分方程。()5.220xydxxydy是可分离变量微分方程。()36.0xydxxdy是一阶线性齐次微分方程。()7.30ydxxydy是一阶线性非齐次微分方程。()二、填空题：1.微分方程235xyyyyxe是阶微分方程。2.微分方程2322()50dydyxxydxdx是阶微分方程。3.xdyyedx的通解是。4.微分方程23dyxydx的通解是。5.方程0xyye的通解是。6.方程0yxy的通解是。7.一阶线性微分方程()()ygxyfx的通解是。8.微分方程0yye在初始条件(1)0y下的特解为。三、选择题：1.微分方程20ydydx的通解是()。A.2yxCB.yxCC.yxCD.yxC2.微分方程210xyxy的通解是()。A.21yCxB.21CyxC.22xyCxeD.32xyCx3.下列方程中，()是可分离变量方程。A.xyyeB.xxyyeC.220xyxydxyxydyD.0yyyx4.函数3yx为微分方程()的特解。A.3yyB.30xyyC.233yyxD.2yyxx45.下列方程中，()是一阶线性微分方程。A.22yyB.2ydyydxyxeC.23cos5yyxD.dyxyydx四、计算题：1.求下列微分方程的通解：(1)211ydxxyxdy；(2)3211dyyxdxx；(3)30ydxxydy；(4)cossin0yxyx；(5)0xydxxdy；(6)sin0dyyxdxx。2.求下列微分方程的特解：(1)23dyxdx，(1)3y；(2)36xdyedx，(0)4y；(3)0dyxydx，(1)1y；(4)22xdyxyxedx，(0)1y；(5)sindyxyxdx，()1y；(6)12dyxyxdx，(0)0y。五、应用题：1.已知某曲线上任意一点的切线的斜率为21x，且该曲线经过点(0,0)，求此曲线的方程。2.已知某曲线上任意一点的切线的斜率为22ln1xx，且该曲线经过点(0,1)，求此曲线的方程。3.已知某商品需求量Q关于价格P的变化率（即边际需求dQdP）与需求量Q满足方程14dQQdP，求需求函数()QP。4.设某产品的利润L是销售量Q的函数，已知利润的变化率是2000.2Q，且(1000)100000L，求利润函数()LQ。