第81节假设检验概率论与数理统计(李长青版)

第八章假设检验假设检验参数假设检验非参数假设检验这类问题称作假设检验问题.总体分布已知，检验关于未知参数的某个假设总体分布未知时的假设检验问题我们将讨论不同于参数估计的另一类重要的统计推断问题.这就是根据样本的信息检验关于总体的某个假设是否正确.让我们先看一个例子.我们现在讨论对参数的假设检验.第一节假设检验生产流水线上罐装可乐不断地封装，然后装箱外运.怎么知道这批罐装可乐的容量是否合格呢？把每一罐都打开倒入量杯,看看容量是否合于标准.这样做显然不行！罐装可乐的容量按标准应在350毫升和360毫升之间.每隔一定时间，抽查若干罐.如每隔1小时，抽查5罐，得5个容量的值X1，…，X5，根据这些值来判断生产是否正常.如发现不正常，就应停产，找出原因，排除故障，然后再生产；通常的办法是进行抽样检查.如没有问题，就继续按规定时间再抽样，以此监督生产，保证质量.(1)很明显，不能由5罐容量的数据，在把握不大的情况下就判断生产不正常，因为停产的损失是很大的.(2)当然也不能总认为正常，有了问题不能及时发现，这也要造成损失.如何处理这两者的关系，假设检验面对的就是这种矛盾.它的对立假设是：称H0为原假设（或零假设，解消假设）；称H1为备选假设（或对立假设）.在实际工作中，往往把不轻易否定的命题作为原假设.0H0：（=355）0H1：0我们可以认为X1,…,X5是取自正态总体的样本，当生产比较稳定时，是一个常数(设已知)),(2N现在要检验的假设是：罐装可乐的容量按标准应在350毫升和360毫升之间.2那么，如何判断原假设H0是否成立呢？由于是正态分布的期望值，它的估计量是样本均值，因此可以根据与的差距XX0来判断H0是否成立.0X(1)当，拒绝假设H0；0nXk(2)当，接受假设H0；0nXk问题归结为对差异作定量的分析，以确定其性质.差异“抽样误差”或随机误差随机误差反映偶然、非本质的因素所引起的随机波动.系统误差系统误差反映了事物的本质差别，即反映了生产已不正常.问题是：如何给出这个量的界限？这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：小概率事件在一次试验中基本上不会发生.概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否定原假设.假设检验的两类错误H0为真实际情况决定拒绝H0接受H0H0不真第一类错误正确正确第二类错误P{拒绝H0|H0为真},P{第一类错误}=P{拒绝H0|H0为真},P{第一类错误}=只允许犯第一类错误的最大概率为：00HnXPk00HnXPu在假设检验中，我们称这个小概率为显著性水平，用表示.常取0.1,0.01,0.05.现在回到我们前面罐装可乐的例中：在提出原假设H0后，如何作出接受和拒绝H0的结呢？罐装可乐的容量按标准应在350毫升和360毫升之间.一批可乐出厂前应进行抽样检查，现抽查了n罐，测得容量为X1,X2,…,Xn，问这一批可乐的容量是否合格？提出假设选检验统计量355XUn~N(0,1)2{||}PUuH0：=355H1：≠355由于已知，它能衡量差异大小且分布已知.|355|X对给定的显著性水平，可以在N(0,1)表中查到分位点的值，使2u故我们可以取拒绝域为：事实上“2||Uu”是一个小概率事件.W：2||Uu2{||}PUu如果由样本值算得该统计量的实测值落入区域W，则拒绝H0；否则，不能拒绝H0.()xx2u2u如果H0是对的，那么衡量差异大小的某个统计量落入区域W(拒绝域)是个小概率事件.这里所依据的逻辑是：如果该统计量的实测值落入W，也就是说，H0成立下的小概率事件发生了，那么就认为H0不可信而否定它.否则我们就不能否定H0（只好接受它）.不否定H0并不是肯定H0一定对，而只是说差异还不够显著，还没有达到足以否定H0的程度.所以假设检验又叫“显著性检验”如果显著性水平取得很小，则拒绝域也会比较小.其产生的后果是：H0难于被拒绝.如果在很小的情况下H0仍被拒绝了，则说明实际情况很可能与之有显著差异.基于这个理由，人们常把时拒绝H0称为是显著的，而把在时拒绝H0称为是高度显著的.01.005.0()xx2u2u在上面例子的叙述中，我们已经初步介绍了假设检验的基本思想和方法.下面，我们再结合另一个例子，进一步说明假设检验的一般步骤.例1某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度是32.5毫米.实际生产的产品，其长度X假定服从正态分布未知，现从该厂生产的一批产品中抽取6件,得尺寸数据如下:),,(2N232.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03问这批产品是否合格?…分析：这批产品(螺钉长度)的全体组成问题的总体X.现在要检验E(X)是否为32.5.提出原假设和备择假设5.32:5.32:10HH第一步：已知X~),,(2N2未知.第二步：能衡量差异大小且分布已知取一检验统计量，在H0成立下求出它的分布)5(~65.32tSXt第三步：即“”是一个小概率事件.)5(||2tt小概率事件在一次试验中基本上不会发生.对给定的显著性水平=0.01，查表确定临界值0322.4)5()5(005.02tt,使)}5(|{|2ttP得否定域W:|t|4.0322得否定域W:|t|4.0322故不能拒绝H0.第四步：将样本值代入算出统计量t的实测值,|t|=2.9974.0322没有落入拒绝域这并不意味着H0一定对，只是差异还不够显著,不足以否定H0.单、双侧检验拒绝域取在两侧，称为双侧检验.()xx2u2u拒绝域取在一侧，称为单侧检验.只关心总体均值是否增大，例如试验新工艺以提高产品的质量等。00:H10:H工艺后生产一批织物,今从中取30件,测得例2某织物强力指标X的均值μ0=21公斤.改进21.55x公斤.假设强力指标服从正态分布N(μ,σ2)且已知σ=1.2公斤，问在显著性水平α=0.01下，新生产物比过去的织物强力是否有提高?21~(0,1)XUNn解:提出假设:21:21:10HH取统计量否定域为W:0.01uu=2.33是一小概率事件0.01{}uu代入σ=1.2,n=30，并由样本值计算得统计量Z的实测值U=2.512.33故拒绝原假设H0.落入否定域这时可能犯第一类错误，犯错误的概率不超过0.01.提出假设根据统计调查的目的,提出原假设H0和备选假设H1作出决策抽取样本检验假设对差异进行定量的分析，确定其性质(是随机误差还是系统误差.为给出两者界限，找一检验统计量T，在H0成立下其分布已知.）拒绝还是不能拒绝H0显著性水平P(TW)=-----犯第一类错误的概率，W为拒绝域总结在大样本的条件下，若能求得检验统计量的极限分布，依据它去决定临界值C.F检验用F分布一般说来，按照检验所用的统计量的分布,分为U检验用标准正态分布t检验用t分布2检验2用分布按照对立假设的提法，分为单侧检验，它的拒绝域取在左侧或右侧.双侧检验，它的拒绝域取在两侧;0H第二步选择检验统计量,并找出在假设成立条件下,该统计量所服从的概率分布;假设检验的一般步骤0H1H第一步提出待检验的原假设和对立假设;第三步根据所要求的显著性水平α和所选取的统计量,查概率分布临界值表,确定临界值与否定域;第四步将样本观察值代入所构造的检验统计量中,计算出该统计量的值,若该值落入否定域,则拒绝原假设0,H.0H否则接受原假设