第八章组合变形.

第八章组合变形§8-1组合变形和叠加原理§8-2拉伸或压缩与弯曲的组合§8-3偏心压缩和截面核心§8-4扭转与弯曲的组合§8-5组合变形的普遍情况§8-1组合变形和叠加原理组合变形——实际构件由外力所引起的变形包含两种或两种以上的基本变形。如压力框架、传动轴、有吊车的立柱。前提条件：①线弹性材料，加载在弹性范围内，即服从胡克定律；②必须是小变形，保证能按构件初始形状或尺寸进行分解与叠加计算，且能保证与加载次序无关。叠加原理——如果内力、应力、变形等与外力成线性关系，则在小变形条件下，复杂受力情况下组合变形构件的内力，应力，变形等力学响应可以分成几个基本变形单独受力情况下相应力学响应的叠加，且与各单独受力的加载次序无关。压弯组合变形组合变形工程实例拉弯组合变形组合变形工程实例xyzP*斜弯曲一、斜弯曲：杆件产生弯曲变形，但弯曲后，挠曲线与外力（横向力）不共面。二、斜弯曲的研究方法：1.分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲。PyPzPzPyyzPj2.叠加：对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结果叠加起来。jsinPPyjcosPPz解：1.将外载沿横截面的形心主轴分解2.研究两个平面弯曲jjsinsin)()(MxLPxLPMyzjcosMMy①内力xyzPyPzPPzPyyzPjLmmxjcosyyyIMIzMz②应力jsinzzzIMIyMy)sincos(jjzyIyIzMMy引起的应力：Mz引起的应力：合应力：PzPyyzPjxyzPyPzPLmmx④最大正应力⑤变形计算0)sincos(00jjzyIyIzM③中性轴方程jctgtg00yzIIzy可见：只有当Iy=Iz时，中性轴与外力才垂直。在中性轴两侧，距中性轴最远的点为拉压最大正应力点。max2LDmax1yD22zyfffzyfftg当j=时，即为平面弯曲。PzPyyzPjD1D2中性轴ffzfy例1结构如图，P过形心且与z轴成j角，求此梁的最大应力与挠度。最大正应力变形计算21maxDyyzzDLWMWM232322)3()3(yzzyzyEILPEILPfffjtgtgzyzyIIff当Iy=Iz时，即发生平面弯曲。解：危险点分析如图ffzfyyzLxPyPzPhbPzPyyzPjD2D1中性轴§8-2拉伸或压缩与弯曲的组合例8-2-1具有切槽的正方形木杆，受力如图。求：（1）m-m截面上的最大拉应力σt和最大压应力σc；（2）此σt是截面削弱前的σt值的几倍？解：(1)tcNAMWPaPaaa2224268422PaPaMPa75.82.02.0350000max2AP11max1zWMAP23500003505060.20.30.20.311.7MPa解：两柱均为压应力图示不等截面与等截面杆，受力P=350kN，试分别求出两柱内的绝对值最大正应力。图（1）图（2）P300200P200MPPd例8-2-2已知：,300,15mmekNP许用拉应力试设计立柱直径d。,321MPa解：将力P向立柱轴线简化，立柱承受拉伸和弯曲两种基本变形，任意横截面上的轴力和弯矩为：kNPFN15MPe24dPAP1w横截面上与对应的拉应力均匀分布，NF横截面上与M对应的弯曲正应力按线性分布，332dPeWMz132324dPedP两种应力叠加后应满足强度条件:32300101532101543323ddmmd114例8-2-3图a所示起重机的最大吊重F=12kN，许用应力，试为横梁AB选择合适的工字钢。MPa100解：根据横梁AB的受力图，由平衡方程可得：kNFkNFMcxcyA24,18,0做弯矩图和轴力图，危险截面为C点左侧截面。注意：求工字钢截面几何尺寸时，因为A、W不可能同时获得，所以不能同时考虑弯矩与轴力条件，可先按弯曲强度条件试算，再按弯压组合进行强度校核。24kN例6.2图1ｍ1.5ｍ2ｍ.12kNm查型钢表，可选用16号钢，，按弯压组合强度条件，可知C点左侧截面下边缘各点压应力最大：231.26,141cmAcmWMPaWMAFNc3.94maxmax说明所选工字钢合适。363120101001012cmMW按弯曲强度条件可得：例8-2-5图示一夹具。在夹紧零件时，夹具受到的外力为P＝2kN。已知：外力作用线与夹具竖杆轴线间的距离为e=60mm，竖杆横截面的尺寸为b=10mm，h=22mm，材料的许用应力[σ]＝170MPa。试校核此夹具竖杆的强度。解：mN120N2000kN2PemMPNzz竖杆的危险点在横截面的内侧边缘处。危险点处的正应力为:MPa158maxzztWMAN强度条件满足，所以竖杆在强度上是安全的。例8-2-6图示压力机，最大压力P=1400kN，机架用铸铁作成，许用拉应力[sL]=35MPa，许用压应力[sy]=140MPa，试校核该压力机立柱部分的强度。立柱截面的几何性质如下：yc=200mm，h=700mm，A=1.8×105mm2，Iz=8.0×109mm4。zycyhc500PP最大组合正应力发生在截面内、外侧边缘a、b处，其值分别为解：由图可见，载荷P偏离立柱轴线，其偏心距为：e=yc+500=200+500=700mm。MPa5.53IPeyAPMPa3.32IPeyAPz2bzca可见，立柱符合强度要求。500PPhzycycPeN=PM=PeN=PNy2ycbcaa'b'M=PeabzbNbzcaNaIPeyAPIPeyAP2''zbzcaIPeyIPey2''APN§8-3偏心压缩和截面核心偏心拉伸或偏心压缩是指外力的作用线与直杆的轴线平行但不重合的情况。OzyOOxyzyPyyzPzzIzPzIzMIyPyIyMAP''APezPyPyPzPAyBzPMz=PyPMy=PzPD1azD2ay)1(''22yPzPizziyyAP3.中性轴方程：①利用中性轴处的正应力为零，得中性轴方程y0=f(z0)为：—直线方程0)izziyy1(AP2y0P2z0P1izziyy2y0P2z0P②中性轴在y、z轴上的截距分别为：P2yzP2zyziayia，1)ay、az分别与yP、zP符号相反，故中性轴与偏心压力P的作用点位于截面形心的两侧。2)中性轴将截面分成两个区，压力P所在区受压，另一区受拉。在截面周边上，D1和D2两点切线平行于中性轴，它们是离中性轴最远的点，应力取极值。yz五、（偏心拉、压问题的）截面核心：ayaz012zyPiay012yzPiaz已知ay，az后，压力作用区域。当压力作用在此区域内时，横截面上无拉应力。可求P力的一个作用点),(PPyz012020yPzPizziyy中性轴),(PPyzP截面核心§8-4扭转与弯曲的组合图图ABFaTFlM,作弯矩图和扭矩图，可知危险截面为固定端截面：危险截面上的1点和2点有最大弯曲正应力和最大扭转切应力：WFlPWFa0,2222231围绕1点取单元体，可见1点处于平面应力状态，其三个主应力为：由第三强度理论建立强度条件：由第四强度理论建立强度条件：将(3)代入(1)、（2）式得：223134r（1）222132322214321r（2）对于圆轴有WWP2WMPWT（3）WTMWTWMPr222234WTMWTWMPr2222475.03（4）例8-4-1图a所示钢制实心圆轴其两个齿轮上作用有切向力和径向力，齿轮C的节圆（齿轮上传递切向力的点构成的圆）直径dC=400mm,齿轮D的节圆直径dD=200mm。已知许用应力[s]=100MPa。试按第四强度理论求轴的直径。1.作该传动轴的受力图（图b），并作弯矩图－Mz图和My图（图c,d）及扭矩图－－T图（图e）。解：2.由于圆截面的任何形心轴均为形心主惯性轴，且惯性矩相同，故可将同一截面上的弯矩Mz和My按矢量相加。mN1064)mN1000()mN364(2222zByBBMMM例如，B截面上的弯矩MzB和MyB（图f）按矢量相加所得的总弯矩MB（图g）为：由Mz图和My图可知，B截面上的总弯矩最大，并且由扭矩图可见B截面上的扭矩与CD段其它横截面上相同，TB＝-1000N·m，于是判定横截面B为危险截面。3.根据MB和TB按第四强度理论建立的强度条件为][75.0224rWTMPa10100)mN1000(75.0)mN1064(622W即Pa1010032/πmN137263d亦即mm9.51m0519.0)Pa10100(πmN13723236d于是得例8-4-2传动轴左端的轮子由电机带动，传入的扭转力偶矩Me=300N.m。两轴承中间的齿轮半径R=200mm，径向啮合力F1=1400N，轴的材料许用应力〔σ〕=100MPa。试按第三强度理论设计轴的直径d。解：（1）受力分析，作计算简图eMRF2N15002.03002RMFe150200N.m300N.m300N1500N1400（2）作内力图N.m300N.m120N.m6.128危险截面E左处150200N.m300N.m300N1500N1400WMpWTWTMr223WTMr22475.0（2）作内力图N.m300N.m120N.m6.128危险截面E左处N.m300TN.m17622zyMMMWTMr223150200N.m300N.m300N1500N1400（3）由强度条件设计d323dW32232TMd36221010030017632mm8.32m108.323§8-5组合变形的普遍情况Anyquestion?祝大家学习愉快!