第八章薄板弯曲

§8-1基本概念及基本假设§8-2弹性曲面的基本公式第八章薄板弯曲§8-3薄板横截面上的内力§8-4边界条件§8-5圆形薄板弯曲问题§8-1基本概念及基本假设一、基本概念2、薄板：板的厚度t远小于中面的最小尺寸b，这样的板称为薄板。xy2tz2t中面b1、中面：平分板厚度t的平面简称为中面。3、荷载分为:(1)纵向荷载（中面荷载）--作用在薄板中面之内的荷载沿厚度均匀分布，引起的应力、应变、位移可按平面应力问题计算(2)横向荷载—垂直于中面的荷载使薄板弯曲，引起的应力、应变、位移可按薄板弯曲问题计算薄板的小挠度弯曲理论，是以三个计算假设为基础的0z0,,在中面的任意一根法线上，薄板全厚度内所有各点都具有相同的位移，其值等于挠度。与梁的弯曲相似，在梁的任意一横截面上，所有各点都具有相同的位移，其值等于轴线的挠度。由几何方程可得二、基本假设（1）垂直于中面方向的正应变可以不计0,0yzzx（2）应力分量和远小于其余三个应力分量，因而是次要的，它们所引起的形变可以不计。但它们本身是维持平衡所必需的，不能不计。所以有：zyzx,z与梁的弯曲有相同之处，也有不同之处，梁的弯曲我们只考虑横截面，板的弯曲有两个方向，要考虑两个横截面上的应力结合第一假设，可见中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成为弹性曲面的法线。由于不计所引起的形变，所以其物理方程与薄板平面问题中的物理方程是相同的。z（3）薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，即：0,000zzu0,0,0000zxyzyzx中面的任意一部分，虽然弯曲成弹性曲面的一部分，但它在xy面上投影的形状却保持不变。所以由几何方程可以得出：1()1()12(1)xxyyyxxyxyxyEEGE§8-2弹性曲面的基本公式一、弹性曲面的微分方程薄板的小挠度问题是按位移求解的，其基本未知函数是薄板的挠度w。因此把其它所有物理量都用w来表示，即可得弹性曲面的微分方程。0,0zxyz由假设积分得可得：12(,)(,)wuzfxyxwvzfxyy即00uwwvzxyzuwvwzxzy根据薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移即：0,000zzu0),(0),(21yxfyxfzywvzxwu可得：222222xyxyuwzxxvwzyyuvwzyxxyyxwEzxwywEzywxwEzxyyx22222222222111由几何方程可得由物理方程可得yxzxxzyyxyxzxyzyx另由平衡方程可得积分得332232233223221111zxzyEzwwEzwzxxyxEzwwEzwzyyxy22122222(,)2(1)(,)2(1)zxzyEzwFxyxEzwFxyy0022tzzytzzx222222222(1)42(1)4zxzyEztzwxEztzwy根据薄板上下面内的边界条件：可求得F1(x,y),F2(x,y),最后得到：另由平衡方程可得yxzyxxzy即积分得),(34)1(24)1(2343224222yxFwzztEzwztEzzzz根据薄板下面内的边界条件：02tzz可求得F3(x,y),最后得到：2242116(1)2zEtzzwtt代入薄板上面内的边界条件：qtzz2342121Etwq3212(1)EtD其中：4Dwq最后得到：可记为--薄板的弹性曲面微分方程422ww22222yxywwMDyxwMDxy22222222222222dzdz1ttttxxEzwwMzzxywwDxy§8-3薄板横截面上的内力xyzyMxQyQyxMxyMxMxyzyyzyxxxyxz22xyQDwxQDwytztzqzttQzttQztMztMztMzyyzxxzxyxyyyxx121246461212122223223333如果用截面内力表示截面上的应力，可得qtQtQtMtMtMtzzyzyzxzxzxyzxyytzyxtzx200202222)(23)(23)(6)(6)(6)(截面上的最大应力，正应力发生在板的上下面上，切应力发生在板的中面上，其值为边界上的应力边界条件，一般难于精确满足，一般只要求满足边界内力条件。000,0xxwwx一、以矩形薄板为例，说明各种边界处的边界条件。假设OA边是固支边界，则边界处的挠度和曲面的法向斜率等于零。即§8-4边界条件二、OC具有简支边界。则边界处的挠度和弯矩等于零。即：000,0yyywM后者可表示为由于沿边界的挠度为常值0，故沿x后的导数恒为零，边界条件又可表示为22220wwyx220wy三、假设薄板具有简支边界。边界上具有力矩荷载M。这时，边界处的挠度等于零，而弯矩等于力矩荷载。即：000,yyywMM四、假设薄板具有自由边界。AB边严格来讲，自由边界上的三个内力分量均为零，即：0,00yyxyybybybMMQ因为薄板的挠度方程为一四阶偏微分方程，根据偏微分方程的理论，在每个边界上只能有两个独立的边界条件，这里的三个边界条件中后两个是有联系。根据圣维南原理，可将扭矩和剪力用静力等效来代替。xxxMMyxyxddyxMyxMxxMMyxyxdxxMMyxyxdxxMyxdByxMAyxM边界上的分布扭矩就变换为等效的分布剪力边界上的总的分布剪力为除此之外，在A和B还有未被抵消的集中剪力（也就是有集中反力）xxMyxdxxMQVyxyydAyxMByxM板弯曲的解题思路曲面微分方程边界条件挠度w应力分量方程边界条件可改写为：0,0yyybybMV222233320(2)0ybybwwyxwwyxy求解圆形薄板弯曲问题时，用极坐标比较方便。把挠度和横向荷载都看作是极坐标的函数。即：(,),(,)wwrqqrsincoscossin§8-5圆形薄板弯曲问题进行坐标变换可得：则弹性曲面的微分方程可以变换为：22222222221122222222221111()()用挠度表示的内力：2222022222022220222220220011()11()1()(1)(1)rxyrxy2220022001()1()rxywrrQQDwDwxrQQDwDwyr分布剪力：1rrrrMVQrMVQr0,0rarawwr边界条件：1、r=a处有固定边0,0rrarawM2、r=a处有简支边0,0rrraraMV3、r=a处有自由边如圆形薄板的边界是绕z轴对称的，它所受的横向荷载也是绕z轴对称的，q只是r的函数，则该薄板的弹性曲面也是绕z轴对称的，即w只是r的函数，这时，弹性曲面的微分方程将简化为：2222d1dd1dddddwwDqrrrrrr221lnlnwArBrrCrKw这个常微分方程的解答是：板中一单元体单位长度上的弯矩和扭矩以及板中应力分别为：2222dddd1dddd0rrrwMDrrrwwMDrrrMM在弹性曲面微分方程解答中的w1是任意一个特解，可以根据荷载的分布按照弹性曲面微分方程的要求来选择；A、B、C、K任意常数，由边界条件来决定。422lnln64qrwArBrrCrKD对于均布载荷q，取特解w1=Nr4代入微分方程，可解得N=q/64D。得特解w1=qr4/64D所以轴对称荷载的圆板弯曲的一般解为：（解题思路→A、B、C、K）典型问题的边界分析1、对于无孔圆板受均布荷载的问题由于薄板中心无孔，所以B和C应当等于零。否则板中心（R=0）处内力及挠度将无限大（参考前内力公式）。而A、K则由边界条件求解。422lnln64qrwArBrrCrKD0dd,0aa情况一：假设半径为a的薄板具有固支边界。则边界处的挠度和曲面的法向斜率等于零。即将二式联立解方程组，可得A，K。情况二：假设半径为a的薄板具有简支边界。则边界处的挠度和弯矩等于零。即：0,0rrarawM联立二式解方程组，可得A，K。0,rrarawMM联立二式解方程组，可得A，K。情况三：假设半径为a的薄板具有简支边界。但无横向载荷q，边界上具有均布力矩荷载M。这时，q等于零，因而特解可以取零。则边界处的挠度等于零，而弯矩等于均布力矩荷载。即：2、对于圆环形薄板。条件：内外半径分别为a，b的圆环薄板，内边界简支，外边界自由。薄板不受均布横向荷载q，边界上受均布力矩荷载M。0,0,0rrararrrbrbwMMMV由于薄板不受横向荷载，所以特解可取零。内外两边界处有四个边界条件。内边界处挠度和弯矩等于零，外边界处弯矩等于均布力矩荷载M，总剪力等于零。即其中，扭矩Mrθ。可以变换成等效剪力1rMr1rrrMVQr联立四式解方程组，可得A，B，C，K。与横向剪力Qr合并而成总的剪力即：3、对于荷载径向不连续的圆板若圆板所受的荷载沿径向不连续，有间断，则必需将该板划分为N个区段，每一区段内荷载沿径向连续。在每个区段内写出挠度的表达式，其特解项可根据载荷的分布特点选取。每个区段挠度表达式中都有四个待定常数，因此共有4N个待定常数，需要联立4N个方程来求解。因此，求解的关键还是在于寻求能够列出4N个方程的条件。