第八章非线性控制系统分析.

1第八章非线性控制系统自动控制原理第八章非线性控制系统8-1非线性系统的特征和研究方法8-2控制系统中的典型非线性特性8-3非线性控制系统的描述函数分析方法8-4非线性系统的相平面分析方法2第八章非线性控制系统自动控制原理非线性控制系统的意义实际中，完全线性的系统是不存在的，组成控制系统的元器件都存在着不同程度的非线性非线性系统的数学描述描述线性系统运动状态的数学模型是线性微分方程，特征是满足叠加原理描述非线性系统运动状态的数学模型是非线性微分方程，不满足叠加原理。§8-1非线性系统的特征和研究方法3第八章非线性控制系统自动控制原理1、稳定性对于线性系统只有一个平衡状态，系统的稳定性与平衡状态的稳定性等价；稳定性只取决于系统的结构和参数，与输入和初始条件无关。非线性系统运动的特点4第八章非线性控制系统自动控制原理对于非线性系统系统可能存在多个平衡状态，系统的稳定性与平衡状态的稳定性不等价；稳定性不但取决于系统的结构和参数，而且与输入和初始条件无关。5第八章非线性控制系统自动控制原理6第八章非线性控制系统自动控制原理()ctt0()ctt02、时间响应线性系统时间响应曲线随时间的响应特性与输入信号的大小无关，输入信号的大小只改变响应曲线的幅值，遵守叠加原理和齐次性。非线性系统的响应特性与输入信号的大小有关，不再遵守叠加原理和齐次性。7第八章非线性控制系统自动控制原理xxxx3、自激振荡线性定常系统只有在临界稳定的情况下，才能产生周期运动，但一旦受到扰动或系统参数发生微小变化，临界状态就会被破坏，周期运动不能维持。非线性系统能产生具有固有振幅和频率的稳定周期运动，称为自激振荡8第八章非线性控制系统自动控制原理3、自激振荡9第八章非线性控制系统自动控制原理3、自激振荡10第八章非线性控制系统自动控制原理3、自激振荡11第八章非线性控制系统自动控制原理4、畸变和高次谐波线性系统在正弦信号作用下的稳态输出是与输入同频率的正弦信号非性系统在正弦信号作用下的包含了倍频谐波甚至分频的谐波分量。12第八章非线性控制系统自动控制原理powerguiContinuousTransferFcn10.01s+1SubsystemIn1Out1Out2Out3Out5SineWave2SineWave1SineWaveScope2Scope1ScopeRelay1Relay051015202530-0.500.511.513第八章非线性控制系统自动控制原理5、跳跃或多值响应对于线性系统来说，对于一定的输入信号，过渡过程结束以后，系统的稳态响应是一定的，连续改变输入的幅值，输出的幅值也会连续地改变。对于非线性系统来说，对于一定的输入信号，不同的初始条件可以导致不同的稳态输出，输入幅值的微小改变，可能会引起系统工作点和输出幅值的跃迁。注：非线性特性千差万别，对于非线性系统目前没有统一的且普适的处理方法，要具体问题具体分析。14第八章非线性控制系统自动控制原理§8-2控制系统中的典型非线性特性1．死区特性死区特性的数学表达式为0,()(()[()]),extketsignete其中，为死区值，k是死区特性线性部分的增益。死区特性的输入输出特性如下图所示。xek0ex0txe死区特性的存在，会增大系统的稳态误差，降低系统的定位精度。15第八章非线性控制系统自动控制原理2．饱和特性饱和特性的数学表达式为(),()[()],keteaxtkasignetea其中，k是饱和特性线性部分的增益，ka为饱和特性的限幅值，sign为符号函数。xeak0ex0txe饱和非线性带来的增益下降，会使系统的响应速度变慢、振荡减弱、过渡过程时间增长。对于振荡发散的不稳定系统，加入饱和特性后，其等效增益随振荡幅值的增大不断减小的特性，将使系统维持一个幅值和频率都稳定的自激振荡。16第八章非线性控制系统自动控制原理3．间隙特性间隙特性的数学表达式为(sign),()xkebeebkxtxebk常值,其中b为间隙宽度，k为输出特性斜率。如下图所示。xebbkex0txe间隙特性的存在，除增大了系统的控制误差，降低了控制精度以外，还会使系统的信号在相位上产生滞后，从而使稳定裕度减少，动态特性变坏。117第八章非线性控制系统自动控制原理4．摩擦特性以旋转运动为例，粘滞摩擦转矩为，为粘滞摩擦系数；库仑摩擦转矩为0T；静摩擦转矩的最大值为0kT，1k，下图左是实际的摩擦转矩特性，中是摩擦转矩的分解特性，右是理论上摩擦转矩的抽象。fTfTfTfT0T0kT0kT0T摩擦非线性对系统的影响总是不利的，会增大系统的稳态误差，造成的系统低速运行时的不平滑性，即输出轴时转时停的低速爬行现象。18第八章非线性控制系统自动控制原理5．继电特性继电特性的数学表达式为0,(),()00,(),()0()[()],(),(),()0,(),()0maetaetaetmaetxtbsignetetabetmaetbetmaet其中a为继电特性的吸上电压，ma为继电特性的释放电压，b为饱和输出，如下左图所示。若0a，称为理想的继电特性；若1m，即吸上电压＝释放电压，称为有死区的单位继电特性；若1m，即继电特性的正向释放电压＝反向吸上电压，这时称为具有滞环的继电特性。继电特性在控制系统中被用来作为改善性能的切换元件。xeabmaxebxeabxeab继电特性理想的继电特性有死区的继电特性有滞环的继电特性19第八章非线性控制系统自动控制原理6．变增益特性两常见的变增益非线性如下图所示。xe1k2kxe1k2k这两种变增益特性使系统在大误差信号时有较大的放大倍数，从而使系统响应迅速，而在小误差信号时，有较小的放大倍数，使响应平稳。具有这种变增益非线性的系统，在高频低振幅噪音作用时，能使干扰信号更好地被抑制，而高幅值的控制信号可以顺利通过。20第八章非线性控制系统自动控制原理§8-3非线性控制系统的描述函数分析方法21第八章非线性控制系统自动控制原理§8-3非线性控制系统的描述函数分析方法描述函数法主要用来分析在无外力作用时，非线性系统的稳定性和自激振荡问题，并且不受系统阶次限制。描述函数法对系统结构、非线性环节的特性和线性部分的性能都有一定的要求，故描述函数法是近似分析方法，应用该方法有一定的限制条件。非线性元件的特性是定常和斜对称的，在正弦信号作用下非线性元件输出的基波分量占主要部分，各次谐波分量占次要部分。系统线性部分具有良好的低通滤波特性。系统中的非线性部分和线性部分可以相互孤立成反馈回路中相串联的两个环节。xeN()Gs0rcexN()GsxxeN()Gs22第八章非线性控制系统自动控制原理1．描述函数的基本概念假设非线性环节的输入信号()et为一正弦信号，输出()xt是与输入信号同周期的周期信号，所含高次谐波的振幅比基波的振幅要小得多，再加上系统线性部分的低通滤波作用，反馈到非线性环节的输入端的信号()et就基本只有正弦信号了xeN()Gs0rc23第八章非线性控制系统自动控制原理用一个只对正弦输入信号幅值和相位进行变换的复函数(,)NA环节来代替非线性环节，其模值为稳态下输出信号基波的幅值与输入正弦波幅值之比，相角为稳态下输出基波信号对输入正弦信号的相位移，即11(,)jXNAeA式中，A为正弦输入信号的幅值，为正弦输入信号的频率，1X为稳态下非线性元件输出信号基波分量的幅值，1为稳态下输出信号基波分量对正弦输入信号的相位移。一般情况下描述函数只是输入信号振幅A的函数，即有(,)()NANA。xeN()Gs0rc24第八章非线性控制系统自动控制原理设非线性元件的输入为()sinetAt，将非线性元件的输出()xt展开成傅里叶级数有01012020221()(cossin)sin()1()cos(),1()sin(),nnnnnnnnnnnnnnxtAAntBntAXntAxtntdtBxtntdtXABtgAB25第八章非线性控制系统自动控制原理如果非线性关于原点是奇对称的，则00A。这时输出的基波分量为1111221100221111111()cossinsin()11()cos(),()sin(),xtAtBtXtAxttdtBxttdtXABtgAB因此，所求元件的描述函数为111122111()AjtgjBABXNAeeAA对于奇对称单值非线性特性，010AA，描述函数()NA是一个实数，输出信号的基波与输入信号同相位，否则()NA就是一个复数，输出信号的基波对输入信号有相位移。26第八章非线性控制系统自动控制原理例题：求死区性特性的描述函数。解：设死区特性的输入为()sinetAt，则输出为110,0()(sin),2txtkAtt式中11sinA如右图所示。死区特性是单值奇对称的，()xt是奇函数，所以10A，10。xek0xt1e0t12202．典型非线性特性的描述函数27第八章非线性控制系统自动控制原理112102221111()sin()44sin()sin()sin2cos4424BxttdtkAktdttdtkAA将11sinA代入有212arcsin12kABAAA，得212()arcsin1,2BkNAAAAAA死区特性的描述函数是一个实数，当A很小时，()NAk，死区的影响可以被忽略。28第八章非线性控制系统自动控制原理例题：求饱和特性的描述函数。解：设饱和特性的输入为()sinetAt，则Aa时输出为11sin,0(),2kAttxtkat式中11sinaA如右图所示。由于饱和特性是单值奇对称的，()xt是奇函数，所以10A，10。xeak0xt1e0t122029第八章非线性控制系统自动控制原理11210201111()sin()4sinsin()sin()411(sin2)cos22BxttdtkAttdtkatdtkAka将11sinaA代入有2112sin1kAaaaBAAA，得2112()sin1,BkaaaNAarcAaAAAA饱和特性的描述函数也是一个实数，当Aa时，(A)Nk，Aa很大时，()0NA。30第八章非线性控制系统自动控制原理31第八章非线性控制系统自动控制原理32第八章非线性控制系统自动控制原理3．组合非线性特性的描述函数两个非线性环节并联后总的描述函数为两个非线性各自描述函数的代数和；两个非线性环节串联后，应根据等效的非线性特性来求总的描述函数，而并非两个非线性各自描述函数的乘积。33第八章非线性控制系统自动控制原理例题：两个非线性环节并联如下左图所示。Mk12xxxsineAt2x1xMksineAtx（1）利用表8.1，用两个非线性各自描述函数的代数和求总的描述函数。（2）求并联连接等效的非线性特性，查表8.1得到它的描述函数和（1）的结果相比较。解：（1）查表8.1，上左图中有死区的继电特性、有死区的增益特性的描述函数分别为221242()1,()arcsin1,2MkNANAAAAAAA