第八节定积分的经济应用2013-2-8

1§6.7定积分的应用-----1教学目的：熟练运用定积分知识，在已知经济函数的边际函数条件下计算其相应原函数或函数值．重点：1.弄清常用经济函数的实际问题的意义，正确列出相关定积分表达式．2.利用积分概念与性质简化计算．难点：收益流的现值和将来值教学方法：讲练结合教学过程：五、由边际函数求原函数经济函数0()(0)()xuxuutdt.例1生产某产品的边际成本函数为2()314100Cxxx,固定成本(0)10000C,求生产x个产品的总成本函数．解:0()(0)()xCxCCtdt2010000(314100)xttdt32010000[37100]xttt323710010000xxx．提问：平均成本如何求？练习1：生产某产品的边际成本为xxC2.0150)(,当产量由200增加到300时,需增加成本多少？解:需增加成本为300300200200()(1500.2)CCxdxxdx2300200[1000.1]10000xx．例2已知边际收益为()782Rxx,设(0)0R,求收益函数()Rx．解:00()(0)()0(782)xxRxRRtdtxdt220[78100]78xtttxx．2练习2：某工厂生产某商品在时刻t的总产量变化率为()10012xtt(单位/小时)求由2t到4t这两小时的总产量．解:两小时的总产量为4424222()(10012)[1006]272Qxtdttdttt．练习3：某工厂生产某商品在时刻t的总产量变化率为2()100120.6fttt(单位/小时)求由2t到4t这两小时的总产量．解:两小时的总产量为44222()(100120.6)Qftdtttdt2342[10060.2]206.8ttt（单位）．练习4.已知某产品总产量的变化率是时间t(单位:年)的函数()25(0)fttt,求第一个五年和第二个五年的总产量各为多少?解d510(25)50Qtt,d1025(25)100Qtt.例3.已知某产品生产x个单位时,总收益R的变化率(边际收益)为()200,0100xRRxx,(1)求生产了50个单位时的总收益;(2)如果已经生产了100个单位,求再生产100个单位时的总收益.解d500(200)9987.5100xRx,d200100(200)19850100xRx.例4设某种商品每天生产x单位时固定成本为20元,边际成本函数为()0.42Cxx(元/单位),求总成本函数()Cx.若该商品规定的销售单价为18元，且产品可以全部售出，求总利润函数()Lx，并问每天生产多少单位时才能获得最大利润.3解：总成本函数00()()(0)(0.42)20xxCxCxdxCxdx220[0.22]200.2220xxxxx.总利润函数()()()LxRxCx2218(0.2220)0.21620xxxxx由()0.416040Lxxx，又(40)0.40L所以每天生产40x单位时，总利润()Lx最大，且2max40(40)[0.21620]300xLLxx（元）.例（2013.10）设生产某产品的固定成本为60000元，可变成本为20元/件，价格函数为601000QP,（P是单价，单位：元，Q是销量，单位：件），已知产销量平衡，求：（1）该商品的边际利润；（2）当50P时的边际利润，并解释其经济意义；（3）使得利润最大的定价P.解由601000QP可知1000(60)QP，由()6000020126000020000CPQP，2()100060000RPPQPP，2()()()1000800001260000LPRPCPPP，（1）边际利润()200080000LPP；（2）令50P，()20000LP，经济意义：当产品价格为50P时，价格每增长1元时收益减少20000.（3）令()2000800000LPP，得40P，又()20000LP，故40P时利润最大.练习5：某产品的总成本C(万元)的变化率(边际成本)1C,总收益R(万元)的变化率(边际收益)为生产量x(百台)的函数()5RRxx,4(1)求生产量等于多少时,总利润CRL为最大.(2)从利润最大的生产量又生产了100台,总利润减少了多少解(1)()()()4LxRxCxx,由()0Lx,得4x,(4)10L，所以4x时,总利润最大.(2)d54(4)0.5Lxx,所以L减少了5000元.练习6：(92.4.6)设生产某产品的固定成本为10,而当产量为x时的边际成本函数为240203MCxx,边际收入函数为3210MRx,试求(1)总利润函数;(2)使总利润最大的产量.解(1)总成本函数为:d20()10(40203)xCxttt23104010xxx总收入函数为:20()(3210)325xRxtdtxx总利润函数为()()()LxRxCx223(325)(104010)xxxxx325810xxx令()()()0LxRxCxMRMC即2124310802,3xxxx解得又4106,(2)0,()03LxLL,所以2x为极大值点,也是获得最大利润点故2x时总利润最大.例5在某地区当消费者个人收入为x时,消费支出()Wx的变化率15()Wxx,当个人收入由900增加到1600时,消费支出增加多少？解:消费支出增加566100100160090090090015()[30]300WWxdxdxxx．练习7：已知生产某产品x单位时的边际收入为()1002Rxx(元/单位)，求生产40单位时的总收入及平均收入，并求再增加生产10个单位时所增加的总收入．解:因为(0)0R，所以生产40单位时的总收入为040(40)()RRxdx0402400(1002)[100]2400xdxxx（元）．生产40单位时的平均收入为(40)(40)6040RR（元）．为在生产40单位后再增加生产10个单位时所增加的总收入5400(50)(40)()RRRRxdx504025040(1002)[100]100xdxx（元）．（生产50个单位产品时总收益最大）练习8:已知生产某商品x单位时，边际收益函数为()20050xRx（元/单位），试求生产x单位时总收益()Rx以及平均单位收益()Rx，并求生产这种产品2000单位时的总收益和平均单位收益.解：总收益00()()(200)50xxxRxRxdxdx220[200]200100100xxxxx.平均单位收益()()200100RxxRxx；当生产2000单位时，总收益22000(2000)[200]360000100xxRx（元）；6平均单位收益2000(2000)[200]180100xxR（元）.例6假设某产品的边际收入为()9Rxx(万元/万台)，边际成本为()44xCx(万元/万台)，其中产量x以万台为单位，（1）求产量由4万台增加到5万台时利润的变化量；（2）当产量为多少利润最大？（3）已知固定成本为1万元，求总成本函数和总利润函数．解：（1）边际利润为5()()()(9)(4)544xxLxRxCxx．554455(5)(4)()(5)48xLLLLxdxdx（万元）（２）由()0Lx得唯一驻点4x（万元），5(4)04L即当产量为4x万元时利润最大．（３）由已知(0)1C200()()(0)(4)14148xxtxCxCtdtCdtx005()()(0)(5)(0)4xxLxLtdtLtdtC25518xx．三、收益流的现值和将来值1.由第二章第五节连续复利(时时刻刻在计息)知识知道若以连续复利率r计息，将一笔P元的人民币从现在起存银行，t年后的价值（将来值）为rtBPe7若t年后得到B元的人民币，则现在需要存入银行的金额（现值）为rtPBe2.收益流(1)收益流()Rt——随时间t连续变化的收益．(2)收益流量()Pt——收益流)(tR对时间的变化率(3)两者的关系()()PtRt．若收益R以元为单位,时间t以年为单位,收益流量单位为:元/年.若()Ptb为常数,则称该收益流具有常数流量(收益率).3.现值和将来值(1)将来值——将收益流存入银行并加上利息之后的存款值．(2)现值——收益流的现值是这样一笔款项,若把它存入可获息的银行,将来从收益流中获得的总收益,与包括利息在内的银行存款值,有相同的价值.总收益减去利息的所得.4.计算公式若不考虑利息,则从0t时刻开始,以()Pt为收益率的收益流到T时刻的总收益为0()TPtdt.若考虑利息,为简单起见,假设以连续复利率r计息,对于一笔收益率为()Pt(元/年)的收益流,计算现值和将来值假设连续复利率为r,收益流的收益流量为)(tP(元/年),时间段为从0t到tT年,那么(1)收益流的总现值为:00()TrtRPtedt．证明：取],0[T中的任一小区间],[dttt,在],[dttt期间的收益近似为dttP)(,此收益可以近似看作单笔在t点的收益，其现值近似为()()rtrtPtdtePtedt,所以收益流的总现值为:00()TrtRPtedt．(2)收益流的将来值为:()0()TrTtTRPtedt．8证明：取[0,]T中的任一小区间[,]ttdt,在[,]ttdt期间的收益为()Ptdt,其将来值近似为()()rTtPtedt,所以收益流的总将来值为:()0()TrTtTRPtedt．例7假设以连续复利率1.0r计息,(1)求收益流量为100元/年的收益在20年期间的现值和将来值；(2)将来值和现值的关系如何?解释这一关系．解：(1)收益在20年期间的现值020.12001001000(1)864.66tRedte(元),将来值020.1(20)222001001000(1)6389.06tRedtee(元);(2)2200ReR.说明:将单独的一笔款项0R存入银行,并以连续复利率1.0r计息,那么这笔款项20年后的将来值为0.120200ReeR,这个将来值正好等于收益流在20年期间的将来值20R.结论将来值和现值的关系将来值rTe现值.例8设有一项计划现在(0t)需要投入1000万元,在10年中每年收益为200万元.若连续复利率为%5,求收益资本价值W.(设购置的设备10年后完全失去价值).解：由于资本的价值＝收益流的现值－投入资金的现值,那么100.0502001000tWedt（200万元为每年的收益流量）5400(1)1000573.88e(万元).例9某企业一项为期10年的投资需购置成本80万元,每年的收益流量为10万元,求内部利率.(注:内部利率是使收益价值等于成本的利率).9解：由于收益流的现值＝成本,那么10100108010(1)tedte1081e（利用无穷级数0!nxnxen取2n）经过近似计算得046.0.小结：认真审题，根据实际意义及经济函数写出积分关系式进行计算．课后记：易犯错误（1）审题有误（2）列不出正确积分关系式．（3）运算错误多