第八讲函数图象中点的存在性问题

1第八讲函数图象中点的存在性问题1、已知⊙O的半径为3，⊙P与⊙O相切于点A，经过点A的直线与⊙O、⊙P分别交于点B、C，cos∠BAO＝13．设⊙P的半径为x，线段OC的长为y．（1）求AB的长；（2）如图，当⊙P与⊙O外切时，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）当∠OCA＝∠OPC时，求⊙P的半径．满分解答（1）如图2，作OE⊥AB，垂足为E，由垂径定理，得AB＝2AE．在Rt△AOE中，cos∠BAO＝13AEAO，AO＝3，所以AE＝1．所以AB＝2．（2）如图2，作CH⊥AP，垂足为H．由△OAB∽△PAC，得AOAPABAC．所以32xAC．所以23ACx．在Rt△ACH中，由cos∠CAH＝13，得1322AHACCH．所以1239AHACx，224239CHACx．在Rt△OCH中，由OC2＝OH2＋CH2，得222422()(3)99yxx．整理，得23649813yxx．定义域为x＞0．图2图3（3）①如图3，当⊙P与⊙O外切时，如果∠OCA＝∠OPC，那么△OCA∽△OPC．因此OAOCOCOP．所以2OCOAOP．解方程236493(3)813xxx，得154x．此时⊙P的半径为154．②如图4，图5，当⊙P与⊙O内切时，同样的△OAB∽△PAC，23ACx．如图5，图6，如果∠OCA＝∠OPC，那么△ACO∽△APC．所以AOACACAP．因此2ACAOAP．解方程22()33xx，得274x．此时⊙P的半径为274．图4图5图62考点伸展第（3）题②也可以这样思考：如图4，图5，图6，当∠OCA＝∠OPC时，3个等腰三角形△OAB、△PAC、△CAO都相似，每个三角形的三边比是3∶3∶2．这样，△CAO的三边长为92、92、3．△PAC的三边长为274、274、92．2、如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(－4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P、D、B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于F，连结EF、BF．（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时．①求证：∠BDE＝∠ADP；②设DE＝x，DF＝y，请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．答案（1）直线AB的函数解析式为y＝－x＋4．（2）①如图2，∠BDE＝∠CDE＝∠ADP；②如图3，∠ADP＝∠DEP＋∠DPE，如图4，∠BDE＝∠DBP＋∠A，因为∠DEP＝∠DBP，所以∠DPE＝∠A＝45°．所以∠DFE＝∠DPE＝45°．因此△DEF是等腰直角三角形．于是得到2yx．图2图3图4（3）①如图5，当BD∶BF＝2∶1时，P(2,2)．思路如下：由△DMB∽△BNF，知122BNDM．设OD＝2m，FN＝m，由DE＝EF，可得2m＋2＝4－m．解得23m．因此4(0,)3D．再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2)．②如图6，当BD∶BF＝1∶2时，P(8,－4)．思路同上．3图5图63、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，53sinB，⊙B的半径长为1，⊙B交边CB于点P，点O是边AB上的动点．（1）如图1，将⊙B绕点P旋转180°得到⊙M，请判断⊙M与直线AB的位置关系；（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP是等腰三角形时，求OA的长；（3）如图3，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切，设NB＝y，OA＝x，求y关于x的函数关系式及定义域．图1图2图3满分解答（1）在Rt△ABC中，AC＝6，53sinB，所以AB＝10，BC＝8．过点M作MD⊥AB，垂足为D．在Rt△BMD中，BM＝2，3sin5MDBBM，所以65MD．因此MD＞MP，⊙M与直线AB相离．图4（2）①如图4，MO≥MD＞MP，因此不存在MO＝MP的情况．②如图5，当PM＝PO时，又因为PB＝PO，因此△BOM是直角三角形．在Rt△BOM中，BM＝2，4cos5BOBBM，所以85BO．此时425OA．③如图6，当OM＝OP时，设底边MP对应的高为OE．在Rt△BOE中，BE＝32，4cos5BEBBO，所以158BO．此时658OA．4图5图6（3）如图7，过点N作NF⊥AB，垂足为F．联结ON．当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON＝x＋y．在Rt△BNF中，BN＝y，3sin5B，4cos5B，所以35NFy，45BFy．在Rt△ONF中，4105OFABAOBFxy，由勾股定理得ON2＝OF2＋NF2．于是得到22243()(10)()55xyxyy．整理，得2505040xyx．定义域为0＜x＜5．图7图8考点伸展第（2）题也可以这样思考：如图8，在Rt△BMF中，BM＝2，65MF，85BF．在Rt△OMF中，OF＝8421055xx，所以222426()()55OMx．在Rt△BPQ中，BP＝1，35PQ，45BQ．在Rt△OPQ中，OF＝4461055xx，所以222463()()55OPx．①当MO＝MP＝1时，方程22426()()155x没有实数根．②当PO＝PM＝1时，解方程22463()()155x，可得425xOA③当OM＝OP时，解方程22426()()55x22463()()55x，可得658xOA．4、如图，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，点O为坐标原点．甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走，t小时后，甲到达M点，乙到达N点．（1）请说明甲、乙两人到达点O前，MN与AB不可能平行；（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长．设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．5答案（1）当M、N都在O右侧时，24122OMttOA，642163ONttOB，所以OMONOAOB．因此MN与AB不平行．（2）①如图2，当M、N都在O右侧时，∠OMN＞∠B，不可能△OMN∽△OBA．②如图3，当M在O左侧、N在O右侧时，∠MON＞∠BOA，不可能△OMN∽△OBA．③如图4，当M、N都在O左侧时，如果△OMN∽△OBA，那么ONOAOMOB．所以462426tt．解得t＝2．图2图3图4（3）①如图2，24OMt，12OHt，3(12)MHt．(64)(12)52NHONOHttt．②如图3，42OMt，21OHt，3(21)MHt．(64)(21)52NHONOHttt．③如图4，42OMt，21OHt，3(21)MHt．(21)(46)52NHOHONttt．综合①、②、③，s222MNMHNH22223(21)(52)16322816(1)12ttttt．所以当t＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米．5、如图1，在四边形OABC中，AB//OC，BC⊥x轴于点C，A(1,－1)，B(3,－1)，动点P从O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设点P移动的时间为t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；（2）用含t的代数式表示点P、Q的坐标；（3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）求出S与t的函数关系式．图1满分解答（1）由A(1,－1)、B(3,－1)，可知抛物线的对称轴为直线x＝1，点O关于直线x＝1的对称点为(4,0)．于是可设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，代入点A(1,－1)，得－3a＝－1．解得13a．所以2114(4)(2)333yxxx．顶点M的坐标为4(2,)3．6（2）△OPQ是等腰直角三角形，P(2t,0)，Q(t,－t)．（3）旋转后，点O′的坐标为(2t,－2t)，点Q′的坐标为(3t,－t)．将O′(2t,－2t)代入1(4)3yxx，得122(24)3ttt．解得12t．将Q′(3t,－t)代入1(4)3yxx，得13(34)3ttt．解得t＝1．因此，当12t时，点O′落在抛物线上（如图2）；当t＝1时，点Q′落在抛物线上（如图3）．图2图3（4）①如图4，当0＜t≤1时，重叠部分是等腰直角三角形OPQ．此时S＝t2．②如图5，当1＜t≤1.5时，重叠部分是等腰梯形OPFA．此时AF＝2t－2．此时S＝1(222)1212ttt．图4图5③如图6，当1.5＜t＜2时，重叠部分是五边形OCEFA．此时CE＝CP＝2t－3．所以BE＝BF＝1－(2t－3)＝4－2t．所以S＝221111(32)1(42)28222ttt．图6考点伸展在本题情景下，重叠部分的周长l与t之间有怎样的函数关系？如图4，(222)lt．如图5，4222lt．如图6，(422)522lt．6、如图1，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数334yx的图像与y轴、x轴的交点，点B在二次函数218yxbxc的图像上，且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能7构成平行四边形．（1）试求b、c的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动到何处时，由PQ⊥AC？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？图1满分解答（1）由334yx，得A(0,3)，C(4,0)．由于B、C关于OA对称，所以B(－4,0)，BC＝8．因为AD//BC，AD＝BC，所以D(8,3)．将B(－4,0)、D(8,3)分别代入218yxbxc，得240,883.bcbc解得14b，c＝－3．所以该二次函数的解析式为211384yxx．（2）①设点P、Q运动的时间为t．如图2，在△APQ中，AP＝t，AQ＝AC－CQ＝5－t，cos∠PAQ＝cos∠ACO＝45．当PQ⊥AC时，45AQAP．所以545tt．解得259APt．图2图3②如图3，过点Q作QH⊥AD，垂足为H．由于S△APQ＝2111333sin(5)2225102APQHAPAQPAQtttt，S△ACD＝11831222ADOA，所以S四边形PDCQ＝S△ACD－S△APQ＝2233358112()()1021028ttt．所以当AP＝52时，四边形PDCQ的最小值是818．考点伸展如果把第（2）①题改为“当P运动到何处时，△APQ是直角三角形？”除了PQ⊥AC这种情况，还有QP⊥AD的情况．8这时45APAQ，所以455tt．解得209t（如图4所示）．图47、如图1，抛物线213922yxx与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，联结BC、AC．（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作BC的平行线交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积