第六章_弹性力学平面问题的直角坐标系解答

1第六章弹性力学平面问题的直角坐标系解答在第五章讨论了弹性力学问题的基本解法：位移法和应力法，并结合简单的三维问题，根据问题的特点，猜想问题的应力解或位移解，并验证猜想的解是否满足应力法或位移法的基本方程和边界条件，满足则为问题真解。弹性体都是三维的，而受力（外力）一般也是空间力系，但如果所研究弹性体具有某种特殊形状。例如：一个方向的尺寸远比其他两个方向的尺寸大的多或小的多，并且承受某种特殊规定的外力和约束，则可以把空间问题（三维）作为近似的平面问题（二维）处理，这将使分析和计算大大简化，而所得结果也能满足工程上对精度的要求。第1节平面问题的分类平面问题在工程中极为常见，而且平面问题的解析解在整个弹性力学解析解中占有较大比重。因此必须给予足够的重视。平面问题分为平面应力问题和平面应变问题两类。下面将它们分类简要说明一下。1.1平面应力问题固体的形状特点：物体一个方向尺寸比其它两个方向尺寸小的多（等厚度薄板）。x2x1x3ox2t2受力和约束特点：沿厚度（x3方向）均匀分布，体力f3=fz=0,面力03ZX，在薄板表面无面力，坐标系（x1,x2,x3）放在板厚中间平面——中平面，以z(或x3）轴垂直板面。满足上述条件的问题称为平面应力问题。由物体几何特点和受力特点知：在2tz处，0ZYXz=zx=zy=0。由于薄板很薄，表面三个应力分量为零，则近似认为在V内认为z=zx=zy=0。平面应力问题：应力分量仅存三个x=x(x,y),y=y(x,y),xy=xy(x,y),均为x,y的函数，待求。将应力分量代入各向同性材料的本构关系存在四个应变分量(待求量)：x,y,xy,z（其中z不独立）位移分量待求量：u(x,y),v(x,y)（考虑平面内位移）.平面应力问题待求未知函数一共八个：3个应力＋3个应变＋2个位移1.2平面应变问题形状特点：物体一个方向尺寸（z或x3）比其它两个方向（x,y或x1,x2）大的多，如水坝、涵洞。x1(x)x2(y)x3(z)3受力和约束情况：沿z(或x3）轴方向无变化，体力f3=fz=0，面力03ZX，这样x3=z=const面均可看成对称面，对称结构受对称荷载和约束，则此对称面处的位移和变形为零，即w=0(z=0),zx=zy=0所以平面应变问题：应变分量仅有三个x,y,xy=yx，位移分量两个：u(x,y),v(x,y)，应力分量：x,y,xy,z（其中z不独立）。平面应变问题待求未知函数仍然八个：3应力＋3应变＋2位移。第2节平面问题的基本方程和边界条件2.1平衡微分方程（2个）两个平面问题一致：,+f=0,,=1,20Xyxyxx，0Yyxyxy2.2几何方程（3个）两平面问题一致：)(21,,uuxux,yvy，xvyuxy2.3相容方程（1个）两平面问题一致：yxxyxyyx222224对于平面应力问题还应有022xz，022yz，02yxz，但对于薄板厚度尺寸远此三个方程可以不考虑。2.4本构方程（3个）平面应力问题)(1yxxE，)(1xyyE，xyxyE)1(2平面应变问题)1()1(2yxxE，)1()1(2xyyE，xyxyE)1(2两个平面问题的基本方程仅物理方程有所不同，将平面应力物理方程中弹性系数21EE，1，则平面应力问题的物理方程变为平面应变问题的物理方程。所以按平面应力问题求解的结果中弹性系数也如此替换，则可得到平面应变问题解。2.5边界条件位移边界条件：uu(=1,2）uu，vv在Su上力的边界条件：nXyxxmlX，yxymlY在S上第3节平面问题的基本解法53.1位移法基本未知函数：u(x,y),v(x,y)基本方程两个：用u,v表示的平衡微分方程。平面应力问题：011,2fuGuG其中22222yx平面应变问题：0211,2fuGuG边界条件：位移边界uu，vv在Su上力的边界yxxmlX，yxymlY在S上（应力需要用位移微分表示）3.2应力法基本未知函数（3个）：x,y,xy=yx,基本方程（3个）：2个平衡微分方程,+f=01个相容方程：平面应力问题时))(1()(2yfxfyxyx平面应变问题时)(11)(2yfxfyxyx力边界条件：nXyxxmlX，yxymlY在S=S上当体力为常数或体力为零时，两个平面问题的相容方程一致62(x+y)=0(x+y)为调合函数，与弹性系数无关，不管是平面应力（应变）问题，也不管材料如何，只要方程一致，应力解一致，有利实验。3.3应力函数解法当体力为常量或为零时，按应力法解的基本方程（共三个）为,+f=02=0应力法基本方程的前两个为非齐次方程，所以根据微分方程理论，非齐次微分方程的通解等于其特解加上齐次微分方程的通解。所以,非齐次方程特解可以选x=-fxx,y=-fyy,xy=0;（特解还可以选其它形式）下面工作求齐次微分方程,=0的通解，或者0yxyxx，0yxyxy的通解同时通解还需要满足相容方程：2(x+y)=0对于上面三个齐次微分方程要求出其通解，仍是一个较复杂、困难的问题。1862年Airy提出将满足三个齐次微分方程的3个应力分量的齐次解由一个函数（应力函数）的二阶微分来表示，使之自然满足齐次平衡微分方程,=0这样应力法的齐次基本方程仅为用应力函数表示的相7容方程，使未知函数和基本方程数均减为一个。Airy提出应力函数(x,y)与齐次微分方程中待求应力分量之间满足如下微分关系：22yx，22xy，yxxy2（a）应力函数(x,y)与待求应力分量齐次解之间的微分关系是由两个齐次平衡微分方程导出的：xxyxyAyx，xyxAyxyyxBxy，xyyB得yAyBxA，xB从而导出(a)式。则(a)式使得齐次的平衡微分方程自然满足，将(a)式代入相容方程，得0)(42222222xy——应力函数解法的基本方程（一个）基本方程为由应力函数满足的双调合方程。最后应力分量解为其特解加通解：8xfyxx2，yfxyy2，yxxy2在边界上应力分量满足力的边界条件（在S上），用应力函数表示：)()(222yxmxfylXx，)()(222yfxmyxlYy对于单连域，应力函数(x,y)满足双调和方程4=0，且在S上满足用应力函数二阶偏微分表示的边界条件，则由(x,y)导出应力分量为真解，对于复连域，还要考虑位移的单值条件。3.4应力函数的特性1.应力函数加上一个线性函数a+bx+cy，并不影响应力，换句话说，某问题的应力函数为，则1=+a+bx+cy也是问题的应力函数。应力函数可确定到只差一个线性函数。2.无体力作用时，应力函数及其一阶偏导数的边界值可分别由边界的面力的主矩和主矢量来确定yBAABRdSYxx)()(,xBAABRdSXyy)()(BBABBABABMdSXyydSYxx)()((对B点取矩)逆时针为正。yyxodsdyne1e2-dxxoABF9下面推导一下.对于无体力时fx=fy=0；力的边界条件为Xyxmyl222,Yxmyxl222而dSdyenl),cos(1,dSdxenm),cos(2代入上式得XdSdxyxdSdyy222XydSd)(YdSdxxdSdyyx)(222YxdSd)(积分得xBABAABRdsXydSdyy)()()(yBAABRdsYxx)()(根据函数的求导公式dSdyydSdxxdSddSXdSdydSYdSdxdSdCACA)()(而C为边界上动点上式对s积分得dSdSXdSdydSYdSdxBACACAAB)(采用分部积分10dSXyydSYxxdSXydSYxdSXydSYxdSXydSYxdSXydSYxBABBABBABABABABBBABABACACA)()()()(——边界力对B点之矩第4节多项式应力函数运用举例例题1矩形域无体力作用时应力函数分别为二次项和三次项的结果（而一次项无须考虑），采用逆解法。1．取为二次项：2322122),(ycxycxcyx，代入4=0，满足。将代入应力分量与应力函数的关系式，得322cyx，122cxy，22cyxxy可见，矩形域各点应力状态一样，为常量。设c1,c2,c3均为正值。矩形域边界面力如图所示。3.取为三次项：c1xc3yc2111342322316226),(ydxydyxdxdyx，代入4=0，满足。将代入应力分量与应力函数的关系式，得ydxdyx4322ydxdxy2122应力为x、y的线性式。ydxdyxxy322仅取一项346ydx=d4y,y=xy=0。在边界上面力分布与坐标系位置有关。坐标系如下图所示面力分布为纯弯问题，在两端面的面力将产生一个M。12334223422hdydydxMhhhhxzIMhMd1234，yIMzx（材料力学解）由应力分量求应变分量：yEIMExx1，EIMyExy，0xy；通过几何方程积分及约束条件可以求出位移。yxh/2h/21d4h/2MM12本题讨论坐标位置选取不同将导致边界上面力分布不同，从而对应不同的问题。因此，本题在边界上面力分布与坐标系位置有关。如果仍取一项346ydx=d4y,y=xy=0；但坐标位置变了,边界上面力分布如下图。例题2无体力作用的悬臂梁，在端部受集中力P作用。本题采用应力函数的半逆解法。半逆解法思路：1.根据受力情况和求解经验，包括材料力学的解，定性估计应力分量的变化，并根据应力分量与应力函数关系，反推出函数的主要项。2.将所设代入4=0和力的边界条件进行检验，如果不满足则进行修正（适当增加项），再代入4=0和力的边界条件进行检验，直至满足所有方程为止。本题求解的基本情况：基本方程4=0，边界条件为混合边界条件：hyxd4hd4h/2d4h/2x1yPMPlx2h13主要边界上，在y=h：0X，0Y（无面力）次要边界上，在x=l：0X，hhPdyY在x=0：严格要求u=0，v=0PdyYPlMdyXdyXhh0解题：1．根据受力特点知在x处弯矩：M=P(l-x)，材料力学应力解：yIxlPyIMx)(所以x包含y和xy项，又因为22yx，可设313166ycxya，代入4=0，满足。将代入应力分量与应力函数的关系式，得2121120yayxy