第六章习题答案_数值分析

第六章习题解答2、利用梯形公式和Simpson公式求积分21lnxdx的近似值，并估计两种方法计算值的最大误差限。解：①由梯形公式：21ln2()[()()][ln1ln2]0.3466222baTffafb最大误差限3''2()111()()0.083312121212TbaRff其中，(1,2)②由梯形公式：13()[()4()()][ln14ln()ln2]0.38586262babaSffaffb最大误差限5(4)4()66()()0.0021288028802880SbaRff，其中，(1,2)。4、推导中点求积公式3''()()()()()()224baabbafxdxbaffab证明：构造一次函数P（x），使'',()()2222ababababPfPf则，易求得'()()()()222abababPxfxf且'()()()()222bbaaabababPxdxfxfdx0()()()22baababfdxbaf，令()baPxdxZ现分析截断误差：令'()()()()()()-()222abababrxfxPxfxfxf由'''()()()2abrxfxf易知2abx为()rx的二重零点，所以可令2()()()2abrxxx，构造辅助函数2()()()()()2abKtftPtxt，则易知：()02abKxK其中2abt为二重根()Kt有三个零点由罗尔定理，存在''''''()(,)()0()2()0()2fabKfKxKx使即从而可知''2()()()()()22fabrxfxPxx截断误差''2()()()()()()()22bbbbaaaafabRffxdxZfxPxdxrxdxxdx2()2abx在(a,b)区间上不变号，且连续可积，由第二积分中值定理''''322''()()()()()()()(,)222224bbaafabfabbaRfxdxxdxfab综上所述3''()()()()()()224baabbafxdxZRfbaff证毕6、计算积分10xedx，若分别用复化梯形公式和复化Simpson公式，问应将积分区间至少剖分多少等分才能保证有六位有效数字？解：①由复化梯形公式的误差限32''522()1()()101212122TbabaeRfhfenn可解得：212.85n即至少剖分213等分。②由复化梯形公式的误差限4(4)5411()()10288028802SbaRfhfen可解得：3.707n即至少剖分4等分。7、以0，1，2为求积节点，建立求积分30()Ifxdx的一个插值型求积公式，并推导此求积公式的截断误差。解：在0，1，2节点构造二次lagrange插值多项式，则有2012()()(0)()(1)()(2)Pxlxflxflxf(1)(2)(0)(2)(1)(0)(0)(1)(2)(01)(02)(10)(12)(21)(20)xxxxxxfff则(3)233()()()()()(1)(2)3!ffxPxxxxxx对上式在[0，3]上求积分，则有(3)33323000()()()()3!ffxdxPxdxxdx其中333322220000323323323000(0)(2)()(32)((1))(2)()22(0)131(2)11[2](1)[][]2323232(0)3(2)9+222239(0)+(2)44ffPxdxxxdxfxxdxxxdxffxxxfxxxxffff插值型求积公式33210039()()(0)(2)=44IfxdxPxdxffI34319()=32442.fxx取，代入求积公式，左边右边代数精度为由于(1)(2)xxx在[0，3]上不保持常号，故考虑构造一个二次多项式2()Px满足下列插值条件：222(0)(0),(2)(2),'(2)'(2)PfPfPf由Hermite插值方法，有(3)2()23!()()(2),ffxPxxxab对上式在[0，3]上求积分，则有(3)2333()23!000()()(2)ffxdxPxdxxxdx因为2()Px为二次多项式，所以322203939()(0)(2)(0)(2)4444PxdxPPff(3)3210(3)(3)32(3)0()(2)3!()()93(2)()3!3!48fIIxxdxffxxdxf8、（1）试确定下列求积公式中的待定系数，指出其所具有的代数精度。)](')0('[)]()0([2)(20hffhhffhdxxfh解：分别将1)(xf，x代入求积公式，易知求积公式精确成立。代入2)(xxf，令求积公式精确成立，于是有：33323,3hhh右左可解得：121代入3)(xxf，于是有442,44444hhhh右左左=右，求积公式成立。代入4)(xxf，于是有632,55555hhhh右左右左，求积公式不精确成立。综上可知，该求积公式具有三次代数精度。9、对积分dxxxf102)1)((，求构造两点Gauss求积公式，要求：（1）在[0,1]上构造带权21)(xx的二次正交多项式；（2）用所构造的正交多项式导出求积公式。解：（1）构造在[0,1]上构造带权函数21)(xx的正交多项式)(0xQ、)(1xQ、)(2xQ，取1)(0xQ、)()()(011xQxxQ，其中83)1()1()](),([)](),([10210200001dxxdxxxxQxQxQxxQ，则83)(1xxQ。同理，95111916)(22xxxQ，求)(2xQ的零点得：17306907.00x，66903619.01x求积系数：39523617.0)(1000dxxlA27143053.0)(1011dxxlA（2）求（1）可导出求积公式：)()()1)((1100102xfAxfAdxxxf)66903619.0(27143053.0)17306907.0(39523617.0ff11、试用三点Gauss-Legendre公式计算dxx311并与精确值比较。解：设三点Gauss-Legendre求积节点为：5150t，01t，5152t相应求积系数为：950A，981A，952A，1a,3b，xxf1)(，令tabbax22则dttabbafabdxx1131)22(2109803922.1)22(220iiitabbafAab精确值为：ln3=1.09861229，二者误差：R≈5.7307×10-4。13、对积分101()lnfxdxx导出两点Gauss求积公式解：在[0，1]上构造带权1()lnxx的正交多项式0()x、1()x、2()x0()x=1，1000110110001ln((),())1()()()1((),())4lnxdxxxxxxxxxxdxx11()4xx同理可得22517()7252xxx求2()x的零点可得010.112008810.60227691xx以0x、1x作为高斯点两点高斯公式，1n，应有3次代数精度，求积公式形如1001101()ln()()fxdxAfxAfxx将()1,fxx代入上式两段，10101001101ln1lndxAAxxdxxAxAx联立解出：010.71853932,0.28146068AA所以所求两点Gauss求积公式1001101()ln()()0.71853932(0.11200881)0.28146068(0.60227691)fxdxAfxAfxffx15、利用三点Gauss-Laguerre求积公式计算积分2011dxx解：原积分2001()1xIdxefxdxx，其中2()1xefxx由三点Gauss-Laguerre求积节点：0130.4157745568,2.2942803063,6.2899150829xxx相应求积系数0120.7110930099,0.2785177336,0.0103892565AAA则20()1.49790652KKKIAfx16、设()fx四阶连续可导，0,0,1,2ixxihi。试推导如下数值微分公式的截断误差。'0122()4()3()()2fxfxfxfxh解：设2()Lx是()fx的过点012,,xxx的2次插值多项式，由Lagrange插值余项（n=2）有，(3)2312()()()()3!xffxLxxxx其中3012()()()()xxxxxxx若取数值微分公式''2()()fxLx则截断误差(3)(3)''''222233()()()()()()()3!3!fdfRxfxLxxxdx将2xx代入得'0122()4()3()()2fxfxfxfxh误差项中，32()0x(3)(3)''(3)(3)2222322021()()21()()()()()()()3!3!3!3ffhhRxxxxxxffhOh所以截断误差为(3)21()3fh，即2()Oh