第六章二次型

6.3基本内容6.3.1二次型及其矩阵形式(1)定义n变量的二次齐次函数nnnxxxxxxxxxxf1131132112211121222),,,(2222xnnxxxx223223222nnnxjininjijxx11(其中ijjiijR)，称为n个变量nxxx,,,21的二次型。注若0ij（njiji,,2,1,,）则称f为标准型。(1)矩阵形式AxxxT)(f其中nnijTnAxxx)(,,,,21x，这里jiij，即A为实对称矩阵。注1实对阵矩阵A成为二次型f的矩阵，而A的秩称为该二次型的秩。注2二次型与实对称矩阵是一一对应的，即二次型的矩阵必为实对称矩阵，而任一实对称矩阵均可看做是某一二次型的矩阵。注3标准型的矩阵是对角阵。6.3.2与二次型的标准型有关的概念(1)满秩线形变换设nnijTnTnpyyyxxx)(,,,,,,,,2121Pyx可逆，则称x=Py为由nxxx,,,21到nyyy,,,21的满秩线形变换。注若P为正交矩阵，则称为正交的（线性）变换。(2)合同矩阵设A，B为n阶方阵，若存在n阶可逆阵C，使BACCT则A合同与B，C为合同变换阵。注1若C为正交阵，满足BACCT，A与B既合同，又相似。注2合同矩阵秩相等。注3合同关系满足自反性、对称性、传递性。(3)对任一个二次型AxxTf，总可以通过满秩线形变换x=Py化为2222211rrydydydfAyPyTT成为f的标准型。其中r=r(A)，即任一二次型均可通过满秩变换化为标准形。注1f的标准型矩阵D=APPT与f的矩阵A合同。注2将二次型化为标准形的满秩变换不是唯一的，从而二次型的标准形也不是唯一的。注3当1,111rppdddd时的标准型成为f的规范型。其形式为22122221rppyyyyy，二次型的规范形是唯一的。(4)惯性律对一个二次型AxxTf，无论用哪一个满秩变换将其化为标准形，其标准形中平方项前正系数个数p和负系数个数r-p都是唯一确定的，称p为二次型的正惯性指数，r-p为负惯性指数（其中r为A的秩），而p-（r-p）称为符号差。注两个n个变量的不同的二次型的正、负惯性指数如果相等，则它们有相同的规范形。6.3.3化二次型为标准型的方法(1)配方法对二次型jinjiijiniiinxxxxxxf121212),,,(从左边先找出一个系数不为零的平方项2qx，把所有包含qx的项集中在一起，配成完全平方的形式；接着寻找下一个系数不为零的平方项2kx，同样把所有包含kx的项集中到一起，配成完全平方的形式。依次类推，直到二次型的每一项都成为完全平方的形式。注若二次型，但)(0jiij，则可先做满秩变换),,2,1,,(nkjikxxyyxyyxkkjijjii化为二次型为含平方项的二次型，再按上述方法配方。(2)正交变换法对二次型AxxTf，由于A是对称阵，故按实对称阵正交对角化的方法总可找到正交阵Q，使AQQT=diag（),,,21n所以由正交变换x=Qy，可得222221nnyyyf1TTyyAxx注用正交变换得到的标准形平方项前的系数必为A的特征值，但若用其他满秩变换化为标准型，则平方项前系数A的特征值无关。6.3.4正定二次形和正定矩阵的概念对于任意n维非零向量x，若恒有0AxxTf，则称f为正定二次型，f的矩阵A称为正定矩阵，记作A0。注1正定矩阵必是对称阵注2若对任意nRx，有0AxxTf，且存在0x0，使00AxxTf，则称f或A为半正定，记作A0，类似地可以定义f或A为负定或半负定。6.3.5正定矩阵的判别方法设A为n阶实对称阵。(1)若A的正惯性指数等于n，则A正定。(2)若A的特征值全是正的，则A正定。(3)若A的各阶前主子式均大于零，则A正定。(4)若A合同于单位阵，即CCAT（C为可逆阵），则A正定。(5)用正定的定义，即0AxxRx0xTnf,,，则A正定。注1上述各条均为实对称阵A正定的充要条件，最常用的方法是(2)，(3)，(5)。注2n阶矩阵A=)(ija的k阶前主子式也成为顺序主子式，即为行列式kkkkkkaaaaaaaaa212222111211detkkAD).,2,1(nk共有n个。注3对负定矩阵来说，类似于方法(3)的结论应为：若),,2,1(0)1(nkkkD，则A负定。6.3.6正定矩阵的有关结论(1)A正定，则),,2,1(,0niaii注这是正定的一个必要条件，常用来判定A不是正定的，但不能用来判断A正定。(2)A正定，则m1TAAAA,,,*（m为正整数）均为正定矩阵。(3)A，B为n阶的正定矩阵，则A+B也是正定矩阵。6.4典型例题分析1）用正交变换化二次型为标准型问题（1）对实对称矩阵A，求正交矩阵Q，使AQQT（为对角阵）。（2）对二次型AxxfT，求正交矩阵Q，使AQQT（为对角阵），则当Qyx时，有yyfT为标准型。方法：关键是求正交矩阵Q，步骤为：（1）求出A的所有特征值n,,,21；（2）对重特征值i，将0)(xIai的基础解系正交化；（3）将n个正交的特征向量n,,,21标准化得n,,,21；则nQ,,,21即为所求，例1设442442221A（1）将A对角化。（2）求一个正交变换Qyx，使二次型32232231212132184444),,(xxxxxxxxxxxxf为标准型。解（1）求出A的特征值：)9(4424422212IA特征值为021，93。对021，解方程组0)0(xIA即04420442022321321321xxxxxxxxx得线性无关的特征向量为T0,1,21，T1,0,22将它们正交化得T0,1,211T1,54,52,,1111222对93，解方程组0)9(xIA，即054204520228321321321xxxxxxxxx得到一个线性无关的特征向量T2,2,13由于3必与21,正交，故将321,,单位化，得T0,51,521，T535,534,5322，T32,32,313令321,,Q，则Q为正交阵，且有AQQT，即TQQA其中900。（2）f的矩阵恰为A，故由（1）的计算可得正交变换Qyx，则239yyyAxxfTT注1实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的，所以本题中属于93的特征向量3与021的特征向量已正交，只需将其标准化即可。注2特征向量（即齐次线性方程组的基础解系）的取法是不唯一的，所以正交矩阵Q不唯一。注3在构成正交矩阵Q时，标准正交向量321,,的顺序是可变的，只要321,,在对角阵中的位置与321,,在Q中的位置相同即可。注4用正交变换将二次型化为标准型，标准型的平方项系数恰为二次型矩阵的特征值，但用一般可逆变换时，这个结果不成立。2）用配方方法化二次型为标准型例2用配方法化下列二次型（1）322221214321442),,,(xxxxxxxxxxf（2）31312143212),,,(xxxxxxxxxxf为标准形，并求出所用得非退化线性变换。解(1))4()(24)2(2),,,(3222221322221243211xxxxxxxxxxxxxxxf232322214)2()(2xxxxx令333222112xyxxyxxy，则321321100210011xxxyyy，即1100210011xyy100210211，使23222142yyyf(2)令33212211yxyyxyyx，即yx100011011，则3222132132132122213)()(2yyyyyyyyyyyyyyf232322312332222312)23()21()413()21(yyyyyyyyyyy令332321312321zyzyyzyy，即333223112321zyzzyzzy，即zy10023102101，于是zzx10021111110023102101100011011，使2322212zzzf3)与二次型的标准形有关的问题例3已知二次型22265625),,(czyzyxzxyxzyxf的秩为2，求参数c，并指出1),,(zyxf表示何种曲面。解zyxczyxzyxf33351315),,(故对应的矩阵为cA33351315由已知得r（A）=2，所以0722433351315ccA故c=3。下面求A的特征值。由0)9)(4(333351315IA，得A的特征值为0，4，9，则必有正交变换wvuQzyx将二次型化为标准形2294wvf，故1),,(zyxf，即为19422wv表示椭圆柱面。例4对二次型32212221442xxxxxxf分别作下列三个可逆线性变换，求新二次型(1)321321100210211yyyxxx,(2)32132121001101121yyyxxx,(3)321321100210011yyyxxx解(1)解法一将线性关系直接代入23222133232321232232142)2(4)2)(2(4)2()2(2yyyyyyyyyyyyyyyyf解法二f的矩阵为020222022A，设线性变换矩阵为P，则23222142412100210211020212022122011001yyyyyyyAPyPyAxxfTTTTT(2)1112100110112102021202221110110021APPT故232221yyyf。(3)444474442100210011020212022120011001APPT故32312123222188872yyyyyyyyyf。注1可以对一个二次型作不同的可逆线性变换，但如(3)那样并不是任意一个不可逆变换都