第六章代数系统.

第六章代数系统第六章代数系统•6.1代数系统的一般概念•6.2同态与同构•6.3同余关系•6.4商代数和积代数•6.5典型代数系统6.1代数系统的一般概念定义：设S为非空集合，Ω为S上代数运算的非空集合，称为一个代数系统或代数结构。集合S称为V的定义域。如果为有限集合，则将记作。如果S为有限集合，则称V为有限代数系统，并称|S|为的阶。,VS12{,,,}m,VS12,,,,mVS,VS例1通常数的加法运算、乘法运算和减法运算都可看作是实数集R上的二元运算，它们构成代数系统。例2设是集合A上的关系}，是求复合关系的运算。它们构成代数系统。代数系统的一般概念例：设集合，是一个一元运算，并规定成{1,2,,}Mm1()1jjmjjm时时这个代数系统称为时钟代数。它通过重复地进行运算，从元素开始，可逐步地产生出M的每一个元素。因此，可以把1叫做代数系统的生成元。,VM1M,VM代数系统的一般概念定义：设为代数系统。如果非空集合对于每一个皆封闭，则也是代数系统，并称其为的子代数系统。,VS'SS'',VS,VS例：考虑代数系统，其中+和是普通意义下的加法和乘法，则是的子代数系统。,,VN'',,VN('{2,4,})N,,VN第六章代数系统•6.1代数系统的一般概念•6.2同态与同构•6.3同余关系•6.4商代数和积代数•6.5典型代数系统6.2同态与同构定义：设和是两个代数系统。如果存在双射，使每个和对应的有相同的阶，则称代数系统和是同型的，称f为从到的同类映射，并记为。111,VS222,VS12:f12()f111,VS222,VS12()ff例：试说明代数系统和代数系统是同型的，其中和定义为：对任意,1,,mmmVN2,,VR{0,1,2,,1},mmNmm,,()(mod)mmxyNxyxym()(mod)mxyxym解：令并且规定:{,}{,}mmf(),()mmff显然是个双射函数，并且和和具有相同的阶，即都是二元运算。所以题目中的两个代数系统是同型的。m,m同型关系注意：•代数系统之间的同型关系具有自反性，对称性和可传递性。•同型关系是等价关系。同态和同构定义：设和是两个同型的代数系统,f为Ω1到Ω2的同型映射。如果存在函数g:S1→S2，使得对任意的及任意的均有111,VS222,VS1121,,,naaaS1212((,,,))((),(),,())nfngaaagagaga则称和是同态的，而g则称为从V1到V2的关于f的同态映射，并且：111,VS222,VS(1)如果g为满射，则称g为关于f的满同态映射，简称关于f的满同态。(2)如果g为单射，则称g为关于f的单一同态映射，简称关于f的单一同态。同态和同构(3)如果V1=V2，并且f为恒等映射，则称g为关于f的自同态映射，简称自同态。(4)如果g为双射，则称g为关于f的同构映射，简称关于f的同构，并称代数系统V1和V2是同构的。(5)如果V1=V2，并且f为恒等映射，则称g为关于f的自同构映射，简称自同构。同态和同构同态和同构例：给定代数系统和，定义函数如下：1,,VI2,,mmmVN:mfIN()(mod)fiimiI试证f是V1到V2的满同态映射。证：定义函数如下：:{,}{,}mmg(),()mmgg显然g为双射，故V1和V2是同型的。又对于任意的,有使,xyI,pqI00xxyyxpmrrmyqmrrm同态和同构故(),()xyfxrfyr而()()()xyxyxyPmrqmrpqmrr2()()()xyyxxyxyPmrqmrpqmprqrmrr所有()()(mod)()()xyxmymfxyrrmrrfxfy()()(mod)()()xyxmymfxyrrmrrfxfy即f是同态映射。同态和同构又因为对任意的，存在,使mjNjI()(mod)fjjmj所以f是满同态映射，即代数系统V1和V2是满同态的。同态和同构定理：若g为从到的关于f的同态，h为从到的关于的同态，则h◦g为从到的关于的同态。111,VG222,VG222,VG333,VG111,VG333,VGf证：由于g为V1到V2关于f的同态，所以V1和V2是同型的；h为V2到V3关于的同态，所以V2和V3是同型的。由同型关系的可传递性，可得V1和V3是同型的。任取及1121,,,naaaG1212121212((,,,))(((,,,)))(((),(),,()))()((()),(()),,(()))(()),()),,())nnfnfnfnhgaaahgaaahgagagahgahgahgahgahgahga得证。同态和同构推论：若g为从到的关于f的同构，h为从到的关于的同构，则h◦g为从到的关于的同构。111,VG222,VG222,VG333,VG111,VG333,VGf同态和同构定理：设g为到的同态,则为的子代数，并称V3为V1的同态象点。111,VG222,VG312,VgG222,VG证：显然，是G2的非空子集。1gG任取及,则,有，使得2121,,,naaagGnn121,,,nxxxG()(1,2,,)iigxain且1212121,,,)((),(),,())((,,,))nnnaaagxgxgxgxxxgG（表明关于每个都是封闭的,故为的子代数。1gG2312,VgG222,VG同态和同构定理：设g为到的关于f的满同态，f为从到的双射函数。111,VG222,VG12(1)若二元运算是可交换的（或可结合的），则也是可交换的（或可结合的）；(2)若二元运算关于二元运算是可分配的，则二元运算关于二元运算也是可分配的；(3)若关于二元运算有左单位元el（或右单位元er，或单位元e），则（或，或g(e)）为关于二元运算的左单位元（或右单位元，或单位元）；12()f112()f2()f1()lge()rge2()f同态和同构(4)若关于二元运算有左逆元0l（或右零元0r，或零元0），则g(0l)（或g(0r)，或g(0)）为关于二元运算的左零元（或右零元，或零元）；(5)若关于二元运算有左逆元xl（或右逆元xr，或逆元x-1），则g(xl)(或g(xr)，或g(x-1))为关于二元运算的左逆元（或右逆元，或逆元）。12()f12()gxG2()f同态和同构证：(b)对任意的，由于，故存在，使g(x)=a，g(y)=b以及g(z)=c，而2,,abcG12[]gGG1,,xyzG()()(()())(())(()())()()(()(())g()abcgxgygzgxyzgxyxzgxyxzgggxyxgyz)(()())()()gxgzabac同理可得()()()abcacbc同态和同构证：(3)对任意的，存在，使，而2bG1yG()gyb()()()()()bgegygegyegyb()()()()()gebgegygeygyb故为关于的单位元。同样可证和分别为关于的左单位元和右单位元。()ge()lge()rge从定理可知，满同态映射能够从一个代数系统到另一个代数系统单向保留所有的性质（如交换律、结合律、含零元、含单位元、元素的可逆性等），故满同态映射是确保结构的映射。第六章代数系统•6.1代数系统的一般概念•6.2同态与同构•6.3同余关系•6.4商代数和积代数•6.5典型代数系统6.3同余关系定义：设为代数系统，R为G上的等价关系。,VG(1)若，对任意的只要a1Rb1,a2Rb2,就有，则称R关于具有代换性质。(2)若R关于每个都有代换性质，则称R为上的同余关系。1122,,,,,,nnabababG,nnaRb1212(,,,)(,,,)nnaaaRbbb,G同余关系例：考察代数系统，其中I是整数集合，*是个一元运算，并定义成,I2()()(mod)iim设R是I中的这样一个关系:当且仅当时，有。试证明R是代数系统中的同余关系。12()(mod)()(mod)imim12iRi,*I解：不难看出，这里R是一种等价关系。设且满足,因此可有，并可写出和，这里。于是可写出12,iiI12iRi12()(mod)()(mod)imim11iamr22iamr0rm同余关系2211222112()(mod)(())(mod)(2)(mod)()(mod)imamrmamamrrmrm2222222222()(mod)(())(mod)(2)(mod)()(mod)imamrmamamrrmrm所得结果说明，。所以，R是代数系统中的同余关系。12*()*()iRi,*I同余关系例：设，验证是上的同余关系。mIm,,I解：显然关系是个等价关系，故只要验证关于+和具有代换性质即可。mm对任意的,若且，即存在使1122,,,xyxyI11mxy22mxy,pqI1122,xypmxyqm而12121122()()()()()xxyyxyxypmqmpqm所以，关于+满足代换性质。m同余关系同理，22121221121212()()()()+()()xxyyxxyxyyxmqpmymxqpypqm所以，关于也满足代换性质。m同余关系定理：设f是到的同态，定义G1上的关系Rf如下：对任意的，当且仅当f(x1)=f(x2)，则Rf是上的同余关系。11,VG22,UG121,xxG12fxRx11,VG定理：设f是到的同态，定义G1上的关系Rf如下：对任意的，当且仅当f(x1)=f(x2)，则Rf是上的同余关系。11,VG22,UG121,xxG证：显然，Rf是G1上的等价关系。下面证明Rf关于每个满足代换性质。1任取，若和，则有111221,,,,,,nnabababG1122,,,ffnfnaRbaRbaRb()()1,2,,iifafbin(转下页)同余关系因为12121212((,,,))((),(),,())((),(),,())((,,,))nnnnfaaafafafafbfbfbfbbb故1212(,,,)(,,,)nfnaaaRbbb因此，Rf是上的同余关系。11,VG这个定理说明，如果存在到的同态，则可以定义相应于这一同态的同余关系。11,VG22,UG第六章代数系统•6.1代数系统的一般概念•6.2同态与同构•6.3同余关系•6.4商代数和积代数•6.5典型代数系统6.4商代