第六章代数系统

第六章代数系统1.填空题：f是X上的n元运算的定义是（）。2.判断正误，并说明原因：自然数集合N上的减法运算“－”是个封闭的运算。3.判断正误，并说明原因：实数集合R上的除法运算“”是个封闭的运算。4.填空题：代数系统的定义是：（）。5.填空题：*是X上的二元运算，*具有交换性，则它的运算表的特征是（）。6.填空题：*是X上的二元运算，*具有幂等性，则它的运算表的特征是（）。7.简答题：*是X上的二元运算，*具有幺元，如何在它的运算表上判定哪个元素是幺元？8.简答题：*是X上的二元运算，*具有零元，如何在它的运算表上判定哪个元素是零元？9.简答题：*是X上的二元运算，*具有幺元，如何判定哪个元素是元素x的逆元？10令N4={0,1,2,3}，N4上定义运算+4：任何x,y∈N4,x+4y=(x+y)(mod4)。例如2+43=(2+3)(mod4)=5(mod4)＝1请列出N4,+4的运算表。然后判断+4运算是否有交换性、有幺元、有零元、各个元素是否有逆元？如果有上述这些元素，请指出这些元素都是什么。11.判断正误，并说明原因：对于整集合I上的减法运算“－”来说，0是幺元。12.填空题：E是全集，E={a,b}，E的幂集P(E)上的交运算的幺元是（）。零元是（）。有逆元的元素是（），它们的逆元分别是（）。13.填空题：E是全集，E={a,b}，E的幂集P(E)上的并运算的幺元是（）。零元是（）。有逆元的元素是（），它们的逆元分别是（）。14.填空题：E是全集，E={a,b}，E的幂集P(E)上的对称差运算的幺元是（）。零元是（）。有逆元的元素是（）。它们的逆元分别是（）。15.填空题：对于自然数集合N上的加法运算“＋”，13＝（）。16.填空题：你所知道的满足吸收律的运算有（）。17.填空题：你所知道的具有零元的运算有（），其零元是（）。18.设是X上的二元运算，如果有左幺元eL∈X，也有右幺元eR∈X，则eL=eR=e，且幺元e是唯一的。19.设是X上的二元运算，如果有左零元θL∈X，也有右零元θR∈X，则θL=θR=θ,且零元θ是唯一的。20.设是X上有幺元e且可结合的二元运算，如果x∈X，x的左、右逆元都存在，则x的左、右逆元必相等。且x的逆元是唯一的。21.设是X上且可结合的二元运算，如a∈X，且a-1∈X，则a是可消去的，即任取x,y∈X，设有ax=ay则x=y。22.对于实数集合R，给出运算如下：＋是加法、—是减法、是乘法、max是两个数中取最大的、min是两个数中取最小的、|x-y|是x与y差的绝对值。判断这些运算是否满足表中所列的性质。如果满足就写“Y”,否则写“N”。＋－maxmin|x-y|可结合性可交换性存在幺元存在零元23.设R是实数集合，在R上定义二元运算*如下：任取x,y∈R，x*y=xy－2x－2y＋61．验证运算*是否满足交换律和结合律。2．求运算*是否有幺元和零元，如果有请求出幺元和零元。3．对任何实数x，是否有逆元？如果有，求它的逆元，如果没有，说明原因。24.设是X上有幺元e且可结合的二元运算，求证如果x∈X，都存在左逆元，则x的左逆元也是它的右逆元。25..给定下面4个运算表如下所示。分别判断这些运算的性质，并用“Y”表示“有”，用“N”表示“无”填下面表。如果运算有幂等元、有幺元、有零元、有可逆元素，要指出这些元素是什么。交换性幂等元幂等性有幺元有零元有可逆元素a)b)c)d)26.分别说明什么叫做两个代数系统同态、满同态、单一同态、同构、自同构？27.什么叫做同态核？28.请举同构的两个代数系统的例子，并说明它们同构的理由。29.给出集合A＝{0,1,2,3}和A上的二元运算“*”。集合B＝{S,R,A,L}和B上的二元运算“”。它们的运算表如下面所示。验证A,*与B,同构。abcabcabcbcacaba)abcabcabcbaccccb)abcabcabcabcabcc)abcabcabcbbcccbd)30令S={X,*|X是集合，*是X上的二元运算}，即S是所有含有一个二元运算的代数系统构成的集合。是S中的代数系统间的同构关系。求证，是S中的等价关系。31.令A={0,1,2,3,4,…},B={1,2,4,8,16,…}，+表示加法，*表示乘法，问A,+和B,*是否同构？为什么？32已知代数系统S,*和P,·，其中S={a,b,c}P={1,2,3}二元运算表如下所示：试证明它们同构。abcabcabcbbccbc·123123121122123*012300123112302230133012*SRALSSRALRRALSAALSRLLSRA33给定两个代数系统，R+,×：R+是正实数，×是R+上的乘法运算；R,+：R是实数集合，＋是R上的加法运算。它们是否同构？对你的回答给予证明或者举反例说明之。34.已知代数系统X,与Y,同构，即XY。并设f：XY是同构映射,请证明如果运算可结合，则运算也可结合。35.已知代数系统X,与Y,同构，即XY。并设f：XY是同构映射,请证明如果运算可交换，则运算也可交换。36.已知代数系统X,与Y,同构，即XY。并设f：XY是同构映射,请证明如果运算有幺元e，则运算也有幺元e，且f(e)=e。37.已知代数系统X,与Y,同构，即XY。并设f：XY是同构映射,请证明如果运算有零元θ，则运算也有零元θ，且f(θ)=θ。38已知代数系统X,与Y,同构，即XY。并设f：XY是同构映射,请证明如果X,中每个x∈X可逆，即x-1∈X,则Y,中每个y∈Y也可逆，即y-1∈Y。且如果y=f(x)，则y-1=(f(x))-1=f(x-1)。(x映像的逆元=x逆元的映像)39集合A上两个同余关系R、S,证明R∩S也是同余关系.40.考察代数系统I,+,定义I上如下关系R是同余关系？a).x,y∈R当且仅当(x0∧y0)∨(x≥0∧y≥0)b).x,y∈R当且仅当|x-y|10c).x,y∈R当且仅当(x=y=0)∨(x0∧y0)d).x,y∈R当且仅当x≥y41.填空：是A上二元运算，代数A,是半群，当且仅当（）。42.填空：是A上二元运算，代数A,是独异点，当且仅当（）。43列举出5个你所熟悉的是半群的例子。44.列举出5个你所熟悉的是独异点的例子。45列举出1个你所熟悉的是半群但不是独异点的例子。46.给定代数系统R,，是实数R上二元运算，定义为：a,b∈R,ab=a+b+a·b求证R,是独异点。47.A,是个半群，a,b∈A，若a≠b则ab≠ba，试证：a)a∈A，有aa=ab)a,b∈A，aba=ac)a,b,c∈A，abc=ac48.设S,*是个半群，且左右消去律都成立，证明S是交换半群的充要条件是对任何a,b∈S，有(a*b)2=a2*b249.设S,是半群，如果S是有限集合，则必存在a∈S,使得aa=a。50.设A是有理数集合，在笛卡尔积A×A上，定义二元运算△如下：任取a,b,c,d∈A×Aa,b△c,d=ac,ad+b其中：是乘法。+是加法。求证A×A,△是独异点。51..设M,是交换独异点，A是M中所有幂等元构成的集合，证明A,是M,的子独异点。52.令I：是整数集合；N：自然数集合，R：实数集合。＋是加法运算，×是乘法运算。给定代数系统I,+,R,+,I,×,N,×,R,×,P(E),,P(E),,P(E),。请问哪些代数系统不是群？只要说明一条理由即可。又问哪些代数系统是群？并说明理由。53.X=R－{0,1},X上定义六个函数，如下所示：x∈X,f1(x)=xf2(x)=x-1f3(x)=1-xf4(x)=(1-x)-1f5(x)=(x-1)x-1f6(x)=x(x-1)-1令F={f1,f2,f3,f4,f5,f6}，是F上的复合运算，试证明F,是群。54.令R是实数，F={f|f(x)=ax+b，a,b,x∈R,ao}，是F上的函数左复合运算，试证明F,是群。55.设A,是半群，e是左幺元，且对每个x∈A，x’∈A，使得x’x=e,a)证明,a,b,c∈A，若ab=ac，则b=c。b)证明A,是群。56..设A,*是群,且|A|=2n,n是正整数，证明A中至少存在一个元素a，使得a*a=e。57.填空：令G,*是群,其中G={a,b,c}，设a是幺元，则b2=()，b*c=()，b和c的阶分别是()和()。58.A是非空的有限集合，且|A|＝n。令F＝｛f|f是AA的双射函数｝1．求|F|等于多少？2．令*是函数的左复合运算。问F,*是群吗？如果是，给予证明。如果不是，要说明理由。59.设G,*是4阶群，其中G＝{a,b,c,d}，已知a是幺元，b与c互为逆元。首先计算c*d(要有计算过程)，再分别求元素b与d的阶。60.设G,*是4阶群，其中G＝{a,b,c,d}，已知a是幺元，且所有元素的逆元都是它自身。求满足方程式b*x=c*d中的x。61.判断下列各命题的真值，并说明理由。1．G,*是个n阶群，则对于任何a,b∈G,有(a*b)-n=(b*a)n。2．设f是群G,*到群S,+的满同态映射，则对任何a,b∈G，有f(b*a-1)=(f(a*b-1))-1。62.设G,是个群,证明G中除幺元外,无其它幂等元。63.设G,是个群，则对任何a,b∈G,证明存在唯一元素x∈G,使得ax=b。64.G,是个群，对任何a,b∈G，证明(ab)-1=b-1a-1。65.G,是个有限群，证明G中每个元素在运算表中的每一行必出现且仅出现一次。66.填空：G,是个n阶群，则运算表有（）特征。67.什么叫做群的阶？68.什么叫做群中运算的阶？69指出整数集合加法群I,+中，各个元素的阶是什么？为什么？70.G,是群,a∈G,如果a的阶为n,证明ak=e，当且仅当k=mn(m∈I)(即k是n的整数倍)71.证明群中的元素与其逆元具有相同的阶。72.设G,是有限群，任何a∈G，证明a的阶都是有限的。73.设G,是群，而a∈G,f:GG是映射,对x∈G,f(x)=axa-1求证f是G到G的自同构。74.设G,*是个群,而a∈G,如果f是从G到G的映射,使得对任何x∈G,都有f(x)=a-1*x*a试证明f是从G到G的自同构.75.设A,*与B,ο都是群，在A与B的笛卡尔积A×B上，定义二元运算△如下：任取a1,b1,a2,b2∈A×Ba1,b1△a2,b2=a1*a2,b1οb2求证A×B,△也是群。76.设A,*与B,ο都是群，在A与B的笛卡尔积A×B上，定义二元运算△如下：任取a1,b1,a2,b2∈A×Ba1,b1△a2,b2=a1*a2,b1οb2已知A×B,△也是群。定义映射f:A×B→A,对任意a,b∈A×B,f(a,b)=a求证f是A×B,△到A,*的同态映射，并求出f的同态核。77.令G＝{2m3n|m,n∈Q,Q是有理数}，“•”是G中乘法运算。1．证明G，•是个群。2．给定映射f:GG，f定义为f:2m3n2m，证明f是G到G的同态映射；并求出f的同态核。78.给出两个群G,和S,的运算表如下：证明它们同构。79.判断下面命题的真值。并简单说明原因。1．R为实数集合，×为乘法运算，则R,×是个交换群。2．设G,*是n阶群，则对任何a,b∈G，有a-n=bn。3