第六章函数最佳逼近.

第6章函数最佳逼近/*OptimalApproximation*/6.1正交多项式/*OrthogonalPolynomials*/1.正交函数族/*orthogonalfunctionfamily*/定义权函数/*weightfunction*/设义在（有限或无限）上，如果满足条件（1）；（2）存在；（3）对非负连续函数，若，则在上一定有，那么称是区间上的权函数。()x[,]ab()0,[,]xxabnbaxxdx0,1,n0bafxxdx()fx()0fx()x[,]ab。权函数的一种解释是物理上的密度函数，相应的表示总质量，当权函数常数时，表示质量分布是均匀的。baxdx定义(),()[,]fxgxCab对于任意给定的函数表达式(,)()()()bafgxfxgxdx称为它们关于权函数的内积。()x注意与维欧氏空间中内积的定义作比较OKOK,Ithinkit’spositivedefiniteness,nonnegativity,homogeneity,distributivelaw…定义函数的范数由内积定义可得上的一个度量[,]Cab1/22(,)fff由内积诱导出的范数注1/22(,)fff只是一个范数定义式，当然还需验证其是否满足范数的定义。根据函数的2-范数，能否推测出函数的1-范数？定义正交函数族若函数族满足关系010()(),(),,(),nnxxxx0(,)()()()0bijijajijxxxdxAij则称是上带权的正交函数族；若则称为标准正交函数族。0()nx[,]ab()x1jA定义正交多项式设是上首项系数的次多项式，为上的权函数，如果多项式序列满足如下关系式()nx[,]ab0na()x0()nxn[,]ab0(,)()()()0bijijajijxxxdxAijn则称多项式序列在上带权正交，称为上带权的次正交多项式。0()nx[,]ab()x()nx[,]ab()x我们曾经接触过的多项式：代数多项式，三角多项式…一种常用的正交化方法：施密特变换如果给定区间和权，可以通过对线性无关的函数族作施密特正交化变化那得到正交多项式序列。例如对函数族作施密特变换，令21,,,,,nxxx100(,())()1,()(),1,2,((),())nnniniiiixxxxxxnxx则即为正交多项式序列。0()nx那么权函数该如何选择？如此得到的正交多项式序列又有什么样的性质呢？性质1-3请同学自行证明，性质4请先自行查阅相关资料。性质1是最高次项系数为1的次多项式。()nxn性质2任何次多项式均可表示为的线性组合。n01(),(),,()nxxx性质3当时，，且与任一次数小于的多项式正交。()jxjij((),())0iixx性质4有如下递推关系式11()()()(),0,1,nnnnnxxxxn其中01()1,()0xx11((),())/((),())((),())/((),())nnnnnnnnnnxxxxxxxxx1,2,n性质5n设是在上带权的正交多项式序列，则的个根都是区间上的单根。0()nx[,]ab()x()nx[,]ab证明不妨考虑首项系数为1的正交多项式*()nx*0()1x？假定（若为其他情况？）则*()0nx***0()()()()()0bbnnaaxxdxxxxdx与正交多项式定义矛盾于是至少存在一使[,]ixab*()0nix根的存在性再假设是的二重零点，即ix*()nx*22()()()ninxxxQx则是次多项式，由性质3*22()()/()nniQxxxx2n**2()()()0()bnnaixxxdxxx另一方面2***2()()()()()0()bbnnnaaiixxxxdxxdxxxxx这说明只能是的单零点。ix*()nx多少个？假设在内只有个单零点，于是*()nx[,]abk12,,,()kxxxkn*12()()()()()nknkxxxxxxxqx*2221212()()()()()()()()nkknkxxxxxxxxxxxxxqx2.几个常用的正交多项式201()1,11,2,2!nnnndPxPxxnndx勒让德多项式/*Legendrepolynomials*/[1,1]当区间为，权函数时，由正交化得到的多项式称为Legendre多项式，用表示。其简单的表达式为()1x21,,,,,nxxx()nPx思考:的最高次项系数为？最高次项系数为1的Legendre多项式有什么样的形式？()nPxPn的重要性质：正交性110,()()2,21nmmnPxPxdxmnn奇偶性()(1)()nnnPxPx满足递推关系0112()1,()()(21)()(1)()0,2,3,nnnPxPxxnPxnxPxnPxn22222(1)011dyxdynnydxxdxx是如下微分方程的满足条件的多项式解。(1)1y切比雪夫多项式/*Chebyshevpolynomials*/[1,1]当区间为，权函数时，由正交化得到的多项式称为Chebyshev多项式，用表示。其简单的表达式为21()1xx21,,,,,nxxx()nTx()cos(arccos),1nTxnxx关于Chebyshev多项式的具体内容，将在6.2中进一步讨论。6.2最佳一致逼近/*OptimalUniformApproximation*/在插值问题中容易产生Runge现象，得不到理想的结果，而所谓的“一致逼近”可以使逼近函数与被逼函数在整个区间上都很接近，同时克服插值逼近的缺陷。定义对任意的，在范数的意义下定义两个函数的距离()[,]fxCabsup()axbffx(,)sup()()axbdfgfgfxgx通常称在度量下的逼近问题为一致逼近问题。偏差/*deviation*/定理设，则对任意给定的，存在多项式使得下式成立()[,]fxCab02012()nnpxaaxaxaxsup()()axbfpfxpx证明略。在意义下，使得最小。也称为minimaxproblem。sup()axbffx||||py00()()||||pxyxpy若，则称x0为偏差点。v1.0最佳一致逼近多项式/*optimaluniformapproximatingpolynomial*/的构造：求n阶多项式Pn(x)使得||Pny||最小。直接构造OUAP的确比较困难，不妨换个角度，先考察它应该具备的性质。有如下结论：OUAP存在，且必同时有偏差点。证明：存在性证明略。后者用反证法，设只有正偏差点。设nnbaxnExyxPyP|)()(|max||||],[而对于所有的x[a,b]都有nnExyxP)()(nnnExyxPE)()(2/|)(]2/)([|nnExyxP是n阶多项式是误差更小的多项式（Chebyshev定理）Pn是y的OUAPPn关于y在定义域上至少有n+2个交错的偏差点。即存在点集at1…tn+2b使得{tk}称为切比雪夫交错组/*Chebyshevalternatingsequence*/||||)1()()(yPtytPnkkkn若且y不是n次多项式，则n次OUAP唯一。],[baCy证明：反证，设有2个OUAP’s，分别是Pn和Qn。则它们的平均函数也是一个OUAP。2)()()(xQxPxRnnn对于Rn有Chebyshev交错组{t1,…,tn+2}使得nkknkknkknnEtytQtytPtytRE|)()(|21|)()(|21|)()(|nkknkknEtytQtytP|)()(||)()(|则至少在一个点上必须有)()()()(knkkkntQtytytP0)()(kkntytR0nE由Chebyshev定理可推出：Pn(x)y(x)在定义域上至少变号次，故至少有个根。xy0yyx()yyxEn()yyxEn()yPxn()n+1n+1可见Pn(x)是y(x)的某一个插值多项式如何确定插值节点{x0,…,xn}的位置，使得Pn(x)刚好是y的OUAP？即，使插值余项v2.0达到极小？niinnxxnyxR0)1()()!1()(|)(|v2.1在[1,1]上求{x1,…,xn}使得的||wn||最小。niinxxxw1)()(注意到，要使||wn||最小就意味着)()(1xPxxwnnnv3.0在[1,1]上求函数xn的n1阶OUAP。由Chebyshev定理可推出：Pn1(x)关于xn有n+1个偏差点，即wn(x)在n+1个点上交错取极大、极小值。v3.1在[1,1]上求切比雪夫交错组{t1,…,tn+1}。切比雪夫多项式/*Chebyshevpolynomials*/考虑三角函数cos(n)在[0,]上的个极值点。n+1当时，cos(n)交错达到极大值1和极小值1，且存在系数a0,…,an使得),...,1,0(nknkknkkkan0)(cos)cos(令x=cos()，则x[1,1]。)cosarccos()cos()(xn·nxTn称为Chebyshev多项式Tn的重要性质：当时，交错取到极大值1和极小值1，即),...,1,0(cosnknktk)(kntT||)(||)1()(xTtTnkkn1当时，即{x1,…,xn}为Tn(x)的n个零点。),...,1(212cosnknkxk0)(knxTTn(x)满足递推关系：T0(x)=1，T1(x)=x，)()(2)(11xTxTxxTnnnTn(x)为n次多项式，首项系数为。且T2n(x)只含x的次幂，T2n+1(x)只含x的次幂。2n1偶奇{T0(x),T1(x),…}是[1,1]上关于权正交的函数族。即在内积的意义下有211)(xx11)()()(),(dxxTxTxTTlklk0200),(lklklkTTlkOKOK,Ithinkit’senoughforus…What’sourtargetagain?v3.1在[1,1]上求切比雪夫交错组{t1,…,tn+1}。v3.0在[1,1]上求函数xn的n1阶OUAP。Tn(x)的n个零点。可见：若取，则wn在[1,1]上有n+1个极值点{tk}，也即Pn1(x)=xnwn(x)关于xn在[1,1]上有n+1个交错偏差点{tk}。12)()(nnnxTxwv3.0OKv2.1在[1,1]上求{x1,…,xn}使得的||wn||最小。niinxxxw1)()(取最小值||)(||1nnxxP)(21||||min1xTwnnnwnn121nn={首项系数为1的n阶多项式/*monicpolynomialsofdegreen*/}{x1,…,xn}即为如何确定插值节点{x0,…,xn}的位置，使得Pn(x)刚好是y的OUAP？即，使插值余项达到极小？v2.0niinnxxnyxR0)1()()!1()(|)(|