第六章数字滤波器设计

-6-1-第6章数字滤波器设计滤波．．的目的在于：○1提取有用信号，抑制不必要的干扰或消除信号的传输误差；○2把信号分解成不同的频率分量，以便进行分析；○3进行信号检测及估计；6.1滤波器概述一、滤波器的概念所谓滤波器．．．，就是以特定方式改变信号的频率特性，从而实现信号变换的系统。)()()(nhnxny若x(n)、y(n)和h(n)的傅里叶变换分别为X(ejω)、Y(ejω)和H(ejω)，则由时域卷积定理，可知)()()(jjjeHeXeY则系统输入x(n)的滤波输出)()()()()()()()(jjjmeHeXIDTFTeYIDTFTmnhmxnhnxny可见，输入序列的频谱X(ejω)经数字滤波器系统H(ejω)后，就变换为滤波器的输出谱Y(ejω)，因此，若选取不同的滤波器H(ejω)，使滤波器的输出Y(ejω)满足不同的设计要求，这就是数字滤波器的工作原理。二、滤波器的分类1.从功能上分类○1低通滤波器（LowPass，简称LP）：低频信号通过；○2高通滤波器（HighPass，简称HP）：高频信号通过；○3带通滤波器（BandPass，简称BP）：中频频带信号通过；○4带阻滤波器（BandStop，简称BS）：阻碍中频频带信号的通过；2.从形式上分类（1）模拟滤波器（AnalogFilter，简称AF）缺点：○1可靠性不高；○2抗干扰能力差；○3设计难度较大，不灵活；数字滤波系统脉冲响应h(n)输入x(n)输出y(n)|Y(ejω)|ωcω|X(ejω)|ωcω有效信号干扰信号理想低通滤波|H(ejω)|ωcω1-6-2-模拟滤波器从设计方法上又可分为巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器等。（2）数字滤波器（DigitalFilter，简称DF）I.优点○1可靠性较高；○2抗干扰性强；○3使用灵活、方便；○4不需考虑元件之间的阻抗匹配；II.缺点○1结构复杂、价格高；○2实时性受CPU、A/D的限制；数字滤波器从实现方法上又可分为无限冲激响应（InfiniteImpulseResponse，简称IIR）数字滤波器、有限冲激响应（FiniteImpulseResponse，简称FIR）数字滤波器等。三、滤波器的技术要求造成滤波器不可实现的根本原因．．．．．．．．．．．．是通带到阻带之间存在突变，因此，为了保证所设计的滤波器具有物理可实现性，我们应在通带和阻带之间设置一个过渡带，并且对通带和阻带给以较小的容限，使滤波器的频率响应在此过渡带内平滑地从通带下降到阻带。若数字滤波器的幅频特性为|H(ejω)|，其通带及阻带的截止频率分别为ωp、ωs，则其通带及阻带的衰减αp、αs分别定义为)(lg20)(lg20spjsjpeHeH6.2典型模拟滤波器（AF）的设计一、有关概念1.AF的衰减特性模拟滤波器的衰减特性取决于滤波器幅度的平方（又称模方函数．．．．）|H(jΩ)|2，则定义衰．减函数．．．)(lg20)(lg10)(2jHjH显然，滤波器的通带及阻带的衰减指标αp、αs与衰减函数、模方函数间的关系如下22)(lg10)()(lg10)(ssspppjHjH|H(jΩ)|Ω理想的低通滤波器1Ωp—通带的截止频率Ωc—实际的截止频率Ωs—阻带的截止频率αp—通带的最大衰减αs—阻带的最小衰减|H(jΩ)|(dB)Ω实际的低通滤波器1ΩpΩcΩsαpαs通带过渡带阻带幅度平方下降一半即3dB-6-3-由此可见，在设计模拟滤波器时，我们可以根据滤波器的衰减特性来确定其模方函数。2.由模方函数求AF的传递函数由于模拟滤波器的模方函数)()()(2jHjHjH其中jsjjjsjsHejHejHjHsHejHjH)()()()()()()()()()(所以)()()()()()(22sHsHsHsHsHjHjs或可见，滤波器的模方函数与其传递函数之间存在密切关系，因此，我们可以由模方函数求解出相应的传递函数。二、巴特沃斯（B型）低通滤波器1.分析（1）模方函数巴特沃斯滤波器是以巴特沃斯近似函数作为滤波器的传输函数，该函数以最高阶泰勒级数的形式来逼近理想矩形特性，即,2,111)(222NjjjHNc，（6.2.1）式中，ε为与通带衰减有关的系数，Ωc为截止频率，N为巴特沃斯滤波器的阶数。通常取半功率点为截止频率．．．．．．．．．，即|H(jΩc)|2=1/2，则相应的衰减dBjHcc32lg10)(lg10)(2将|H(jΩc)|2=1/2代入（6.2.1）式中，得12111)(22cjH则巴特沃斯滤波器．．．．．．．的模方函数．．．．．NcjjjH2211)(（6.2.2）可见，巴特沃斯滤波器的特性与阶次N有关，如图所示（参见P153图6.2.2），随着阶次N的增加，滤波器的通带越平坦，越接近理想的矩形特性。-6-4-（2）基本性质○1对于不同的阶次N，巴特沃斯滤波器的模方特性总满足0)(21)(1)0(222jHjHjHc○2由（6.2.2）式可知，巴特沃斯滤波器．．．．．．．的幅频特性是随着．．．．．．．．Ω的增大而单调下降的．．．．．．．．．．。当Ω→0时，|H(jΩ)|→1；Ω→∞时，|H(jΩ)|→0，也就是说，在0的附近以及Ω很大时其幅频特性曲线均趋于平坦，因此，巴特沃斯滤波器．．．．．．．具有最平坦特性．．．．．．．；○3当．频率．．Ω．远离．．Ω．c．时．，频率每增加一倍，衰减增加6NdB，即衰减．．达到．．6．N．dB．．/．倍频程．．．验证：当ΩΩc时，则巴特沃斯滤波器的模方函数就近似为NcNcjjjH222111)(则其衰减函数dBNjHclg20)(lg10)(2当Ω=Ωc时，α(Ω)=0当Ω=2Ωc时，α(Ω)=20Nlg2≈6NdB2.设计过程（1）按给定指标确定巴特沃斯滤波器的阶数N和截止频率Ωc假设给定指标：Ω=Ωp时，滤波器通带的最大衰减为αpΩ=Ωs时，滤波器通带的最小衰减为αs由衰减函数的定义2)(lg10)(jH和巴特沃斯滤波器模方函数的定义NcjjjH2211)(可得]1lg[10)(2Ncjj将给定的指标参数分别代入上式，得，求解令令22221lg10]1lg[10)(1lg10]1lg[10)(NNcscpNcsssNcppp由于NcsNcp，，求两等式的比值并取对数，可得滤波器的阶数spNlg/lg[注意：N为正整数]-6-5-且截止频率sNcpNc/1/1或（2）由巴特沃斯滤波器的模方函数|H(jΩ)|2求解其传递函数H(s)我们在前面已经介绍过如何由模方函数求滤波器的传递函数，其具体过程如图所示：可见，在此过程中，关键是如何确定巴特沃斯滤波器的极点分布。下面我们就此进行讨论。将jΩ=s代入模方函数的定义式NcjjjH2211)(中，并求其极点，可得NkesejsjsNNkjckkjNcNc2,,2,1∴1012121222，由上式可知，巴特沃斯滤波器模方函数的极点分布特点．．．．．．．．．．．．．．．．．．：○1在S平面上共有2N个极点；○2各极点都均匀（等角距π/N）地分布在以Ωc为半径的圆周上，且对称于虚轴，但虚轴上无极点；○3若N为奇数时，实轴上有两个极点，否则，实轴上无极点，如图所示；这些特点表明，滤波器模方函数|H(jΩ)|2的2N个极点是对称分布在S平面的左、右两半平面的，各有N个。由于模方函数|H(jΩ)|2=H(s)H(-s)|s=jΩ，为了使所设计的巴特沃斯滤波器H(s)是个稳定的系统，故将模方函数|H(jΩ)|2在左半S平面的极点分配给H(s)，而将右半S平面的极点分配给H(s)，故有NiiNsskssssssksH10210)(（6.2.3）式中，系数k0可由模方函数|H(jΩ)|2[参见公式（6.2.1）]来确定。由于[|H(jΩ)|2]Ω=0=1，即[|H(jΩ)|]Ω=0=1于是确定滤波器阶数N确定模方函数|H(jΩ)|2由物理可实现条件代入模方函数定义式中选定滤波器的零、极点确定传递函数H(s)N=4jImReπ/4N=3jImReπ/3-6-6-1)()(1001000NiiNiijssksjksHjH则由求其极点sk的公式，可得系数NcNiisk10将上式代入（6.2.3）式，可得N阶巴特沃斯滤波器的传递函数NiiNcsssH1)(【备注】切比雪夫滤波器的设计原理及步骤参见P135~137。6.3无限冲激响应（IIR）数字滤波器设计一、数字滤波器概述1.数学模型一般来说，数字滤波器可以看成是一个因果离散．．．．系统，其传递函数11101)(MiiiNiiizbzazH2.设计过程无论是FIR滤波器还是在IIR滤波器，其设计过程都包括：○1按照实际需要确定滤波器的性能要求，比如确定所设计的滤波器类型（低通/高通/带通/带阻）、衰减、波动等；○2用一个因果稳定．．．．的系统传函H(z)去逼近这些性能要求；○3用一种适当的运算去实现这个系统传函H(z)；二、设计IIR滤波器的基本条件（1）可实现性前面我们曾经说过，为了保证所设计的滤波器是个物理可实现系统，就必须使该系统满足因果性和稳定性两个条件。○1因果性n0时，h(n)=0○2稳定性0)(limnhn（2）实现从模拟到数字的转换在IIR滤波器的实际设计过程中，通常先根据技术指标的要求，设计一个模拟滤波器，然后再将其数字化，这实际上就是要把S平面映射到Z平面，使模拟系统函数H(s)变换成所需的数字滤波器的系统传函H(z)。这种由复变量s到复变量z之间的映射（变换）关系，必须满足两个基本要求：-6-7-○1为了使所设计的数字滤波器保持模拟滤波器的频率特性．．．．．．．．．．．．，应将S平面的虚轴jΩ映射到Z平面的单位圆ejω上，即s=jΩ,∞Ω∞→z=ejω,πωπ○2为了使所设计的数字滤波器保持模拟滤波器的稳定性．．．．．．．．．．．，应将S左半平面映射到Z平面的单位圆内，即Re[s]0→|z|1总之，利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器时，必须解决两个问题：一是，模拟滤波器的设计，其设计方法包括：巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器、考尔（椭圆）滤波器等；二是，从模拟滤波器映射成数字滤波器，主要方法有：冲激响应不变法、双线性变换法、阶跃响应不变法等。三、用冲激响应不变法设计IIR低通滤波器1.设计思路所谓冲激响应不变法，就是使数字滤波器的单位冲激响应序列h(n)模仿模拟滤波器的单位冲激响应h(t)。我们首先对模拟滤波器（AF）的单位冲激响应h(t)进行周期为T的等间隔采样．．．．．，使数字滤波器（DF）的单位冲激响应序列h(n)恰好等于h(t)的采样值，即h(n)=h(t)|t=nT然后再对h(n)取Z变换，得到数字滤波器的传递函数H(z)。2.设计过程3.特点冲激响应不变法中，由．．．．．．．．．．S．平面到．．．Z．平面的变换式定义为．．．．．．．．．sTez令jsezj，，代入上式，得TjTjeee故有TeT，由上式可见，冲激响应不变法中，从模拟（S平面）到数字（Z平面）的映射关系为))))))(1(0(1(0(1(0平面的单位圆内平面的左半平面平面的单位圆外平面的右半平面平面的单