蔡氏混沌非线性电路的研究

1研究生课程论文(2010-2011学年第二学期)蔡氏混沌非线性电路的研究研究生：***提交日期：2011年8月1日研究生签名：学号学院电子与信息学院课程编号S0809009课程名称非线性电路与系统理论学位类别硕士任课教师***教授教师评语：成绩评定：分任课教师签名：年月日2蔡氏混沌非线性电路的研究***摘要：本文介绍了非线性中的混沌现象，并从理论分析和仿真两个角度研究非线性电路中的典型混沌电路-蔡氏电路。只要改变蔡氏电路中一个元件的参数，就可产生多种类型混沌现象。利用数学软件MATLAB对蔡氏电路的非线性微分方程组进行编程仿真，就可实现双蜗卷和单蜗卷状态下的同步，并能准确地观察到混沌吸引子的行为特征。关键词：混沌；蔡氏电路；MATLAB仿真Abstract：Thispaperintroducesthechaosphenomenoninnonlinearcircuits.Chua’scircuitwasatypicalchaoscircuit,andtheoreticalanalysisandsimulationwasmadetoresearchit.ManykindsofchaosphenomenonenwouldgenerateaslongasonecomponentparameterwasalteredinChua’scircuit．OntheplatformofMatlab,mathematicalmodelofChua’scircuitwereprogrammedandsimulatedtorealizethesynchronizationofdualandsinglecochlearvolume．Atthesametime,behaviorcharacteristicsofchaosattractorisabletobeobservedcorrectly．Keywords：chaosphenomenon；Chua’Scircuit；simulation引言：混沌是一种普遍存在的非线性现象，随着计算机的快速发展，混沌现象及其应用研究已成为自然科学技术和社会科学研究领域的一个热点。混沌行为是确定性因素导致的类似随机运动的行为，即一个可由确定性方程描述的非线性系统，其长期行为表现为明显的随机性和不可预测性。混沌中蕴含着有序，有序的过程中也可能出现混沌。混沌的基本特征是具有对初始条件的敏感依赖性，即初始值的微小差别经过一段时间后可以导致系统运动过程的显著差别。混沌揭示了自然界的非周期性与不可预测性问题而成为20世纪三大重要基础科学之一。非线性电路中一个最典型的电路是三阶自治蔡氏电路，在这个电3路中能够观察到混沌吸引子。蔡氏电路是能产生混沌行为最简单的自治电路，所有从三阶自治常微分方程描述的系统中得到的分岔和混沌现象都能够在蔡氏电路中通过计算机仿真和示波器观察到。经过若干年的研究及目前对它的分析，在理论和实践方面不断取得进展，同时人们也不断开拓新的应用领域，如在通信、生理学、化学反应上程等方面不断产生新的技术构想，并有希望很快成为现实[1-3]。1混沌理论的发展与蔡氏电路的出现混沌理论的基本思想起源于20世纪初，发生于20世纪60年代后，发展壮大于20世纪80年代，被认为是继相对论、量子力学之后，人类认识世界和改造世界的最富有创造性的科学领域的第三次大革命。混沌理论揭示了有序与无序的统一，确定性与随机性的统一，简单性与复杂性的统一，稳定性与不稳定性的统一，完全性与不完全性的统一，自相似性与非相似性的统一，并成为正确的宇宙观和自然哲学的里程碑。今天，混沌理论与计算机科学等相结合，使人们对一些久悬未解的难题的研究取得了突破性进展，在探索、描述及研究客观世界的复杂性方面发挥了巨大作用。追溯混沌的发展史，可以从Poincare’（庞加莱）开始[4]：19世纪末20世纪初，法国数学家Poincare’发现三体问题与单体问题、二体问题不同，它是无法求出精确解的。在一定范围内，其解是随机的，从而使Poincare’可能成为世界上最先了解混沌存在的第一人。20世纪20年代，G.D.Birkhoff紧跟Poincare’的学术思想，建立了动力系统理论的两个重要研究方向：拓扑理论和遍历理论。到1960年前后，非线性科学研究得到了突飞猛进的发展，A.N.Kolmogorov与V.I.Arnold及J.Moser深入研究了Hamilton系统（或保守系统）中的运动稳定性，得出了著名的KAM定理（即用这三位发现者的名字命名的定理），KAM定理揭示了Hamilton系统中KAM环面的破坏以及为混沌运动奠定了基础。实际上，有关耗散系统中混沌现象的研究始于20世纪60年代，美国气象学家E.N.Lorenz对描述大气对流模型的一个完全确定的三阶常微分方程组进行数值模拟时，发现在某些条件下可出现非周期的无规则行为。这一结果解释了长期天气预报始终没有获得过成功的内在机理，根本原因是确定性动力学系统中存在有混沌运动。E.N.Lorenz在得到第一个奇怪引子——Lorenz吸引子的同时，还进一步揭示了一系列混沌运动的基本特征。1963年E.N.Lorenz在美国《大气科学杂志》上发表的文章“确定性的非周期流”，给出了混沌解的第一个例子。1964年M.He’non等人以KAM理论为背景，发现了一个二维不可积Hamilton4系统中的确定性随机行为，即He’non吸引子。D.Ruelle和F.Takens提出了奇怪吸引子的概念，同时将这一概念引入耗散系统，并于1971年提出了一种新的湍流发生机制，这一工作由J.P.Gollub等人的实验所支持，并对后来的Smale马蹄吸引子的研究起到了推动作用。美国数学家Smale发明的马蹄吸引子结构成为混沌经久不衰的形象，尤其是Smale提出的马蹄变换，为20世纪70年代混沌理论的研究做了重要的数学准备。1975年，Maryland大学的T.Y.Li（李天岩）和J.A.York在美国《数学月刊》上发表了“PeriodThreeImpliesChaos”（周期3蕴含混沌）的文章，并给出了混沌的一种数学定义，被认为是对混沌的第一次正式表述，现称为Li-York定义或Li-York定理，Chaos一词也自此被正式使用。1976年，R.M.May研究了一维平方映射，并在一篇综述中指出，非常简单的一维迭代映射也能产生复杂的周期倍化和混沌运动。在此基础上，美国物理学家M.J.Feigenbaum于1978年发现了倍周期分岔过程中分岔间距的几何收敛性、收敛速58率每次缩小4.6692…常数倍并具有普适性的发现及重整化群理论的应用，把混沌研究从定性分析推进到定量计算阶段，并引入了重整化群思想，这是一个重大的发现，具有里程碑的意义。进入20世纪80年代，混沌研究已发展成为一个具有明确的研究对象、独特的概念体系和方法论框架的学科。随着相关理论的不断完善，有关混沌的研究也更加深入。F.Takens于1981年提出了判定奇怪吸引子的实验方法，而P.J.Holmes转述并发展的Melnikov理论分析方法可用于判别二维系统中稳定流形和不稳定流形是否相交，也即判别是否出现混沌。20世纪80年代初P.Linsay通过对含变容二极管的二阶非自治电路的研究，在实际物理系统中验证了Feigenbaum的倍周期分岔通向混沌的理论。Y.Ueda、L.O.Chua等对正弦激励下的非自治电路中及R.W.Newcomb等对自治电路中的混沌现象研究的报道是电路系统关于混沌的早期研究。1984年，L.O.Chua提出了著名的产生双涡卷的三阶自治电路——蔡氏电路，并采用电路实验、计算机模拟、理论分析等多种研究工具对电路系统中混沌行为的研究，给非线性自治电路系统中分岔、混沌现象的研究提供了一个较完善的范例。蔡氏电路以一个分段线性负电阻为核心，在不同的参数组合下产生了极其丰富的分岔与混沌现象，同时，蔡氏电路还被认为是能产生混沌现象的三阶自治电路最紧凑、元件数最少的结构。随后的十多年间，有关产生混沌、超混沌的构造与实际电路系统的不断报道，不仅给非线性动力学系统中混沌理论的研究提供了丰富的资料，也使电路系统中混沌现象的研究成为整个混沌理论研究中不可缺少的一个重要组成部5分。在众多产生混沌、超混沌的电路中，大都是以非线性电阻为核心构成，但也有以非线性动态元件为核心构造的二阶非自治和四阶自治电路中的混沌、超混沌电路的报道。直到目前，有关非线性系统中混沌、混沌产生的机制、产生混沌的系统等仍然是研究的热点内容之一。2混沌现象及其特征混沌是二十世纪最重要的科学发现之一，被誉为继相对论和量子力学之后的第三次物理革命，它打破了确定性与随机性之间不可逾越的分界线，将经典力学研究推进到一个崭新的时代。由于混沌信号是一种貌似随机而实际却是由确定信号系统产生的信号，使得混沌在许多领域（如保密通信，自动控制，传感技术等）得到了广泛的应用[5]。对电路系统来说，在有些二阶非线性非自治电路或三阶非线性自治电路中，出现电路的解既不是周期性的也不是拟周期的，但在状态平面上其相轨迹始终不会重复，但是有界的，而且电路对初始条件十分敏感，这便是非线性电路中的混沌现象。根据Li-York定义，一个混沌系统应具有三种性质：（1）存在所有阶的周期轨道；（2）存在一个不可数集合，此集合只含有混沌轨道，且任意两个轨道既不趋向远离也不趋向接近，而是两种状态交替出现，同时任一轨道不趋于任一周期轨道，即此集合不存在渐近周期轨道；（3）混沌轨道具有高度的不稳定性。可见，周期轨道与混沌运动有密切关系，表现在两个方面：第一，在参数空间中考察定常的运动状态，系统往往要在参量变化过程中先经历一系列周期制度，然后进入混沌状态；第二，第二，一个混沌吸引子里面包含着无穷多条不稳定的周期轨道，一条混沌轨道中有许许多多或长或短的片段，它们十分靠近这条或那条不稳定的周期轨道。根据文献[6][7]，混沌主要特征表现在：（1）敏感依赖于初始条件；（2）伸长与折叠；（3）具有丰富的层次和自相似结构；（4）在非线性耗散系统中存在混沌吸引子。同时，混沌运动还具有如下特征：（1）存在可数无穷多个稳定的周期轨道；（2）存在不可数无穷多个稳定的非周期轨道；6（3）至少存在一个不稳定的非周期轨道。随着时间的增加，相空间中的轨线或轨道都向某个子集逼近，在逼近过程中不仅有体积的压缩，还有维数的减少，直至达到最小为止，则该具有最小维数的子集就是吸引子。吸引子只能出现在非保守系统（即耗散系统）中，对电路而言，非保守系统就是电路中至少有一个正电阻存在，并且使得电路在某个工作区域内整体上是耗能的。对连续系统而言，吸引子可以在任意阶的系统中出现，但混沌吸引子只可能在三阶或三阶以上的自治系统中出现。混沌吸引子是整体稳定和局部不稳定相结合的产物[4]。混沌并不是简单的无序或混乱，而是没有明显的周期和对称，但却具备了丰富的内部层次的有序状态。混沌是存在于非线性系统中的一种较为普遍的现象，混沌并不是一片混乱，而是有着精致的内在结构，混沌运动具有遍历性、随机性、规律性等特点。混沌运动能在一定范围内按其自身的规律不重复地遍历所有状态，因此，用混沌变量进行优化搜索，无疑会比随机搜索更具优越性，尤其是变尺度混沌优化方法在连续系统的优化中具有更大的应用空间。3分形与混沌对于线性代数方程组或微分方程组，解的数目是一定的，不随参数的改变而改变。而非线性问题则不然。在非线性动力学系统中，当控制参数变化到某个临界值时使系统的动力学性态发生定性变化的现象称为分岔。混沌运动是经过一系列解的突变才发生的，解发生突变的参数值称为分岔点，分岔理论主要研究非线性方程组解的数目如何在参数变化过程中发生突变。Mandelbrot最先引入分形的含义，分形是指破碎的、不规则的，整体与局部在某种意义下的对称性的或自相似的集合。一般地，分形F（fractal）具有下列性质：（1）F具有精细的结构，即有任意小的细节；（2）F是不规则的，不能用传统的几何语言来描述；（3）F通常有某种自相似的形式，可能是近似的或统计的；（4）F在某种方