第六章滤波

第六章：随机信号滤波滤波器基本概念维纳滤波卡尔曼滤波自适应滤波滤波器定义：一种系统，用于保留信号特定的频率分量，同时压制其他频率分量。-1-0.500.5100.51-1-0.500.5100.050.1-50500.51低通滤波器-50500.51原信号幅度频谱相位频谱幅度响应相位响应-50510-410-2100-505-505-50510-210-1100时域实现：)(ny)(nx)(zH1110)()()(NiiMiiinybinxany滤波器参数MiiiMiiizbzazH1101)()(nh滤波器冲激响应iinxihnxnhny)()()()()(基本定义：因果滤波器：0)()()(iinxihnyFIR滤波器：其它,00),()(NnnhnhNiinxihny0)()()(IIR滤波器：0)()()(iinxihnyFiniteImpulseResponseInfiniteImpulseResponse滤波器结构：因果FIR滤波器Niinxihny0)()()()(nx)(ny1z1z1z)1(h)2(h)0(h)(Nh横向结构：滤波器结构：递归结构：)(nx)(ny1z1z1zb1b1a1ma0a1z1z1a1110)()()(NiiMiiinybinxany滤波器结构：格型结构：)(nx)(ny1z1z)(0np)(1np1z1z)(0nq)(1nq维纳滤波)(nx)(ny最佳线性滤波器)(n)(ns)(nd)(ne问题的模型：不同应用：)()()(nnsnx)(ˆ)(ndny误差信号平滑滤波预测0ˆnisnhnixi11ˆninpsnhnixi10ˆNisnhnixi这里我们只考虑滤波或预测问题，相应的维纳滤波称为最佳线性滤波或预测。线性估计根据其取值范围不同通常有下面几种情况:10•通信的信道均衡器在通信系统中，为了在接收端补偿信道传输引入的各种畸变，在对接收信号进行检测之前，通过一个滤波器对信道失真进行校正，这个滤波器称为信道均衡器。图2.1.3信道均衡器的结构示意来自于实际的对Wiener滤波器的几个应用实例：11发送端发送序列•系统辨识有一个系统是未知的，设计一个线性滤波器尽可能精确的逼近这个未知系统，Wiener滤波器实现一个统计意义上最优的对未知系统的逼近。()sn经信道传输后，接收端的滤波器输入信号，可能()xn包含畸变，加性噪声，多径效应期望信号，()dn()()dnsn尽量确定Wiener滤波器系数，使尽可能逼近即，也就是使估计误差的均方值最小，（均方误差最小准则）'()sn()dn()sn()()'()ensnsnMMSE准则和正交性原理滤波器输出：0)()()(ˆ)(kknxkhndnykknxkhndnyndne)()()()()()(误差信号：]|)(|[2neEJ均方误差：Square-ErrorMean-Square-Error最小均方误差准则：选择滤波器系数，使得均方误差最小。Minimum-Mean-Square-Error,2,1,0,0)(kkhJ,2,1,0,0)]()([kknxneE证明：)]()([2)()()()()(2)()]([)(2)(]|)(|[)(02knxneEkhknxkhndneEkhneneEkhneEkhJk0)(khJ0)]()([knxneE正交性原理：误差信号与每个输入样本都正交MMSE2.正交性原理及其推论正交性原理{},0,1,,1iihexiN要使估计的均方误差最小，滤波系数的选择应使估计误差与所有的观测值正交其中。推论{}ˆ0,1,,1ihesiN要使估计的均方误差最小，滤波系数的选择应使估计误差与估计值（观测值的线性组合）正交，其中。sˆsˆess1x0x00hx11hx例如：N=2ˆees最小，仅当与正交时ˆiexes满足正交原理满足MMSE条件维纳－霍夫方程0)]()([mnxneE0)()()()(0mnxknxkhndEk0)()()(0kxxdkmRkhmR)()()(0mRkmRkhxdkx)]()([)]()([)(mndnxEndmnxEmRxd几种特殊情况)()()(0mRkmRkhxdNkx对FIR维纳滤波器)()1()0()()1()0()0()1()()1()0()1()()1()0(NRRRNhhhRNRNRNRRRNRRRxdxdxdxxxxxxxxx矩阵形式上式和随机信号模型(AR模型)的YW方程有相同的形式，求解方法相同，但代表不同的物理意义。1822()()()EenEdnyn2.2.3FIR型Wiener滤波器的最小均方误差设所研究的信号是零均值的，滤波器为FIR型，长度等于M，则210()()()MkEdnhkxnk*1100()()()()()()MMkiEdnhkxnkdnhixni19将代入得:1220()()()()()MkEenEdnhkExnkdn111*000()()()()()[()()]MMMikihiExnidnhkhiExnkxni111120000()()()()()()()MMMMdxdxdxxkkkihkrkhkrkhkhirki2()()()TTTdxdxdxxhRRhhRh2111()[()]()TTdxdxxxdxxxdxxxxxdRRRhRRRhRR2212min()()()TTdxdxxxddxdoptEenRRRRh1xxxdhRR维纳滤波器的求解对FIR滤波器，用维纳－霍夫方程求解对IIR滤波器)()()(mRkmRkhxdkxZ变换)()()(zPzPzHxdx)()()(zPzPzHxxd利用信号的双边Z变换可能存在单位圆外的零点滤波器不是因果系统21推导滤波器的最小均方误差(信号不失真，因为没有噪声)有误差，误差是由于信号谱和噪声谱交叉造成。信噪比越小，越小噪声全部被抑制掉，因此维纳滤波器有滤除噪声的能力ssssss1P()0()01P()0()0()0P()0()0jwjwvvjwjwvvjwoptjwjwvvePeePeHeePe()()ssvvPwPw()jwoptHe222min()()(0)wssskwrkEenr根据围线积分求逆Z变换的公式，得11()()2msssscrmSzzdzj11(0)()2sssscrSzzdzj22同理11()()()()2cndzxnynxzyjzz由帕塞伐尔定理211()()()2cndzxnxzxzjz取有()()xnyn211()()()2wswswscndzrkSzSzjz把，代入公式，得(0)ssr2()wsrk2min()Een212min11()()()()2sswswscwdzEenSzSzSzjz23将代入上式，得1221min()()11()()2()()ssxssscwSzSzdzEenSzjBzBzz1()()()xswsSzSzBz11()()()2ssoptxscdzSzHzSzjz因为实信号的自相关函数是偶函数，即，因此()()ssssrmrm1()()ssssSzSz假定信号与噪声不相关，即，则()()0Esnvn21min()1()()()2()sssssscxxSzdzEenSzSzjSzz()()12()ssvvcxxSzSzdzjSzz可见，维纳滤波的最小均方误差不仅与输入信号的功率谱24有关，而且与信号和噪声的功率谱的乘积有关。也就是说，最小均方误差与信号和噪声功率谱的重叠部分的大小有关。若维纳滤波器是一个因果滤波器，要求()0gn2.3.2因果维纳滤波器的求解0n则滤波器输出0ˆ()()()()()()kynsnwngngkwnk估计误差的均方值22()()()EenEsnyn类似于前面的推导，得222200()1()(0)()()wssswwskkwwrkEenrgkrk因果IIR维纳滤波器的求解)(nx)(ny)(1zG)(zQ)(ni白噪声白化滤波器)()()(zIzGzX)()()(12zGzGzSxjezxzS|)(功率谱)()()(1zSzSzSxxx由谱分解定理：仅在单位圆内有零极点)(1)(zSzGx考虑第二个滤波器0)()()(kknikqny,,2,1,0),()()(0mmRkmRkqidki维纳霍夫方程：2)()(kmkmRi.0,1,2,....m)()(2mRmqidmmidmmzmRzmq020)(1)()(1)(2zzQ)()(1)()(1zzGzkRzdxkkid单边Z变换证明：00)()()()()()()()(kxdkidkmRkvndkmnxkvEmnindEmR0)()()(1kkzkvzVzG)()(1)()()()()()()()()()()(110)(0)(00zzGzzvzzkvzzkmRkvzzkmRkvzkmRkvzxdxdkxdkmkkmxdkmkkmxdkmmkxdid)()(1)]([)(122zGzzzQxdxd)(1)(zSzGx)()()(1)()()(12zGzzGzGzQzHxd因果IIR维纳滤波器为什么维纳滤波器比一般线性滤波器性能更好？mimRihmRixxsx,0010optvvoptssoptvvHSHSHSsxssssoptxxxxssvvssoptssvvSzSzSzHzSzSzSzSzSHSS维纳滤波器的应用例2.1解：由题知信号的自相关与噪声的自相关为:()0.6,()()msswwmmmffd==代入维纳－霍夫方程得:012(0)0.6(1)10.60.6(0)2(1)khhkhh==+==+求出:h(0)=0.451，h(1)=0.165最小均方误差为：12min0[()](0)()()(0)0.6(1)0.45ssoptssmEenhmmhhff=1-==--=å若要进一步减小误差可适当增加滤波器阶数，但计算量会增大。因此，用有限FIR滤波器实现最小方差准则得维纳滤波器并不是