第六章近独立粒子的最概然分布教案

热力学与统计物理课程教案主讲教师：1热力学与统计物理课程教案授课内容(教学章节):第六章近独立粒子的最概然分布主讲教师：授课地点授课班级教材分析:从本章开始着重阐述物质微观运动状态的描述以及微观运动的规律，玻耳兹曼系统和玻色系统费米系统等，即统计物理学部分。内容难度、深度均超出了前四章。用到了较多的数学知识、原子物理学和统计物理学的概念。因此，在本章教学中紧密结合先前知识对难点加以分解，同时引导学生用新的思维方式研究物质的微观运动。教学目标:知道微观粒子运动状态的经典描述和量子描述，掌握系统微观运动状态的描述，理解分布和微观状态的概念及其关系，掌握玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统的区别和联系，理解与之对应的三种分布并会推导。知道等概率原理，经典极限条件等。培养学生用统计学和数学建模等方法探讨物理问题。教学重点与教学难点:教学重点：系统微观运动状态的描述、分布与微观状态的概念、玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统及其分布。教学难点：玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统及其三种分布的推导和物理意义。教学内容6.1粒子运动状态的经典描述6.2粒子运动状态的量子描述6.3系统微观运动状态的描述6.4等概率原理6.5分布和微观状态6.6玻耳兹曼分布6.7玻色分布和费米分布6.8三种分布的关系教学方法与手段以讲授为主，结合多媒体教学，三种分布及其关系采用讨论法展开教学。课后作业6.16.26.36.46.5小论文1、在量子力学中全同粒子既然不能分辨，那么如何来描述系统的微观运动状态？2、满足经典极限条件时玻色分布和费米分布在形式上都过渡到玻耳兹曼分布的形式，其物理意义是否相同？教材与参考资料教材：热力学与统计物理汪志诚高等教育出版社热力学与统计物理课程教案主讲教师：2第六章近独立粒子的最概然分布6.1粒子运动状态的经典描述首先介绍如何描述粒子的运动状态。这里说的粒子是指组成宏观物质系统的基本单元，例如气体的分子，金属的离子或电子，辐射场的光子等等。粒子的运动状态是指它的力学运动状态。如果粒子遵从经典力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为经典描述；如果粒子遵从量子力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为量子描述。1、粒子运动状态经典描述的两种方法设粒子的自由度为r。经典力学告诉我们，粒子在任一时刻的力学运动状态由粒子的r个广义坐标rqqq,,,21和与之共轭的r个广义动量rppp,,,21在该时刻的数值确定。粒子能量ε是其广义坐标和广义动量的函数：rrpppqqqεε,,,;,,,2121如果存在外场，ε还是描述外场参量的函数。为了形象地描述粒子的力学运动状态，用rqqq,,,21；rppp,,,21共r2个变量为直角坐标，构成一个r2维空间，称为μ空间。粒子在某一时刻的力学运动状态（rqqq,,,21；rppp,,,21）可以用μ空间中的一点表示，称为粒子力学运动状态的代表点。当粒子运动状态随时间改变时，代表点相应地在μ空间中移动，描画出一条轨道。2、下面介绍统计物理中用到的几个例子（1）、自由粒子：自由粒子不受力的作用而自由运动，当在三维空间中运动时，它的自由度为3。粒子在任一时刻的位置可由坐标zyx,,确定，与之共轭的动量为：zmpympxmpzyx,,自由粒子的能量就是它的动能：22221zyxpppmε，对应的μ空间是6维的。热力学与统计物理课程教案主讲教师：3（2）线性谐振子对于自由度为1的线性谐振子，在任一时刻，粒子的位置由它的位移x确定，与之共轭的动量为xmpx，它的能量是其动能和势能之和：2222221222xmmpxAmp以x和p为直角坐标，可构成二维的μ空间，振子在任一时刻运动状态由μ空间中的一点表示。如果给定振子的能量ε，对应点的轨迹是上式所确定的椭圆，标准形式为：122222mxmp（3）转子考虑质量为m的质点A被具有一定长度的轻杆系于原点O时所作的运动。质点的位置由坐标zyx,,确定。质点的能量就是它的动能：22221zyxmε用球极坐标φθr,,描述质点的位置：θzφθryφθrxcos,sinsin,cossin，质点的能量可以表为：222222sin21φθrθrrmε。若质点与原点的距离保持不变即0r，于是上式简化为：22222sin21φθrθrmε，引入与之共轭的动量：2222sin,φθmrpθmrpφθ，则上式可表为：2222sin121φθprθpIε。前面讨论的质点是被看作转子的一个例子。转子是这样的一个物体，它在任何时刻的位置可以由其主轴在空间的方位角φθ,确定。在统计物理中将双原子分子绕其质心的转动看作转子。热力学与统计物理课程教案主讲教师：46.2粒子运动状态的量子描述1、德布罗意关系微观粒子（光子、电子、质子、中子乃至原子、分子等等）普遍地具有粒子和波动的二象性。一方面它们是客观存在的单个实体，另一方面在适当的条件下又可以观察到微观粒子显示干涉、衍射等等为波动所特有的现象。德布罗意提出能量为ε、动量为p的自由粒子联系着圆频率为ω、波矢为k的平面波，称为德布罗意波。能量ε与圆频率ω，动量p与波矢k的关系为：ωε，kp即德布罗意关系，适用于一切微观粒子。常量：πh2，h和都称为普朗克常量，是量子力学的基本常量。其数值为：sJh.10626.634sJ.10055.1342、测不准原理粒子和波动二象性的一个重要结果是微观粒子不可能同时具有确定的动量和坐标。如果以q表示粒子坐标q的不确定值，p表示粒子动量p的不确定值，则在量子力学所容许的最精确的描述中，q与p的乘积满足：hpq上式称为不确定关系。不确定关系表明，如果粒子的坐标具有完全确定的数值即0q，粒子的动量将完全不确定即p；反之，当粒子的动量具有完全确定的数值即0p时，粒子的坐标将完全不确定即q。这生动地说明了粒子的运动不是轨道运动。在经典力学中，粒子可同时具有确定的坐标和动量，这并不是说我们可以任意的精确度做到这一点，而是说在经典力学中，原则上不允许对这种精确度有任何限制。由于普朗克常量数值非常小，不确定关系在任何意义上都不会跟宏观物理学的经验知识发生矛盾。在量子力学中微观粒子的运动状态称为量子态。量子态由一组量子数表征，这组量子数的数目等于粒子的自由度数。下面举例加以说明。热力学与统计物理课程教案主讲教师：53、量子态的描述（1）、自旋考虑一个粒子，质量为m，电荷为e，自旋角动量量子数为21。粒子的自旋磁矩μ与自旋角动量S之比为：meSμ如果加上沿z方向的外磁场，磁感应强度为β，则粒子自旋角动量在外磁场方向的投影ZS有两个可能值，即2ZS。自旋磁矩在外磁场方向的投影相应为meμZ2。粒子在外磁场中的势能为：βmeβμ2。将ZS表为sZmS，描述粒子的自旋状态只要一个量子数sm，它只能取两个分立的值21。（2）、线性谐振子在原子物理课讲过，圆频率为ω的线性谐振子，能量的可能值为：2,1,0,21nnωεn其中n是表征线性谐振子的运动状态和能量的量子数。上式给出的能量值是分立的，分立的能量称为能级。线性谐振子的能级是等间距的，相邻两能级的能量差为ω，其大小取决于振子的圆频率。（3）、转子转子的能量：IMε22在经典理论中，2M原则上可以取任何正值。原子物理课讲过，在量子理论中2M只能取分立值：2,1,0,122lllM对于一定的l，角动量在某一z轴的投影zM只能取分立值：mMz，lllm,,1,共12l个可能的值。这就是说，在量子理论中自由度为2的转子的运动状态由ml、两个量子数表征。m的取值与经典运动平面的取向相应。在经典理论中运动平面在空间的取向是任意的，而在量子理论中m只能取上述分立值，称为热力学与统计物理课程教案主讲教师：6空间量子化。（4）、自由粒子首先讨论一维自由粒子。设粒子处在长度为L的一维容器中，我们采用周期性边界条件，周期性边界条件要求，粒子可能的运动状态，其德布罗意波波长λ的整数倍等于容器的长度L，即：λnLx，2,1,0xn根据波矢量大小xk与波长的关系，并考虑到在一维空间中波动可以有两个传播方向，便可求得波矢量xk的可能值为：xxnLπk2，,2,1,0xn将上式代入德布罗意关系，可得一维自由粒子动量的可能值为：xxnLπp2,2,1,0xnxn就是表征一维自由粒子的运动状态的量子数。一维自由粒子能量的可能值为：2222222Lnmπmpεxxnx，,2,1,0xn能量也取决于xn。现在讨论三维自由粒子。设粒子处在边长为L的立方容器内，粒子三个动量分量zyxppp,,的可能值为：xxnLπp2,2,1,0xnyynLπp2,2,1,0ynxznLπp2,2,1,0znzyxnnn,,就是表征三维自由粒子运动状态的量子数。三维自由粒子能量的可能值为：222222222221Lnnnmπpppmεzyxzyx如果粒子局域在微观大小的空间范围内运动，例如电子在原子大小的范围、核子在原子核大小的范围内运动，则上式给出的动量值和能量值的分立性是显著的。注意粒子的运动状态由三个量子数zyxnnn,,表征，而能级只取决于222zyxnnn的数值。因此处在一个能级的量子态一般不止一个。例如，能级2222mLπ有6个量子态，简并度是6。热力学与统计物理课程教案主讲教师：7如果粒子是在宏观大小的容器内运动，上式给出的动量值和能量值是连续的。考虑在体积3LV内，在xp到xxdpp，yp到yydpp，zp到zzdpp的动量范围内自由粒子的量子态数。由于xp与xn是一一对应的，且相邻的两个xn之差为1。因此在xp到xxdpp的范围内，可能的xp的数目为：xxdpπLdn2同理，在yp到yydpp的范围内，可能的yp的数目为：yydpπLdn2在zp到zzdpp的范围内，可能的zp的数目为：zzdpπLdn2既然自由粒子的量子态由动量的三个分量xp、yp、zp（或三个量子数xn、yn、zn）的数值表征，在体积3LV内，在xp到xxdpp，yp到yydpp，zp到zzdpp内，自由粒子的量子态数为：zyxzyxzyxdpdpdphVdpdpdpπLdndndn332上式可以根据不确定关系来理解。不确定关系指出，粒子坐标的不确定值q和与之共轭的动量的不确定值p满足：hpq。因此，如果用坐标q和动量p来描述粒子的运动状态，一个状态必然对应于μ空间中的一个体积，称它为相格。对于自由度为1的粒子，相格的大小为h。如果粒子的自由度为r，相格大小为：rrrhppqq11因此，将μ空间的体积zyxdpdpVdp除以相格大小3h而得到的三维自由粒子在zyxdpdpVdp内的量子态数。在某些问题中，往往采用动量空间的球极坐标φθp、、来描写自由粒子的动量。φθp、、与zyxppp、、的关系为：cossinppx；sinsinppy；cosppz用球极坐标、动量空间的体积元为φdθdpdθpsin2。所以在体积V内，动量大热力学与统计物理课程教案主讲教师：8小在到p到dpp，动量方向在θ到θdθ，φ到φdφ的范围内，自由粒子可能的状态数为：32sinhφdθdpdθVp。再对θ和φ积分可得：πππθdθφd0204sin可得在体积V内，动量p到dpp的范围内，自由粒子可能的状态数为：324hdpVpπ根据mpε22，可以求出体积V内，能量ε到εdε的范围内，自由粒子可能的状态数为：εdεmhVπεdεD2123322。εD表示单位能量间隔内的可能状态数，称为态密度。6.3系统微观运动状态