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第1页，共5页初高中衔接教材第五讲二次函数一、二次函数的三种表示形式在初中我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．3.若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，则x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca，即ba＝－(x1＋x2)，ca＝x1x2．所以y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋bax＋ca)＝a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1)(x－x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．【例1】已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．【例2】已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点(3，－1)，求二次函数的解析式．【例3】已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？二次函数的最值问题二次函数2(0)yaxbxca是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知第2页，共5页道：二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当0a时，函数在2bxa处取得最小值244acba，无最大值；当0a时，函数在2bxa处取得最大值244acba，无最小值．本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．【例4】当2-1x时，求函数223yxx的最大值和最小值．【变形1】当22x时，求函数223yxx的最大值和最小值．【变形2】当03x时，求函数223yxx的最大值和最小值．【变形3】当24x时，求函数223yxx的最大值和最小值．【变形4】当2ax时，求函数223yxx的最大值和最小值．【变形5】当2xa时，求函数223yxx的最大值和最小值．【变形6】当2axa时，求函数223yxx的最大值和最小值．第3页，共5页【例5】求关于x的二次函数221yxtx在11x上的最大值(t为常数)．【例6】求函数23532yxx的最大值和最小值．在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题【例7】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数1623,3054mxx．(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式；(2)若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？第4页，共5页【变形】用一长度为l米的铁丝围成一个长方形或正方形，求其所围成的最大面积1．根据下列条件，求二次函数的解析式．(1)图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；(2)当x＝3时，函数有最小值5，且函数的图象经过点(1，11)；(3)函数图象与x轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y轴交于(0，－2)．2.已知一次函数y=()fx在区间[-1，2]上的最小值为1，最大值为3，求()fx的解析式3．求二次函数2235yxx在22x上的最大值和最小值，并求对应的x的值．4.当1txt时，求函数21522yxx的最小值(其中t为常数)．练习第5页，共5页5．已知关于x的函数222yxax在55x上．(1)当1a时，求函数的最大值和最小值；(2)当a为实数时，求函数的最大值．