第六讲集合

§1.1集合第1课时集合的含义与集合的表示课时目标1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用．4.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).5.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．1．元素与集合的概念(1)把________统称为元素，通常用__________________表示．(2)把________________________叫做集合(简称为集)，通常用________________表示．2．集合中元素的特性：________、________、________.3．集合相等：只有构成两个集合的元素是______的，才说这两个集合是相等的．4．元素与集合的关系关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果________的元素，就说a属于集合Aa∈Aa属于集合A不属于如果________中的元素，就说a不属于集合Aa∉Aa不属于集合A5.常用数集及表示符号：名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号________________________6集合的表示：1．列举法把集合的元素____________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为__________．不等式x－73的解集为__________．所有偶数的集合可表示为________________．总结：集合的概念，是我们在高中进一步学习函数的基础概念，用集合的观点来研究函数，是近代数学的思想。对于函数，我们将会有新的认识和理解，有利用对数学的深入学习。什么是集合，在高中的教材中，仅作了一种描述：某些指定的对象集在一起就成为一个集合.对这一描述，要理解“对象”的内涵，在集合中，我们将“对象”称为“元素”，它具有如下三个特征：1确定性（又叫封闭性）2互异性3无序性集合的表示法有：列举法，描述法，韦恩图法等.如方程012x的解组成的集合，可用列举法表示为}1,1{。不等式012x的解集，可用描述法表示为}11{xx.通常我们用大写的拉丁字母表示集合，用小写的拉丁字母表示集合中的元素。列举法，描述法都用大括号{}表述.元素与集合之间是属于或不属于的关系，如a是集合A的元素，记作Aa，读作a属于A;b不是集合A的元素，记作Ab，读作b不属于A。集合简称集，在高中数学中主要研究数集和点集.数集中的元素都是数，点集中的元素都是点，通常用点的坐标来表示。常用数集的记法：N自然数集N正整数集Z整数集Q有理数集R实数集含有有限个元素的集合叫有限集，含有无限个元素的集合叫无限集，不含任何元素的集合叫空集，记作∅题型归类一集合的概念例1下列的描述中，能构成集合的是（）A给出数字5,5,3,1B美丽的鲜花C所有的无理数D一切很大的正整数例2在下面的各个集合中，表示空集的是（）A}62{2xRxB}032{xZxC}0{D{∅}二元素与集合例1集合}20{的质数小于A的元素有多少个？并用列举法表示集合A.例2用列举法表示下列集合；（1）};,,3),({NyNxyxyx（2）},2,1),({2Zxxxyyx例3下列各小题，分别指出了一个集合的所有元素，用适当的方法（列举法或描述法）把这个集合表示出来，并说出它是有限集还是无限集.1由3,2,1这三个数字组成的没有重复数字的三位数2平面内，一个动作),(yxP到两个定点)2,3(),2,1(BA距离相等的所有点。3一元二次方程012522xx的根；4抛物线xxy23与x轴的交点。例4设集合},,{},,,1{2abaaBbaA，且BA，求?20152015ba例5下面三个集合：（1）}1{2xyx；（2）};1{2xyy（3）}1),({2xyyx（1）它们各自的含义是什么；（2）它们是不是相同的集合；例6已知},0,1{2xx，求实数x的值；例7已知集合},012{2RxxaxxA，若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围；课堂训练：1．下列语句能确定是一个集合的是()A．著名的科学家B．留长发的女生C．2010年广州亚运会比赛项目D．视力差的男生2．集合A只含有元素a，则下列各式正确的是()A．0∈AB．a∉AC．a∈AD．a＝A3．已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形4．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是()A．1B．－2C．6D．25．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为()A．2B．3C．0或3D．0,2,3均可6．由实数x、－x、|x|、x2及－3x3所组成的集合，最多含有()A．2个元素B．3个元素C．4个元素D．5个元素7．集合{x∈N＋|x－32}用列举法可表示为()A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5}D．{1,2,3,4,5}8．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示()A．方程y＝2x－1B．点(x，y)C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D．函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合9．将集合表示成列举法，正确的是()A．{2,3}B．{(2,3)}C．{x＝2，y＝3}D．(2,3)10．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为()A．{1,1}B．{1}C．{x＝1}D．{x2－2x＋1＝0}11．已知集合A＝{x∈N|－3≤x≤3}，则有()A．－1∈AB．0∈AC.3∈AD．2∈A12．方程组的解集不可表示为()A．B．C．{1,2}D．{(1,2)}二、填空题13．由下列对象组成的集体属于集合的是______．(填序号)①不超过π的正整数；②本班中成绩好的同学；③高一数学课本中所有的简单题；④平方后等于自身的数．14．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为________．15．用符号“∈”或“∉”填空－2_______R，－3_______Q，－1_______N，π_______Z.16．用列举法表示集合A＝{x|x∈Z，86－x∈N}＝______________.17．下列各组集合中，满足P＝Q的有________．(填序号)①P＝{(1,2)}，Q＝{(2,1)}；②P＝{1,2,3}，Q＝{3,1,2}；③P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}，Q＝{y|y＝x－1，x∈R}．18．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是________．(填序号)①M＝{π}，N＝{3.14159}；②M＝{2,3}，N＝{(2,3)}；③M＝{x|－1x≤1，x∈N}，N＝{1}；④M＝{1，3，π}，N＝{π，1，|－3|}．三、解答题19．判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)参加2010年广州亚运会的所有国家构成一个集合；(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素；(4)高一(三)班个子高的同学构成一个集合．20．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a.21．下列集合中，不同于另外三个集合的是()A．{x|x＝1}B．{y|(y－1)2＝0}C．{x＝1}D．{1}22．已知集合M＝{x|x＝k2＋14，k∈Z}，N＝{x|x＝k4＋12，k∈Z}，若x0∈M，则x0与N的关系是()A．x0∈NB．x0∉NC．x0∈N或x0∉ND．不能确定1．考查对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．2．集合中元素的三个性质(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．第一章集合与函数概念§1.1集合1．1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义知识梳理1．(1)研究对象小写拉丁字母a，b，c，…(2)一些元素组成的总体大写拉丁字母A，B，C，…2.确定性互异性无序性3．一样4.a是集合Aa不是集合A5.NN*或N＋ZQR作业设计1．C[选项A、B、D都因无法确定其构成集合的标准而不能构成集合．]2．C[由题意知A中只有一个元素a，∴0∉A，a∈A，元素a与集合A的关系不应用“＝”，故选C.]3．D[集合M的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的，故选D.]4．C[因A中含有3个元素，即a2,2－a,4互不相等，将选项中的数值代入验证知答案选C.]5．B[由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A＝{0,3,2}，符合题意．]6．A[方法一因为|x|＝±x，x2＝|x|，－3x3＝－x，所以不论x取何值，最多只能写成两种形式：x、－x，故集合中最多含有2个元素．方法二令x＝2，则以上实数分别为：2，－2,2,2，－2，由元素互异性知集合最多含2个元素．]7．①④解析①④中的标准明确，②③中的标准不明确．故答案为①④.8．－1解析当x＝0,1，－1时，都有x2∈A，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故答案为－1.9．∈∈∉∉10．解(1)正确．因为参加2010年广州亚运会的国家是确定的，明确的．(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝12，在这个集合中只能作为一元素，故这个集合含有三个元素．(4)不正确．因为个子高没有明确的标准．11．解由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，∴a＝－1或a＝－32.则当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．当a＝－32时，a－2＝－72，2a2＋5a＝－3，∴a＝－32.12．解∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．13．证明(1)若a∈A，则11－a∈A.又∵2∈A，∴11－2＝－1∈A.∵－1∈A，∴11－－1＝12∈A.∵12∈A，∴11－12＝2∈A.∴A中另外两个元素为－1，12.(2)若A为单元素集，则a＝11－a，即a2－a＋1＝0，方程无解．∴a≠11－a，∴A不可能为单元素集．1．在用列举法表示集合时应注意：①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序；④列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．2．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合、还是其他形式？(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．第2课时集合的表示知识梳理1．一一列举2.描述法{x|x10}{x∈Z|x＝2k，k∈Z}作业设计1．B[{x∈N＋|x－32}＝{x∈N＋|x5}＝{1,2,3,4}．]2．D[集合{(x，y)|y＝2x－1