第十一章有限元分析法概述

1第十一章有限元分析方法概述1、基本概念有限元分析方法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代没计计算方法。它是20世纪50年代首先在连续体力学领域—飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快就广泛地应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。在工程分析和科学研究中，常常会遇到大量的由常微分方程、偏微分方程及相应的边界条件描述的场问题，如位移场、应力场和温度场等问题。求解这类场问题的方法主要有两种：用解析法求得精确解；用数值解法求其近似解。应该指出，能用解析法求出精确解的只是方程性质比较简单且几何边界相当规则的少数问题。而对于绝大多数问题，则很少能得出解析解。这就需要研究它的数值解法，以求出近似解。目前工程中实用的数值解法主要有三种：有限差分法、有限元法和边界元法。其中，以有限元法通用性最好，解题效率高，目前在工程中的应用最为广泛。下面通过一个具体例子，分别采用解析法和数值解法进行求解，从而体会一下有限元分析方法的含义及其相关的一些基本概念。如下图所示为一变横截面杆，杆的一端固定，另一端承受负荷P，试求杆沿长度方向任一截面的变形大小。其中，杆的上边宽度为1w，下边宽度为2w，厚度为t，长度为L，杆的材料弹性模量为E。已知P＝4450N，1w＝50mm，2w=25mm，t=3mm，L=250mm，E=72GPa。①采用解析法精确求解假设杆任一横截面面积为)(yA，其上平均应力为，应变为。根据静力平衡条件有：0)(yAP根据虎克定律有：E而任一横截面面积为：tyL)()(121任一横截面产生的应变为：dydu将上述方程代入静力平衡条件，进行变换后有：dyyEAPdu)(沿杆的长度方向对上式两边进行积分，可得：yyudyyL)()(2将)(yA表达式代入上式，并对两边进行积分，得杆沿长度方向任一横截面的变形量：]ln)[ln()()(112112wyL当y分别取0、62.5、125、187.5、250值时，变截面杆相应横截面处的沿杆长方向的变形量分别为：mumumumumu6564636211080.142;1083.96;1027.59;1051.27;0②采用数值解法近似求解将变横截面杆沿长度方向分成独立的4小段，每一小段采用等截面直杆近似，等截面直杆的横截面面积为相应的变截面杆横截面面积的平均面积表示，每一小段称为一个单元，小段之间通过节点连接起来。这样，变横截面杆就可以用5个节点和4个单元组成的模型来近似表示，如右图所示。假设任一横截面面积为A、长为l的等截面直杆，在轴向拉力F的作用下产生变形量l，则该直杆横截面上的应力和应变分别为：AFll根据虎克定律：E可得：llAEF上述方程与线性弹簧的方程kxF极为相似，表明一个中心点集中受力且横截面相等的等截面直杆可以等效为一个弹簧，其等效刚度为:lAEkeq因此，变横截面杆可以看作由四个线性弹簧串联起来的模型来近似表示，如下图所示，每一个单元都可以视为一个线性弹簧，其弹性行为符合以下方程：)(2)()()(1111iiiiiiavgiiequulEAAuulEAuukf下面考虑每一个节点的受力，根据静力平衡条件，每一个节点上的受力总和为0，即：节点1：0)(1211uukR节点2：0)()(232121uukuuk节点3：0)()(343232uukuuk节点4：0)()(454343uukuuk节点5：0)(454Puuk3将反作用力R1和外力P从内力中分离出来，重新对上述五个方程组成的方程组进行变换，得：节点1：12111Rukuk节点2：0)(3222111ukukkuk节点3：0)(4333222ukukkuk节点4：0)(5444333ukukkuk节点5：Pukuk5544将上述方程组写成矩阵形式，有：PRuuuuukkkkkkkkkkkkkkkk0000000000000001543214444333322221111将反作用力和外力分离出来，可以重组上述矩阵，得：PuuuuukkkkkkkkkkkkkkkkR000000000000000000005432144443333222211111写成一般形式，可得：][]][[][FUKR即表示：][]][[][负荷矩阵位移矩阵总体刚度矩阵反作用力矩阵引入边界条件，根据本题的要求，节点1的位移为0，即01u，则有如下矩阵形式：Puuuuukkkkkkkkkkkkkk0000000000000000015432144443333222211通过求解上述矩阵方程，可得每个节点的位移，进而可以求得每个节点的反作用力，每一个单元的应力和应变。即：i1Eiiiiluu根据变横截面杆结构的已知参数可得：mmLl5.624ytyL)()(1214当0y时，21150mmA当4Ly时，2225.13142503.015043.0150mmLA当42Ly时，235.112425023.0150423.0150mmLA当43Ly时，2475.93425033.0150433.0150mmLA当Ly时，25752503.01503.0150mmLA每个单元的等效刚度系数lEAAkiieq2)(1MNlEAAk/101625.6221072)25.131150(2)(66211MNlEAAk/104.1405.6221072)5.11225.131(2)(66322MNlEAAk/108.1185.6221072)75.935.112(2)(66433MNlEAAk/102.975.6221072)7575.93(2)(66544总体刚度矩阵：2.972.970002.972.978.1188.1180008.1188.1184.1404.1400004.1404.14016216200016216210][6)(GK应用边界条件01u和负荷NP4450，可以得到：445000002.972.970002.972.978.1188.1180008.1188.1184.1404.1400004.1404.1401621620000110543216uuuuu求解该方程，可得：mumumumumu6564636211040.142;1062.96;1016.59;1047.27;0而第一种精确求解方法求得的每个节点处的位移分别为：mumumumumu6564636211080.142;1083.96;1027.59;1051.27;0比较两种结果表明：采用数值解法近似求解的结果与解析法精确求解的结果相当接近，如果将变横截面杆沿杆长方向分离成的单元越多，数值解法求解的结果将与精确解法求得的结果误差将会越来越小。52、有限元法的分析过程2.1连续体离散化所谓连续体是指所求解的对象（物体或结构），所谓离散化就是将所求解的对象划分为有限个具有规则形状的微小块体，每个微小块体称为单元，两相邻单元之间只通过若干点互相连接，每个连接点称为节点。因而，相邻单元只在节点处连接，载荷也只通过节点在各单元之间传递，用这些有限个单元构成的集合体来近似代替原来的连续体。这种由单元和节点构成的集合体称为有限元分析模型。离散化也称为划分网格或网格化。单元划分后，给每个单元及节点进行合理编号；选定坐标系，计算各个节点坐标；确定各个单元的形态和性态参数以及边界条件等。下图所示为将一悬臂梁建立有限元分析模型的例子，图中将该悬臂梁划分为许多三角形单元，三角形单元的三个顶点都是节点。结构离散化后，单元与单元之间利用单元的节点相互连结起来，单元节点的设置、性质、数目等应视具体问题的性质、描述变形形态的需要和计算精度而定。所以有限元法中分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同样材料的由众多单元以一定方式连结成的离散物体。这样，用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相接近。2.2单元特性分析连续体离散化后，即可对单元体进行特性分析，简称为单元特性分析。单元特性分析主要有两项：选择单元位移模式（位移函数）和分析单元的特性，即建立单元刚度矩阵。根据材料学、工程力学原理可知，弹性连续体在载荷或其他因素作用下产生的应力、应变和位移，都可以用位置函数来表示。为了能用节点位移来表示单元体内任一点的位移、应变和应力，必须对各单元中位移的分布作出某种假设，也就是假定单元中任一点的位移是单元节点位移的某种简单的函数，以此模拟单元内位移的分布规律，这种函数就称为位移模式或位移函数。选择适当的位移函数是有限单元法分析与计算中的关键，通常采用多项式作为位移模式。因为多项式的数学运算比较方便，并且所有光滑函数的局部都可以用多项式逼近。至于多项式的项数和阶次的选择，则要考虑到单元的自由度和解的收敛性。一般来说，多项式的项数应等于单元的自由度数（单元节点独立位移的个数），多项式的阶次应包含常数项和线性项等。6选定好单元位移模式后，即可进行单元力学特性分析，将作用在单元上的所有力（表面力、体积力、集中力）等效地移置为节点载荷。根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，应用有关的力学原理建立单元内节点力与节点位移之间的方程式，从而导出单元刚度矩阵。2.3整体分析在对全部单元进行完单元分析之后，就要进行单元组集，即把各个单元的刚度矩阵集成为总体刚度矩阵，以及将各单元的节点力向量集成总的力向量，求得整体平衡方程。集成过程所依据的原理是节点变形协调条件和平衡条件。2.4确定约束条件由上述所形成的整体平衡方程是一组线性代数方程，在求解之前，必需根据具体情况，分析与确定求解对象问题的边界约束条件，并对这些方程进行适当修正。2.5有限元方程求解解方程，即可求得各节点的位移，进而根据位移计算单元的应力及应变。3、有限元法的理论基础有限元法是一种离散化的数值解法，对于结构力学特性的分析而言，其理论基础是能量原理。根据未知数的性质和分析方法的不同，有三种基本解法：1)位移法。位移法采用最小势能原理或虚位移原理进行分析。它以节点位移作为基本未知量，选择适当的位移函数，进行单元的力学特性分析，在节点处建立单元刚度方程，再合并组成整体刚度矩阵，解出节点位移后，由节点位移再求解出应力。位移法优点是比较简单，规律性强，易于编写计算机程序。所以得到广泛应用，其缺点是精度稍低。2)应力法。应力法常采用最小余能原理进行分析。它以节点力作为基本未知量，在节点处建立位移连续方程，求解出节点力后，再求解节点位移和单元应力。力法的特点是计算精度高。3)混合法。这种方法常采用混合变分原理进行分析。它取一部分节点位移和一部分节点力作为基本未知量，建立平衡方程进行求解。在进行结构静力学分析中，对大多数问题，位移法要比应力法简单得多，从而得到了最广泛的应用和发