第十三章修改能量法

(ChapterThirteen)(EnergyMethod)(Energymethods)第十三章能量法§13-1概述§13-2杆件变形能的计算§13-3互等定理§13-4单位荷载法莫尔定理§13-5卡氏定理§13-6计算莫尔积分的图乘法(Energymethods)§13-1概述在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为弹性变形能，简称变形能.一、能量方法三、变形能二、外力功固体在外力作用下变形，引起力作用点沿力作用方向位移，外力因此而做功，则成为外力功.利用功能原理=W来求解可变形固体的位移、变形和内力等的方法.V(Energymethods)可变形固体在受外力作用而变形时，外力和内力均将作功.对于弹性体，不考虑其他能量的损失，外力在相应位移上作的功，在数值上就等于积蓄在物体内的应变能.=W四、功能原理V(Energymethods)§13-2杆件变形能的计算一、杆件变形能的计算1、轴向拉压的变形能当拉力为F1时，杆件的伸长为△l1当再增加一个dF1时，相应的变形增量为d(△l1)此外力功的增量为：)d(Δd11lFWEAlFl11d)d(Δ(Energymethods)PFllFloll1dl1dF1F1积分得：lFEAlFFEAlFWWFΔ22dd2101(Energymethods)根据功能原理当轴力或截面发生变化时：=W,可得以下变形能表达式N11ΔΔ22VWFlFlEAlFEAFllNΔ22N22FlFlVEAEA2N12niiiiiFLVEAV(Energymethods)（单位J/m3)比能：单位体积的应变能.记作当轴力或截面连续变化时：2N0()d2()lFxxVEAx1Δ122FlVvσεVAlEεσ221222σEεvσεE▼v(Energymethods)2、扭转杆内的变形能或l22eeeeppp11Δ2222MlMlTlVWMMGIGIGI2p()d2()lTxVxGIx2n1p2niiiiiTlVGIMeMeMe(Energymethods)纯弯曲横力弯曲3、弯曲变形的变形能θMe2eeee11222MlMlVWMθMEIEI2e()d2()lMxVxEIxMeMeMe(Energymethods)4、组合变形的变形能截面上存在几种内力，各个内力及相应的各个位移相互独立，力独立作用原理成立，各个内力只对其相应的位移做功.222Np()()()ddd2()2()2()lllFxTxMxVxxxEAxGIxEIx(Energymethods)dxxyzabd5、纯剪切应力状态下的比能假设单元体左侧固定，因此变形后右侧将向下移动dx.因为很小，所以在变形过程中，上、下两面上的外力将不作功.只有右侧面的外力(dydz)对相应的位移dx作了功.dx(Energymethods)当材料在线弹性范围内内工作时，上述力与位移成正比，因此，单元体上外力所作的功为比能为将=G代如上式得dxxyzabddxddd1ddddd2UWWvτγVVxyz)dd(d21)d)(dd(21dzyxτγxγzyτW12vτγ2222GvγG(Energymethods)等直圆杆扭转时应变能的计算dddVlAVvVvAx222p22ppdddd()d2222lAlAAT(ρ)IτlTTlVAxAxρAGGGIGI2p2mlVGI将ppGImlGITl代入上式得p22GIVl2222GvγG(Energymethods)三、变形能的应用1、计算变形能2、利用功能原理计算变形(Energymethods)例1试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端B的挠度.ABFlx解：xFxM)(22230()()dd226llMxFxFlVxxEIEIEIB21vFW由=W得EIFlv33BV(Energymethods)例2试求图示梁的变形能，并利用功能原理求C截面的挠度.ABCFx1x2abl解：22212120022322322222()d2()()dd2223236labMxVxEIFbFaxxllxxEIEIFbaFabFabEIlEIlEIlC21vFW由=W得EIlbFav322CV(Energymethods)2π22320()d2(sin)πd28lMVREIFRFRREIEI例3试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功能原理求B截面的垂直位移.已知EI为常量.解：sin)(FRMBVΔ21FW由V=W得EIFR4πΔ3BVABFORθ(Energymethods)例题4拉杆在线弹性范围内工作.抗拉刚度EI，受到F1和F2两个力作用.(1)若先在B截面加F1，然后在C截面加F2；(2)若先在C截面加F2，然后在B截面加F1.分别计算两种加力方法拉杆的应变能.ABCabF1F2(Energymethods)(1)先在B截面加F1，然后在C截面加F2ABCabF1在B截面加F1，B截面的位移为外力作功为再在C上加F2F2C截面的位移为F2作功为EAaFδB11EAaFδBFW22121111EAbaFδCFW2)(2122222EAbaFδC2)(22(Energymethods)在加F2后，B截面又有位移在加F2过程中F1作功（常力作功）所以应变能为ABCabF1F2EAaFδB22EAaFFδBFW212131122122212121122()22VWFδBFδCFδBFaFabFFaEAEAEA(Energymethods)(2)若先在C截面加F2，然后B截面加F1.在C截面加F2后，F2作功在B截面加F1后，F1作功ABCabF1F2EAbaF2)(22EAaF221(Energymethods)加F1引起C截面的位移在加F1过程中F2作功（常力作功）ABCabF1F2EAaF1EAaFF211122122212121122()22VWFδBFδCFδBFaFabFFaEAEAEA所以应变能为(Energymethods)注意：(1)计算外力作功时，注意变力作功与常力作功的区别.(2)应变能只与外力的最终值有关，而与加载过程和加载次序无关.V(Energymethods)2梁中点的挠度为梁右端的转角为MeEIlMEIFlδ16482e31EIlMEIFlθδ316e22ACBFl/2l/2梁的变形能为2223ee1e2111()2296616MlMFlFlVFδMδEI1(Energymethods)先加力F后，再加力偶Me先加力F后，C点的位移力F所作的功为EIFlδ4831EIFlFFδW48212131力偶由零增至最后值MeB截面的转角为EIlMθ3e力偶Me所作的功为EIlMMθMW32121eee2ACBFl/2l/2ACBFl/2l/2Me1(Energymethods)先加上的力F所作的功为C截面的位移为3EIlMδ162e3EIlMFFδW162e33ACBl/2l/2F与力偶Me所作的功为23eee124816123MlFlVFFEIEIMlMEIACBFl/2l/21Me(Energymethods)两力作用点沿力作用方向的位移分别为F1，F21、设在线弹性结构上作用力1，2一、功的互等定理§13-3互等定理12F1F2(Energymethods)F1F212F1和F2完成的功应为2、在结构上再作用有力F3，F4沿F3和F4方向的相应位移为3,4F334F4F3和F4完成的功应为22112121δFδF44332121δFδF(Energymethods)3、在F3和F4的作用下，F1和F2的作用点又有位移F1和F2在1´和2´上完成的功应为F1F212F33421，'δ1'δ2''δFδF2211因此，按先加F1，F2后F3，F4的次序加力，结构的应变能为111223344112211112222''VFδFδFδFδFδFδ(Energymethods)F1F21234F3若按先加F3，F4后加F1，F2的次序加力，又可求得结构的应变能为211223344334411112222''VFδFδFδFδFδFδ由于应变能只决定于力和位移的最终值，与加力的次序无关,故12VV''''δFδFδFδF44332211'4'3(Energymethods)功的互等定理：第一组力在第二组力引起的位移上所作的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功.二、位移互等定理若第一组力F1，第二组力只有F3，则如果F1=F3，则有''δFδF3311''δδ31(Energymethods)位移互等定理：F1作用点沿F1方向因作用F3而引起的位移等于F3作用点沿F3方向因作用F1而引起的位移.三、注意1、力和位移都应理解为广义的.2、这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下，只是由变形引起的位移.(Energymethods)213设弹性结构在支座的约束下无任何刚性位移.作用有外力：F1，F2，，Fi，相应的位移为：1，2，，i，F1F2F3结构的变形能112233111222VWFδFδFδ(Energymethods)()cndFiABFnFiF2F1δ12idiδδδδ()bAB12inFnFiF2F1δdFiδδδdiδ()aAB12inFnFiF2F1δδδδ1211(,......)2ninkkkVVFFFFFdiiVVVFF111ddd221ddd2niiiiiikiiiiVFFFFFV1dddd2iiiiiiVFFFF§13-5卡氏定理（b）（c）(Energymethods)1dddd2iiiiiiVFFFF上式中左边第一项相对于其他各项是高阶微分项，所以可以略去不计。由于diF的任意性，便可得到：iiVF(Energymethods)(1)卡氏第二定理只适用于线性弹性体说明(2)Fi为广义力i为相应的位移一个力一个力偶一对力一对力偶一个线位移一个角位移相对线位移相对角位移iiVδF(Energymethods)(3)卡氏第二定理的应用轴向拉、压扭转2NNN()d()()d2iiiiVFxxFxFxδxFFEAEAF2pp()d()()d2iiiiVTxxTxTxδxFFGIGIF弯曲2()d()()d2iiiiVMxxMxMxδxFFEIEIF(Energymethods)平面桁架NN1njjjijiiFlFVδFEAF组合变形iiVδF]2)d(2)d(2)d([2p22NllliEIxxMGIxxTEAxxFFxFxMEIxMxFxTGIxTxFxFEAxFiiid)()(d)()(d)()(pNN(Energymethods)例题14外伸梁受力如图所示，已知弹性模量EI.梁材料为线弹性体.求梁C截面的挠度和A截面的转角.FABCMelaRA(Energymethods)AB：BC：e1e11)()(MxlFalMxM111)(xlaFxM1)(1e11lxMxM222)(FxxM0)(e22MxM222)(xF