第十二章动量矩定理.

第十二章动量矩定理2012.4.19引言运动的物理量力对质点系的作用动量动量矩动能主矢主矩功动量定理动量矩定理动能定理质点系的动量质点的动量引言引言引言引言引言引言1动量矩的概念2动量矩定理主要内容：3刚体定轴转动微分方程5质点系相对于质心的动量矩定理6平面运动微分方程引言4刚体对轴的转动惯量1．回忆力矩一、动量矩的概念力对轴之矩力对点之矩2．质点的动量矩对点O的动量矩是代数量，从z轴正向看，逆时针为正，顺时针为负。对z轴的动量矩单位：kg·m2/s对点和轴的动量矩的关系一、动量矩的概念3．质点系的动量矩对点的动量矩对轴的动量矩1）刚体平移。可将全部质量集中于质心，作为一个质点来计算。一、动量矩的概念2）刚体绕定轴转动转动惯量3．质点系的动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。一、动量矩的概念一、动量矩的概念已知：已知：注意：设O为定点，有因此质点的动量矩定理：质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。二、动量矩定理1.质点的动量矩定理投影式：二、动量矩定理因此质点系的动量矩定理：质点系对某定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。由于二、动量矩定理2.质点系的动量矩定理投影式：二、动量矩定理动量矩定理注意：1）上述动量矩定理只适用于固定点或固定轴；2）内力不改变质点系对定点或定轴的动量矩；3）计算动量矩和力矩时符号规定应一致；若，则常矢量；若，则常量。3.动量矩守恒定律二、动量矩定理3.动量矩守恒定律二、动量矩定理行星运动的开普勒定律（第二定律）：行星对太阳的矢径在相等时间内扫过的面积相等。恒矢量例1已知：小车，不计摩擦。求小车的加速度a。解：由，，得据动量矩定理以整体为研究对象二、动量矩定理例2：已知，，，，，，不计摩擦。求（1）（2）O处约束力（3）绳索张力，二、动量矩定理由，得解：以系统为研究对象（1）二、动量矩定理二、动量矩定理（2）由质心运动定理（3）研究（4）研究二、动量矩定理求：剪断绳后，角时的。例3：两小球质量皆为，初始角速度。二、动量矩定理时，时，由，得解：据动量矩守恒定理二、动量矩定理花样滑冰，街舞……主动力：约束力：即：或或三、刚体定轴转动微分方程三、刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程规律：1）外力矩越大，转动角速度越大；2）力矩相同，刚体转动惯量越大，转动角加速度越小，刚体的状态越难改变；转动惯量是刚体转动惯性的度量。例4：已知：，求。解：三、刚体定轴转动微分方程摆动的周期。例5物理摆（复摆），已知，求微小三、刚体定轴转动微分方程sindd22mgatJO解：微小摆动时，即：通解为称角振幅，称初相位，由初始条件确定。周期三、刚体定轴转动微分方程单位：kg·m21.简单形状物体的转动惯量计算（1）均质细直杆对一端的转动惯量由，得四、刚体对轴的转动惯量转动惯量（2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量（3）均质圆板对中心轴的转动惯量式中：或四、刚体对轴的转动惯量2.回转半径（惯性半径）或3.平行轴定理式中zc轴为过质心且与z轴平行的轴，d为z轴与zc轴之间的距离。刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。四、刚体对轴的转动惯量有，得01ymi四、刚体对轴的转动惯量iiimdymdyxm2121212)(01iiCmymy证明：因为2mdJJzCz要求记住三个转动惯量（1）均质圆盘对盘心轴的转动惯量（2）均质细直杆对一端的转动惯量（3）均质细直杆对中心轴的转动惯量4．组合法四、刚体对轴的转动惯量求：。四、刚体对轴的转动惯量盘杆OOOJJJ解：ld例5：已知杆长为质量为，圆盘半径为质量为。1m2mOJ例：求对轴的转动惯量。5．实验法将曲柄悬挂在轴O上，作微幅摆动。由解：四、刚体对轴的转动惯量6．查表法五、质点系对于质心的动量矩定理1．质点系对于质心的动量矩iiiiiCCvmrvmML由于irCivvv0mrmriiC（因）有iriiCvmrLiriiCiiCvmrvmrL得0Ciivmr其中质点系相对质心的动量矩，无论是以相对速度或以绝对速度计算其结果相同。五、质点系对于质心的动量矩定理例6：某均质圆盘，其质量为m，半径为R，沿地面纯滚动，角速度为ω，求圆盘对图中C点的动量矩。CP45A五、质点系对于质心的动量矩定理iiCvmrriiiiiCvmrvmrCiiiCiiLvmrvmvm,CCCOLvmrLCCOLvmM对任一点O的动量矩：iiiOvmrL质点系对任一点O的动量矩，等于质点系随质心平移时对O点的动量矩，加上质点系相对于质心的动量矩。2．质点系对于任一点的动量矩五、质点系对于质心的动量矩定理例6：某均质圆盘，其质量为m，半径为R，沿地面纯滚动，角速度为ω，求圆盘对图中C点的动量矩。CP45ACCPLRmvL2221mRRm223mRCCALRmvL22222122mRRm2212mRCv五、质点系对于质心的动量矩定理eiiCCCOFrLvmrttLdddd3.相对质心的动量矩定理eiieiCFrFr'0dd,ddCCCCvmtrvtr由于tLvmtrvmtrCCCCCdddddd即eiCCCFrvmtrddeiCFreiiCFrdtLd'eiCCFMdtLd五、质点系对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理：质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。eiCCFMdtLdOA分析：某机构在竖直面内运动，若圆盘均质，忽略摩擦，在自重作用下圆盘如何运动？五、质点系对于质心的动量矩定理四肢开合论（19世纪末法国的古龙）转尾巴论（前苏联的洛强斯基与路易耶）绕双轴转动论（上世纪60年代流传）弯腰论（美国斯坦福大学教授凯恩）六、刚体的平面运动微分方程)(eCCeCFMJFam)(dddd2222eCCeCFMtJFtrm或平面图形在固定平面内运动，取平移坐标系Cxy，刚体的平面运动可分解为跟随质心的平动和相对质心的转动，应用质心运动定理和相对质心的动量矩定理。刚体的平面运动微分方程：六、刚体的平面运动微分方程)(eCCeyCyexCxFMJFmaFma以上各组均称为刚体平面运动微分方程。)(eCCennCettCFMJFmaFma应用时一般用投影式：六、刚体的平面运动微分方程例7：半径为r，质量为m的均质圆轮沿水平直线滚动，如图所示。设轮的惯性半径为，作用于轮的力偶矩为M。求轮心的加速度。如果圆轮对地面的滑动摩擦因数为f，问力偶M必须符合什么条件不致使圆轮滑动?C六、刚体的平面运动微分方程解：FrMmmgFmaFmaCNCyCx2其中raaaaCCCxCy,,0得mgFmaFrrFMrmMraNCCCC,,,2222纯滚动的条件：NsFfF即rrmgfMCs22总结一．基本概念1．动量矩：物体某瞬时机械运动强弱的一种度量。2．质点的动量矩：3．质点系的动量矩：4．转动惯量：物体转动时惯性的度量。vmrvmMO)(iiiOvmrL对于均匀直杆，细圆环，薄圆盘（圆柱）对过质心垂直于质量对称平面的转轴的转动惯量要熟记。5．刚体动量矩计算平动：定轴转动：)(,CzzCCOvmmLvmrLzzJL总结二．动量矩定理)()()()](M[FMvmMdtdFMvmdtdzzOO或2.质点系的动量矩定理)()()()()()(MezezzeOeOOMFMdtdLMFdtLd或3.动量矩守恒若，则常矢量若，则常量0)(eOM0)(ezMOLzL1.质点的动量矩定理总结三．刚体定轴转动微分方程或四．质点系对于质心的动量矩定理1．质点系对于质心的动量矩CCCOLvmrL2．质点系对于任一点的动量矩iriiCvmrL3．质点系对于任一点的动量矩定理eiCCFMdtLd总结五．刚体的平面运动微分方程)(eCCeyCyexCxFMJFmaFma