行列式的计算方法(吴礼斌)

线性代数版权所有，安徽财经大学统计与应用数学学院吴礼斌，139552360461计算行列式的若干基本方法计算行列式并无固定的方法．其实，同一个行列式可以有多种不同的方法进行计算．因此，除了掌握好行列式的基本性质外，针对行列式的结构特点，选取恰当的方法，才能较快地计算行列式．这里我们将介绍一些常用的方法．1.化为已经熟悉的行列式来计算我们已经知道上（下）三角行列式、范德蒙行列式以及形如0*AB，*0AB的行列式的结果．如果利用行列式的性质可把给定的行列式化为以上这些形式，则不难求出所给行列式的值．例1计算行列式1123133795204213571464410102D．解这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算．1260000010002010014020132112220035120140202010013211432315141312rrrrrrrrD例2计算n阶行列式1231231231231111nnnnaaaaaaaaDaaaaaaaa．解这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的线性代数版权所有，安徽财经大学统计与应用数学学院吴礼斌，139552360462结构相似，因此n列之和全同．将第2，3，…，n列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1．12231223122312232323231231112,,2,,11111111111111111nnnnnnnnnnnininniiiiininaaaaaaaaaaaaDaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa2311010000100001111.nnniiiiaaaaa例3计算1n阶行列式122111111111122122222222122111111111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaabababbaabababbDaabababb．其中1210naaa．解这个行列式的每一行元素的形状都是nkkiiab，k0，1，2，…，n．即ia按降幂排列，ib按升幂排列，且次数之和都是n，又因0ia，若在第i行（i1，2，…，n）提出公因子nia，则D可化为一个转置的范德蒙行列式，即线性代数版权所有，安徽财经大学统计与应用数学学院吴礼斌，139552360463211111122221212222111111111111111.nnnnnnnnnnnnnnjniiijinijijijjinbbbaaabbbDaaaaaabbbaaabbaaabaab≤≤≤≤2.降阶法当一个行列式的某一行（列）的元素有比较多0时，利用行列式的依行（列）展开定理将它化为较低阶的行列式来计算．例4计算n（n≥2）阶行列式0001000000001000aaDaa．解按第一行展开，得100000000000010000001000naaaaDaaa．再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到1112222111nnnnnnnDaaaaaa．线性代数版权所有，安徽财经大学统计与应用数学学院吴礼斌，1395523604643.拆项法拆项法是将给定的行列式的某一行（列）的元素都写成同样多的和，然后利用性质6将它表成一些比较容易计算的行列式的和．例5计算n（n≥2）阶行列式111212122212121212nnnnnnnxyxynxyxyxynxyDxyxynxy．解将nD按第一列拆成两个行列式的和，即1211112122221222212122122122nnnnnnnnnnnnxynxyxyxynxyxynxyxyxynxyDxynxyxyxynxy．再将上式等号右端的第一个行列式第i列（2i，3，…，n）减去第一列的i倍；第二个行列式提出第一列的公因子1y，则可得到12111212222222122111222211212121212.12nnnnnnnnnnnnnnnnxyxyxxynxyxyxyxxynxyDyxyxyxxynxyxxxnxxxnyyyxxxn当n≥3时，0nD．当2n时，221212Dxxyy．例6计算n阶行列式线性代数版权所有，安徽财经大学统计与应用数学学院吴礼斌，139552360465nxaaaaxaaDaaxaaaax，（0a）．解将第一行的元素都表成两项的和，使nD变成两个行列式的和，即000000.nxaaaaaaxaaDaaxaaaaxxaaaaaaxaaaxaaaaxaaaxaaaaxaaax将等号右端的第一个行列式按第一行展开，得：1000nxaaxaaxaDaaxaaaax．这里1nD是一个与nD有相同结构的1n阶行列式；将第二个行列式的第一行加到其余各行，得：1022002000.naaaaaaaaaxaaxaaaaaxaxaaaaaxxaaxa于是有线性代数版权所有，安徽财经大学统计与应用数学学院吴礼斌，13955236046611nnnDxaDaxa（1）另一方面，如果将nD的第一行元素用另一方式表成两项之和：000xaaaaa仿上可得：11nnnDxaDaxa（2）将（1）式两边乘以xa，（2）式两边乘以xa，然后相减以消去1nD，得：2nnnxaxaD．4.加边法在给定的行列式中添上一行和一列，得加边行列式，建立新的行列式与原行列式的联系，以求得结果．例7计算n（n≥2）阶行列式1231111111111111111nnaaDaa，其中120naaa．解先将nD添上一行一列，变成下面的1n阶行列式：1121111011101110111nnaDaa．显然，1nnDD．将1nD的第一行乘以1后加到其余各行，得线性代数版权所有，安徽财经大学统计与应用数学学院吴礼斌，13955236046711211111000110100nnaDaa．因0ia，将上面这个行列式第一列加第i（2i，…，1n）列的11ia倍，得：111221211211111111111000001000001000000000110011niinnniinnniiaaaaaaaaaaaaaaa，故12111nnniiDaaaa．5.递推法递推法是根据行列式的构造特点，利用行列式的性质，将给定的行列式表成若干个具有相同形状以及一些容易计算的，但阶数较低的行列式之和，然后利用这种关系式计算原行列式的值，最后再用数学归纳法证明所得到的结果正确．这是一种颇常使用的方法，在计算范德蒙行列式时已建立过递推关系式，例6也利用了递推关系式．使用递推法计算行列式，一般分三个步骤，首先找出递推关系式，然后算出结果，最后用数学归纳法证明结果正确．例8计算n阶行列式线性代数版权所有，安徽财经大学统计与应用数学学院吴礼斌，13955236046812211000010000000001nnnnxxxDxaaaaax．解首先建立递推关系式．按第一列展开，得：1123211111100010000010010000000101000001000111nnnnnnnnnnnnxxxxDxaxxxaaaaaxxDaxDa，这里1nD与nD有相同的结构，但阶数是1n的行列式．现在，利用递推关系式计算结果．对此，只需反复进行代换，得：2212123211221221nnnnnnnnnnnnnnnnDxxDaaxDaxaxxDaaxaxDaxaxaxa，因111Dxaxa，故111nnnnnDxaxaxa．最后，用数学归纳法证明这样得到的结果是正确的．当1n时，显然成立．设对1n阶的情形结果正确，往证对n阶的情形也正确．由121121111nnnnnnnnnnnnDxDaxxaxaxaaxaxaxa，可知，对n阶的行列式结果也成立．根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立．线性代数版权所有，安徽财经大学统计与应用数学学院吴礼斌，139552360469例9证明n阶行列式2100001210001000121000012nDn．证明按第一列展开，得2100001000001210001210002000121000121000012000012nD．其中，等号右边的第一个行列式是与nD有相同结构但阶数为1n的行列式，记作1nD；第二个行列式，若将它按第一列展开就得到一个也与nD有相同结构但阶数为2n的行列式，记作2nD．这样，就有递推关系式：122nnnDDD．因为已将原行列式的结果给出，我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确的．当1n时，12D，结论正确．当2n时，221312D，结论正确．设对1kn≤的情形结论正确，往证kn时结论也正确．由122211nnnDDDnnn可知，对n阶行列式结果也成立．根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立．