行列式的计算方法

专题讲座五行列式的计算方法1.递推法例1求行列式的值：（1）的构造是：主对角线元全为；主对角线上方第一条次对角线的元全为，下方第一条次对角线的元全为1，其余元全为0；即为三对角线型。又右下角的（n）表示行列式为n阶。解把类似于，但为k阶的三对角线型行列式记为。把（1）的行列式按第一列展开，有两项，一项是另一项是上面的行列式再按第一行展开，得乘一个n–2阶行列式，这个n–2阶行列式和原行列式的构造相同，于是有递推关系：（2）移项，提取公因子β：类似地：（递推计算）直接计算若；否则，除以后移项：再一次用递推计算：∴，当β≠α（3）当β=α，从从而。由（3）式，若。∴注递推式（2）通常称为常系数齐次二阶线性差分方程.注1仿照例1的讨论，三对角线型的n阶行列式（3）和三对角线型行列式（4）有相同的递推关系式（5）（6）注意两个序列和的起始值相同，递推关系式（5）和（6）的构造也相同，故必有由（4）式，的每一行都能提出一个因子a，故等于乘一个n阶行列式，这一个行列式就是例1的。前面算出，故例2计算n阶范德蒙行列式行列式解:即n阶范德蒙行列式等于这n个数的所有可能的差的乘积2．拆元法例3：计算行列式解①×（x+a）②×（x–a）3．加边法例4计算行列式分析：这个行列式的特点是除对角线外,各列元素分别相同.根据这一特点,可采用加边法.解4．数学归结法例5计算行列式解：猜测：证明（1）n=1,2,3时，命题成立。假设n≤k–1时命题成立,考察n=k的情形：故命题对一切自然数n成立。5.消去法求三对角线型行列式的值例6求n阶三对角线型行列式的值：（1）的构造是：主对角线元全为2，主对角线上方第一条次对角线与下方第一条次对角线的元全为1，其余的元全为0。解用消去法，把中主对角线下方第一条次对角线的元1全部消成0：首先从第二行减去第一行的倍，于是第二行变为其次从第三行减去第二行（指新的第二行，以下同）的倍，则第三行变为再从第四行减去第三行的倍，则第四行变为类似地做下去，直到第n行减去第n–1行的倍，则第n行变为最后所得的行列式为（2）上面的行列式是三角型行列式，它的主对角线元顺次为93）又主对角线下方的元全为0。故的值等于（3）中各数的连乘积，即。注3一般的三对角线型行列式（4）也可以按上述消去法把次对角线元全部消去，得到一个三角型行列式，它的值等于该三角型行列式的主对角线元的连乘积。6乘以已知行列式例7求行列式的值：称为循环行列式，各行自左到右均由循环排列而得，并使主对角线元全为解设1的立方根为，即其中i是虚数单位，又右乘以行列式则（1）用，得故（1）的行列式的第一列可由提出公因子，提后的元顺次为，类似地，（1）的行列式的第二列和第三列可提出公因子和于是因互不相等，帮它们所构成的凡德蒙行列式的值不为零，可以从上式的左右两边约去，得。注4在n阶的一般情形，设1的n次方根为则得行列式的值为这里的是由构成的n阶循环行列式：7利用线性代数方程组的解例8求n阶行列式的值：（1）的构造是：第i行的元顺次为又第n行的元顺次为。解（1）的行列式与凡德蒙行列式（2）的比值可以看成线性代数方程组（3）的解。如能解出，乘以凡德蒙行列式（2），即是原行列式但方程组（3）又可以看成n次多项式方程（4）（t是未知数，看作系数）有n个根用根与系数的关系，即得∴8递推方程组方法例9求行列式的值：（1）是n阶行列式（在右下角用（n）表示），其结构是：主对角线元全为x；主对角线上方的元全为y,下方的元全为z。解从（1）的行列式的第一列减第二列，第二列减第三列，…，第n–1列减第n列，得（2）上面的行列式按第一行展开，有两项，一项是（x–y）乘一个n–1阶行列式，这个n–1阶行列式和（2）中的n阶行列式的构造相同，即上述展开的第一项可表示为；展开的另一项是故递推式（3）若z=y，则上式化为（4）类似地有又故可对（4）式递推计算如下：上面得到原行列式当z=y时的值。下面讨论z≠y的情形。把（1）的行列式的y与z对调，这相当于原行列式的行与列互换，这样的做法，行列式的值不变。于是y和z对调后，的值不变，这时（3）式变为（5）从（3）与（5）（递推方程组）消去，即（3）式乘以（x–z），（5）乘以（x–y），相减得∴注5当z=y时，行列式也可以用极限计算：又行列式当z=y时可以用余式定理来做。