行列式的计算方法

行列式的计算方法摘要：行列式是一种常用的数学工具，是线性代数理论中极其重要的组成部分，是高等数学的一个基本的概念。行列式产生于解线性方程组中，并且也是最早应用于解线性方程组中，在数学及其他学科中都有广泛的应用。行列式也为解决实际问题带来了许多方便。本文针对行列式的计算方法这一问题进行了深入研究，在利用行列式的定义及基本性质计算行列式的基础上提出了一些更加简便的方法，如三角形法、利用范德蒙行列式、利用数学归纳法、利用递推公式、降阶法、升阶法、拆开法、利用方阵特征值与行列式的关系、析因法，并结合相应的例题进行更深入的分析。关键词：行列式；三角形法；范德蒙行列式；数学归纳法；递推公式；降阶法；升阶法；拆开法；析因法ThecalculationmethodofdeterminantAbstract:Determinantisakindofcommonmathematicaltool,islinearalgebratheoryextremelyimportantpartofhighermathematicsisoneofthebasicconcepts.Determinantproducedinsolutionsystemoflinearequations,andisalsotheearliestappliedtosolutionsystemoflinearequations,inmathematicsandothersubjectshaveawiderangeofapplication.Determinantforsolvingactualproblemsbringalotofconvenience.Inthispaperthecalculationmethodofdeterminantthisproblemisstudied,theuseofdeterminantdefinitionandbasicpropertiesofdeterminantcalculationareputforwardonthebasisofsomemoresimplemethods,suchastrianglemethod,usingvandermondedeterminant,usingmathematicalinduction,usingrecursionformula,reducedordermethod,ascendingordermethod,apartmethod,usingsquarematrixeigenvaluesandtherelationshipbetweenthedeterminant,factorialmethod，andcombinedwiththecorrespondingexamplesfurtheranalysis.Keywords:Determinant;Triangularmethod;Vandermondedeterminant;Mathematicalinduction,Recursionformula;Theorderreductionmethod;Riseoforder;Apartmethod;Factorialmethod1引言行列式是线性代数中重要的一部分，有着极其重要的地位。行列式问题在诸多数学问题中都有所涉及，而行列式的计算往往是解决问题的关键。它的应用范围极其广泛，可作为很多学科解决问题的重要工具。国际上一些知名的数学家如:拉普拉斯(laplace),范得蒙(vandermonde)等都对行列式有着深入的研究,并为行列式的计算奠定了理论基础。行列式的解题方法灵活多样，技巧性强，本文就行列式的计算方法进行归纳总结以及举例分析说明。2研究问题及成果2.1利用行列式的定义直接计算2.1.1二阶行列式的定义1112112212212122aaaaaaaa例1：D=|2468|=2×8-4×6=-82.1.2三阶行列式的定义111213212223112233122331132132132231313233122133112332.aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa例2：|014121110|=0×2×0+1×1×4+1×1×1-1×2×4-1×1×0-1×1×0=-32.1.3n阶行列式的定义121212111212122212121nnnnjjjnnjjnjjjjnnnnaaaaaaDaaaaaa也就是说n阶行列式等于所有取自不同行不同列的几个元素的乘积的代数和。这里是1,2…n的一个排列，当是偶排列时，式取正号，当是奇排列时nnnnnnaaaaaaaaa.....................212222111211(*)...2121njnjjaaanjjj...21njjj...21(*)njjj...21(*)式取负号。定义法是计算行列式的根本方法，对任何行列式都适用，即n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和。对于一个n级行列式,按定义展开后共有n！项,计算它就需要做n！（n-1）个乘法,当n较大时,n！是一个相当大的数字,直接从定义来计算行列式几乎是不可能的,因此,定义法一般适用于阶数较低的行列式。例3：计算行列式00010020.03002000d解：这是一个四阶行列式,展开式应有4！=24项,但由于出现很多零元素,所以不为零的项只有14233241aaaa这一项,而(4321)6,故123212d。2.2利用行列式的性质计算性质1.行列互换，行列式的值不变，即DT=Dnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa212221212111212222111211性质2.交换行列式中两行对应元素的位置，行列式变号。推论：若一个行列式中有两行的对应元素相同，则这个行列式的值为零。性质3.把行列式中某一行的所有元素同乘以数k，等于用数k乘以这个行列式。nnnniniinnnnniniinaaaaaaaaakaaakakakaaaa212111211212111211推论1.行列式某一行有公因子时，可以把这个公因子提到行列式的符号外面。推论2.如果行列式某两行的对应元素成比例，则这个行列式为零。性质4.如果行列式第i行的各元素都是两元素的和，则这个行列式等于两个行列式之和，这两个行列式分别以这两个元素作为第i行对应位置的元素，其他位置的元素与原行列式相同（i=1,2，……n）。nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaacccaaaaaabbbaaaaaacbcbcbaaa212111211212111221221111211性质5.行列式某一行的各元素加上另一行对应元素的k倍，行列式的值不变。性质6.n阶行列式D=|aij|n等于它的任一行的各元素与它们对应的代数余子式的乘积之和，即：D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin，i=1,2，…n.推论：若行列式某一行元素都等于1，则行列式等于其所有代数余子式之和。2.3化三角形法化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。上三角行列式D=|a11a120a22…a1n…a2n⋮⋮00⋮…a44|=a11a22…ann下三角行列式D=|a110a21a22…0…0⋮⋮an1an2⋮…a44|=a11a22…ann例1:计算n阶行列式abbbbabbDbbabbbba解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)anbbbbanbabbDanbbabanbbba11[(1)]11bbbabbanbbabbba1000[(1)]000000bbbabanbabab1[(1)]()nanbab例2:计算行列式1123133795204213571464410102D．解:这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算．231321431541234211231112311-12-3100102020410204-1020410010200-10-20215302153001-1200222002220022-2D43523524112311123103041020411211612.001020010200010000100002600006例3：计算12312341345121221nnnnDnnn分析：若直接化为三角形行列式，计算很繁琐，所以我们要充分利用行列式的性质。注意到从第1列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以－1加到第n列，第n-2列乘以－1加到第n-1列，一直到第一列乘以－1加到第2列。然后把第1行乘以－1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。解：11(2,,)(2,,)1111111111121111100031111200011111000100000010000020011(1)200020000001001(1)()2iinninrrinrrnnnDnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn(1)(2)12(1)12(1)(1)12nnnnnnn2.4利用范德蒙行列式1222212111112111()nnijnijnnnnxxxDxxxxxxxx，n≥2.例：计算行列式1222211221212121122111111nnnnnnnnnnnxxxDxxxxxxxxxxxx解:把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n行，便得范德蒙行列式1222212111112111()nnijnijnnnnxxxDxxxxxxxx2.5利用数学归纳法一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。因为给定一个行列式，要猜想其值是比较难的，所以是先给定其值，然后再去证明。例：计算n阶行列式1221100001000001nnnnxxDxaaaaax解：用数学归纳法.当n=2时212211()xDxxaaaxa212xaxa假设n=k时，有12121kkkkkkDxaxaxaxa则当n=k+1时，把Dk+1按第一列展开，得11kkkDxDa1111()kkkkkxxaxaxaa12111kkkkkxaxaxaxa由此，对任意的正整数n，有12121nnnnnnDxaxaxaxa2.6利用递推公式对n阶行列式Dn找出Dn与Dn－1或Dn与Dn－1,Dn－2之间的一种关系即递推公式（其中Dn,Dn－1,Dn－2等结构相同），再由递推公式求出Dn的方法。用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结