行列式的计算方法

行列式的计算方法行列式的计算是高等代数中的难点、重点，特别是高阶行列式的计算，学生在学习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握计算高阶行列式的方法很多，但具体到一个题，要针对其特征，选取适当的方法求解。方法1定义法利用n阶行列式的定义计算行列式,此法适用于0比较多的行列式。00020000001999002000000001例1求下列行列式的值解利用n阶行列式的定义,可直接计算其值Ｄ＝２０００！方法2化三角形法化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法之一。例2计算行列式42031285251873121D解首先给第1行分别乘-7,-5,-3,分别加到第2,3,4行上,再交换第2,3两行的位置;给第二行分别乘以2,-3后,分别加到第3,4行上;最后给第3行乘1加到第4行即可。121304219023140615D121302314042190611512130231400847008371601000047800143203121方法3拆行（列）法由行列式拆项性质，将已知行列式拆成若干个行列式之和，计算其值，再得原行列式值，此法称为拆行（列）法。例3求解行列式解按第一列拆开,再提公因子得33()xyzabyzxzxyD=再把第１个行列式按第３列展开，第２个行列式按第２列展开．最终得bzaybyaxbxazbyaxbxazbzaybxazbzaybyaxDbzaybyaxxbyaxbxazzbxazbzayybbzaybyaxzbyaxbxazybxazbzayxaD方法4降阶法利用行列式按行按列展开定理将高阶行列式转化为较低阶行列式求解的方法叫做降阶法.它可以分为直接降阶法和递推降阶法直接降阶法用于只需经少量几次降阶就可求得行列式值的情况。递推降阶法用于需经多次降阶才能求解，并且较低阶行列式与原行列式有相同结构的情况。例4求解下列行列式：（1）解利用按行按列展开定理把原行列式按第1列展开降阶后的两个低阶行列式都是三角形行列式,故原行列式的值为1(1)nnnnDxyxyyxyxyxDn000000000000yxyxyyxyxyxxDnn0000000)1(0000000112211000010000000001nnnnxxxDxaaaaax（2）解把原行列式按第1列展开得112211001000000100(1)000001001nnnnnxxxDxaxxaaaaxx降阶后的行列式,第1个行列式与原行列式的结构相同,此行列式用Ｄn-1表示,而后一个行列式是三角形行列式,则上式可表示为1nnnDaxD①将代入中得112nnnDaxD111nnnnnDaaxaxx2121221xxaaxaaxD把Dn-1按同样的方法展开得依次下去，得把代入中得221nnnnDxxaaD②②①22221DxDxxaaDnnnnn而③④④③方法5升阶法（加边法）有时为了计算行列式，特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的方法称为加边法或升阶法。加边法最大的特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后,就可利用行列式的性质把绝大多数元素化为0,这样就达到简化计算的效果例求行列式的值2112122122212111nnnnnnxxxxxxxxxxDxxxxx解行列式第1列有共同元素1x,第2列有共同元素,…,第n列有2x共同元素nx.根据这些特点给原行列式加边得1221121221222121010101nnnnnnnxxxxxxxxDxxxxxxxxxx给加边后的行列式的第1行乘ix加到第i行上(i=1,2,…,n)得2221212121211100010001000100010001nnnnnxxxxxxxxxxDxx=222121nxxx=niix121今天给同学们介绍的是计算行列式最常用的几种方法，行列式类型有很多，在具体的求解过程中要根据行列式本身的结构特点选取恰当的方法。