行列式的计算方法和解析论文

1行列式的计算方法与解析重庆师范大学涉外商贸学院数学与应用数学2007级刘娟指导教师：孙晓梅中文摘要：高等代数是大学数学系的一门基础课，而行列式又是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，因此懂得如何计算行列式显得尤为重要。本文将行列式的计算方法进行归纳总结，共论述了13种方法，并通过一些典型的例题介绍计算行列式的一些技巧。关键词：行列式计算方法范德蒙行列式解析Abstract:Determinantofhigheralgebraisoneofthebasicandimportantcurriculumcontent,inmathematicshasbeenwidelyused,soitisveryimportantforustoknowhowtocalculatethedeterminant.Thismethodofcalculatingthedeterminantissummarized,atotalof13kindsofmethodsarediscussedandsometypicalexamplesintroducedbycalculatingthedeterminantofcertainskills.KeyWords:determinantcalculationskillVanderMongoliadeterminantanalysis一、前言行列式的计算，高等代数中重要内容之一，最常用的是利用行列式的性质和展开定理，需要熟练的掌握，根据其具体特点采用不同的计算方法，本文对行列式的解题方法进行了总结归纳。将一个行列式化为三角形行列式，是行列式计算的一个基本思想，也是化三角形法的思想精髓。行列式的另一特征便是它的递归性，即一个行列式可以用比它低阶的一系列行列式表示，于是对行列式降阶从而揭示其内部规律也是我们的一个基本想法，即递推法。这两种方法也经常一起使用。而其它方法如：提取公因式法、利用拉普拉斯（Laplace）定理法、利用范德蒙（Vandermonde）行列式法、利用乘法定理法、裂项法、升阶法、公式法、规律缺损补足法、特征根法、数学归纳法、利用行列式乘法规则等可以看成是它们衍生出的具体方法。二、方法解析21、化三角形法此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式表示为一个非零数与一个三角形行列式之积，所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式。三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的N阶三角形行列式等于次对角线上元素之积且带符号。例1计算N阶行列式abbbabbbaDn解abbabbbnaDn1111bababbbna00001111nanbab2、利用递推关系法所谓利用递推关系法，就是先建立同类型n阶与n-1阶（或更低阶）行列式之间的关系——递推关系式，再利用递推关系求出原行列式的值。例2计算n阶行列式nabbcabccaD，其中0,bccb解将nD的第一列视为（a-c）+c,0+c,……,0+c,据行列式的性质，得0000naccbbacbbcbbcababcabccacaccaD11nnnaccabDD(1)由b与c的对称性，不难得到11nnnabbacDD(2)3联立（1），(2）解之，得1nnnbcbcacabD例3计算n阶行列式00010001000000000nababababababababD解将nD按第一行展开，得110000000001nnabababababababDD于是得到一个递推关系式12nnnababDDD，变形得112nnnnbabDDDD，易知2312334nnnnnnbbbDDDDDDaa22212nnnbabbababDDaaa所以1nnnbDDa，据此关系式再递推，有11222nnnnnnnbbbbaaaaDDD1122111nnnnnnnnbbaaaabbaabbD如果我们将nD的第一列元素看作a+b,1+0,……0+0,按第一列拆成两个行列式的和，那么可直接得到递推关系式1nnnbDDa，同样可nD的值。3、提取公因式法若行列式满足下列条件之一，则可以用此法：（1）有一行（列）元素相同，称为“aaa,,,型”；（2）有两行（列）的对应元素之和或差相等，称为“邻和型”；（3）各行（列）元素之和相等，称为“全和型”。满足条件（1）的行列式可直接提取公因式a变为“1，1，…，1型”，于是应用按行（列）展开定理，4使行列式降一阶。满足（2）和（3）的行列式都可以根据行列式的性质变为满足条件（1）的行列式，间接使用提取公因式法。例4计算N阶行列式121212nnnnxxxDaaaaaaaaa解该行列式各行元素之和都等于x+niia1，属于“全和型”，所以2212111nnnniinxxxDaaaaaaa2100001nniixxxaaaniinaxx114、利用拉普拉斯（Laplace）定理法首先，让我们先来看看拉普拉斯定理的内容：在n阶行列式D=拉普拉斯定理，在计算行列式时，主要应用k=1的情形，而很少用一般形式，不过当行列式里零元素很多时，运用一般情形的拉普拉斯定理，往往会给行列式的计算带来方便。例5计算2n阶行列式2nababnbabaD5解1212211nnnabababnbababaD212112121nnababnbabaabba122nnabababbaba5、利用范德蒙（Vandermonde）行列式法著名的范德蒙行列式，在线性代数中占有重要地位，研究它的应用引起了一些数学家的兴趣，因此在计算行列式时，可直接用其结果。例6计算n阶行列式112222212111121111111111211112nnnnnnnnnnDxxxxxxxxxxxxxxxxxx分析：由题目观察知，行列式除第一行外每一行具有相同的形式，第一行可视为1,,1,12211xxxxxxnn，再由行列式的性质，将其化为两个行列式的和，再来计算。解原不等式可化为：1211221111211111112nnnnnnnnnDxxxxxxxxxxxxxxx61121111111112111221121xxxxxxxxxxxxxxxnnnnnnnn把第一个行列式从第一行起依次将i行加到i+1行；第二个行列式的第i列提取1xi（i=1，2，3……n），得122221212nnnnnnnDxxxxxxxxx1121111111111211122111xxxxxxxxxxxxxnnnnnnniinnijjiniiniixxxx11116、利用乘法定理法在计算行列式时，有时可以用乘法定理，将给定的行列式表为两个容易计算的或已知的行列式的乘积，从而求出给定行列式的值；有时不直接计算给定的行列式，而是选一个适当的与给定行列式同阶的行列式，计算两行列式的乘积，由此求出给定行列式的值，这样也可使问题简单。例7计算n阶行列式111212122212111111111nnnnnnnababababababDababab解1122111100100000100000nnnbbbDaaa所以，当n2时，0nD；当n=2时，22121aabbD；7当n=1时，1111abD7、裂项法此法多用于将行列式某一行或某一列拆分后，行列式具有某种特殊算法例8计算nD=xxxn.....................21解：nD=.....................21xx+xxxn..................0...0...21=1()nnDx+...............0...00...21xx=1()nnDx+)(11niix（1）同理nD=111()()nnnjiDxx（2）若，由（1），（2）组成的方程组解得111[()()]nnniiiiDxx若，利用（1）递推得到：1211()[()]nnninjiijjixxDx8、升阶法在计算行列式时，我们往往先利用行列式的性质变换给定的行列式，再用展开定理使之降阶，从而使问题得到简化。有时与此相反，即在原行列式的基础上8添行加列使其升阶构造一个容易计算的新行列式，进而求出原行列式的值。这种计算行列式的方法称为升阶法。凡可利用升阶法计算的行列式具有的特点是：除主对角线上的元素外，其余的元素都相同，或任两行（列）对应元素成比例。升阶时，新行（列）由哪些元素组成？添加在哪个位置？这要根据原行列式的特点作出选择。例9计算n阶行列式2121221221212nnnnnncccaaaaaaaaaaDaaaaa，其中0c分析：观察行列式可知，除主对角线外，行列式的其它元素形式都相同，于是想到用升阶法，对原行列式添加一行一列，运用行列式的性质再来求解。解1221212212212121000nnnnnnncccDaaaaaaaaaaaaaaaaaa12121000000nncccaaaaaa将最后一个行列式的第j列的acj11倍加到第一列（j=2,3……,n+1），就可以变为上三角形行列式，其主对角线上的元素为ccciniac,,,,1121故211nnnniiDcca例10计算n阶行列式22222212121212111nnnnnnnnnnnDxxxxxxxxxxxx解原行列式看似范德蒙行列式，但并不是，为了利用范德蒙行列式的结果，可以令922222222111121212112121111nnnnnnnnnnnnnnnnnnyyyxyyxxxxxxxxxxxxxDx按第n+1列展开，则得到一个关于y的多项式，yn1的系数为11nnnnDD，另外，111nnijijiniyxxxD显然，1nD中yn1的系数为xxxxxnnijji211，所以11nniijijinDxxx9、公式法根据分块矩阵的知识，不难证明如下结论：（1）设A为n阶可逆矩阵,,为n维列向量，则有''11AAA（2）设A为n阶可逆矩阵,,为n维列向量，则有'1AAA（3）设A，B，C，D都是n阶方阵，且A可逆，则有1ABADCBCDA有些行列式可应用上述结论计算，用上述结论计算行列式的方法，我们称为公式法例11计算n阶行列式123111000022000002000011nnnnnnD10解令A='1000022000210330030,,00020000011nnnn则由结论（2），得'1'11nAAAD