第十八届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试2007年4月15上午8:30至10:30得分________一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分),以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内.1.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志,人们将红丝带剪成小段,并用别针将折叠好的红丝带别在胸前,如图?所示,红丝带重叠部分形成的图形是().(A)正方形(B)矩形(C)菱形(D)梯形2.设a,b,c是不为零的实数,那么x=||||||abcabc的值有()(A)3种(B)4种(C)5种(D)6种3.△ABC的边长分别是a=m2-1,b=m2+1,c=2m(m0),则△ABC是()(A)等边三角形(B)钝角三角形(C)直角三角形(D)锐角三角形4.古人用天干和地支记次序,其中天干有10个:甲乙丙丁戊己庚辛壬癸.地支有12个:子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥,将天干的10个汉字和地支的12个汉字对应排列成如下两行:甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁……子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……从左向右数,第1列是甲子,第2列是乙丑,第3列是丙寅……,我国的农历纪年就是按这个顺序得来的,如公历2007年是农历丁亥年,那么从今年往后,农历纪年来甲亥年的哪一个在公历中()(A)是2019年(B)是2031年(C)是2043年(D)没有对应的年号5.实数a,b,m,n满足ab,-1nm,若M=,11ambanbNmn,则M与N的大小关系是()(A)MN(B)M=N(C)MN(D)无法确定的6.若干个正方形和等腰直角三角形拼接成如图所示的图形,若最大的正方形的边长是7cm,则正方形A,B,C,D的面积和是()(A)14cm2(B)42cm2(C)49cm2(D)64cm2.已知关于x的不等式组230,320axax恰有3个整数解,则a的取值范围是()(A)23≤a≤32(B)43≤a≤32(C)43a≤32(D)43≤a328.Thenumberofintersectionpointofthegrathsoffunctiony=||kxandfunctiony=kx(k≠0)is()(A)0(B)1(C)2(D)0or29.某医药研究所开发一种新药,成年人按规定的剂量服用,服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系近似满足如图3所示曲线,当每毫升血液中的含药量不少于0.25毫克时,治疗有效,则服药一次治疗疾病有效的时间为()(A)16小时(B)1578小时(C)151516小时(D)17小时10.某公司组织员工到公园划船,报名人数不足50人,在安排乘船时发现,每只船坐6人,就剩下18人无船可乘,每只船坐10人,那么其余的船坐满后,仅有一只船不空也不满.参加划船的员工共有()(A)48人(B)45人(C)44人(D)42人二、填空题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)11.已知a,b,c为△ABC三边的长,则化简│a+b+c│+2()abc的结果是________.12.自从扫描隧道显微镜发明后,世界上便诞生了一门新科学,这就是“纳米技术”.已知1毫米=1000微米,1微米=1000纳米,那么2007纳米的长度用科学记数法表示为_________米.13.若不等式组21,23xaxb中的未知数x的取值范围是-1x1,那么(a+1)(b-1)的值等于_______.14.已知a1,a2,a3,…,a2007是彼此互不相等的负数,且M=(a1+a2+…+a2007)(a2+a3+…+a2007),N=(a1+a2+…+a2007)(a2+a3+…+a2007),那么与N的大小关系是M______N.15.abcd叫做二阶行列式,它的算法是:ad-bc,将四个数2,3,4,5排成不同的二阶行列式.则不同的计算结果有______个,其中,数值最大的是________.16.如图,一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬,木板底端距离墙角0.7米.当小猫从木板底端爬到顶端时,木板底端向左滑动了1.3米,木板顶端向下滑动了0.9米,则小猫在木板上爬动了_________米.17.XiaoMingsaystoXiaoHuathatmyageaddyuorage.addyouragewhenIwasyouraggis48.TheageofXiaoHuais______now.(英汉词典:age年龄;add加上;when当……时)18.长方体的长、宽、高分别为正整数a,b,c,且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006,那么这个长方体的体积为________.19.已知a为实数,且a+26与1a-26都是整数,则a的值是_________.20.为确保信息安全,信息传输需加密,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密).现规定英文26个字母的加密规则是:26个字母按顺序分别对应整数0到25,例如:英文a,b,c,d,写出它们的明文(对应整数0,1,2,3),然后将这4个字母对应的整数(分别为x1,x2,x3,x4)按x1+2x2,3x2,x3+2x4;3x4计算,得到密文,即a,b,c,d四个字母对应的密文分别是2,3,8,9.现在接收方收到的密文为35,42,23,12,则解密得到的英文单词为_________.三、解答题(本大题共3小题,共40分),要求:写出推算过程.21.(本题满分10分)如图,一个大的六角星形(粗实线)的顶点是周围六个全等的小六角星形(细实数)的中心,相邻的两个小六角星形各有一个公共顶点,如果小六角星形的顶点C到中心A的距离为a,求:(1)大六角星形的顶点A到其中心O的距离;(2)大六角星形的面积;(3)大六角星形的面积与六个小六角星形的面积之和的比值.(注:本题中的六角星形由12个相同的等边三角形拼接而成)..(本题满分15分)甲、乙两车分别从A地将一批物品运往B地,再返回A地,图6表示两车离A地的距离s(千米)随时间t(小时)变化的图象,已知乙车到达B地后以30千米/小时的速度返回,请根据图象中的数据回答:(1)甲车出发多长时间后被乙车追上?(2)甲车与乙车在距离A地多远处迎面相遇?(3)甲车从A地返回的速度多大时,才能比乙车先回到A地?23.(本题满分15分)平面上有若干个点,其中任意三点都不在同一直线上,将这些点分成三组,并按下面的规则用线段连接:①在同一组的任意两点间都没有线段连接;②不在同一组的任意两点间一定有线段连接.(1)若平面上恰好有9个点,且平均分成三组,那么平面上有多少条线段?(2)若平面上恰好有9个点,且点数分成2,3,4三组,那么平面上有多少条线段?(3)若平面上共有192条线段,那么平面上至少有多少个点?第十八届“希望杯”全国数学邀请赛参考答案及评分标准初二第2试一、选择题(每小题4分)1.C2.B3.C4.D5.A6.C7.B8.D9.C10.A二、填空题(每小题4分,第15小题,每个空2分,第19小题,答对一个答案2分)11.2c12.2.007×10-413.-614.15.6;1416.2.517.1618.88819.5-26或-5-2620.hope三、解答题21.(1)连结CO,易知△AOC是直角三角形,∠ACO=90°,∠AOC=30°,所以AO=2AC=2a.(3分)(2)如图,大六角星形的面积是等边△AMN面积的12倍.因为AM2=222()()22AMa,解得AM=233a.所以大六角星形的面积是S=12×12×233a×a=43a2.(7分)(3)小六角星形的顶点C到其中心A的距离为a,大六角星形的顶点A到其中心O的距离为2a,所以大六角星形的面积是一个小六角星形的面积的4倍,所以大六角星形的面积:六个小六角星形的面积和=2:3(10分)22.(1)由图知,可设甲车由A地前往B地的函数解析式为=kt,将(2.4,48)代入,解得k=20.所以s=20t.(2分)由图2可知,在距A地30千米处,乙车追上甲车,所以当s=30千米时,t=302020s=1.5(小时).即甲车出发1.5小时后被乙车追上.(5分)(2)由图知,可设乙车由A地前往B地的函数的解析式为s=pt+m,将(1.0,0)和(1.5,30)代入,得0,60,301.5,60.pmppmm解得所以s=60t-60.(7分)当乙车到达B地时,s=48千米,代入s=60t-60,得t=1.8小时.又设乙车由B地返回A地的函数的解析式为s=-30t+n,将(1.8,48)代入,得48=-30×1.8+n,解得n=102,所以s=-30t+102.(9分)当甲车与乙车迎面相遇时,有-30t+102=20t,解得t=2.04小时,代入s=20t,得s=40.8千米.即甲车与乙车在距离A地40.8千米处迎面相遇.(12分)(3)当乙车返回A地时,有-30t+102=0,解得t=3.4小时.甲车要比乙车先回到A地,速度应大于483.42.4=48(千米/小时).(15分)23.(1)平面上恰好有9个点,且平均分成三组,每组3个点,其中每个点可以与另外两组的6个点连接,共有线段692=27(条).(5分)(2)若平面上恰好有9个点,且点数分成2,3,4三组,则平面上共有线段12[2×(3+4)+3×(2+4)+4×(2+3)]=26(条).(10分)(3)设第一组有a个点,第二组有b个点,第三组有c个点,则平面上共有线段12[a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)]=ab+bc+ca(条).若保持第三组点数不变,将第一组中的一个点划归到第二组,则平面上线段的条数为(a-1)(b+1)+(b+1)c+(a-1)c=ab+bc+ca+a-b-1.与原来线段的条数的差是a-b-1,即当ab时,a-b-1≥0时,此时平面上的线段条数不减少;当a≤b时,a-b-10,此时平面上的线段条数一定减少.由此可见,当平面上由点数较多的一组中划出一个点到点数较少的一组中时,平面上的线段条数不减少,所以当三组中点数一样多(或基本平均)时,平面上线段的条数最多.(13分)设三组中都有x个点,则线段条数为3x2=192,解得x=8.所以平面上至少有24个点.(15分)