第十五章经典曲面.

第十五讲经典曲面档案馆河北理工大学轻工学院--基础教学部[e-mail]极坐标方程表示的曲线直角方程表示的曲面曲面档案馆参数方程表示的曲面参数方程表示的曲线前言曲面是一条动线，在给定的条件下，在空间连续运动的轨迹。直角方程表示的曲面的绘制与二维平面作图命令Plot相似,Plot3D也有许多选项.输入??Plot3DPlot3D[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]generatesathree-dimensionalplotoffasafunctionofxandy.Plot3D[{f,s},{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]generatesathree-dimensionalplotinwhichtheheightofthesurfaceisspecifiedbyf,andtheshadingisspecifiedbys.（1）BoxRatios-{1,1,1}图形高宽比{x,y,z}（2）AxesTrue是否包括坐标轴（3）AxesLabelNone在轴中加标志{xLabel,yLabel}（4）BoxedTrue是否在曲面周围加立方体三维图形输出选项、缺省值和说明（5）MeshTrue是否在表面画出x，y网格（6）ShadingTrue表面是阴影还是留白的(7)ViewPoint{1.3,-2.4,2}视点三维图形的修饰f[x_,y_]:=Sin[x^2+y^2];Plot3D[f[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},BoxRatios-{1,1,0.4}]例：三维直角图-1f[x_,y_]:=x^2+y^2;Plot3D[f[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},BoxRatios-{1,1,0.4}]例：三维直角图-2f[x_,y_]:=x^2+y^2g[x_,y_]:=16-(x^2+y^2)g1=Plot3D[f[x,y],{x,-3,3},{y,-3,3}];g2=Plot3D[g[x,y],{x,-3,3},{y,-3,3}];Show[g1,g2,BoxRatios-{1,1,1}]例：三维直角图-3参数方程表示的曲面的绘制利用参数方程作空间曲面图形的命令ParametricPlot3D作曲面时的基本形式为:ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,u1,u2},{v,v1,v2},选项]输入ParametricPlot3D[{u*Cos[v],u*Sin[v],u^2},{u,0,3},{v,0,2Pi}];可以作出旋转抛物面z=x2+y2的图形,这个图形比Plot3D命令作出的图形要好得多.常见曲面的常用(标准方程的)参数方程:当a=b=c时为球面.椭球面:200cossinsincossinczbyax椭圆抛物面:20sincos2uuzbuyaux当a=b时为旋转抛物面.椭圆锥面:20sincosuuzbuyaux当a=b时为圆锥面.椭圆柱面:20sincosuuzbyax当a=b时为圆柱面.正螺面:单叶双曲面:2044tansinseccossecczbyax圆环面:2020sinsin)cos(cos)cos(rzrRyrRx20sincosauaRzuyuxa=2;f=(a+Cos[u/2]Sin[t]-Sin[u/2]Sin[2t])Cos[u];g=(a+Cos[u/2]Sin[t]-Sin[u/2]Sin[2t])Sin[u];h=Sin[u/2]Sin[t]+Cos[u/2]Sin[2t];ParametricPlot3D[{f,g,h},{t,0,2Pi},{u,0,2Pi},Boxed-False,Axes-False,PlotPoints-30]例：参数方程图形空间直角坐标系g1=ParametricPlot3D[{u,v,0},{u,-1,1},{v,-1,1},DisplayFunction-Identity]g2=ParametricPlot3D[{u,0,v},{u,-1,1},{v,-1,1},DisplayFunction-Identity]g3=ParametricPlot3D[{0,u,v},{u,-1,1},{v,-1,1},BoxRatios-{1,1,1},DisplayFunction-Identity]Show[g1,g2,g3,DisplayFunction-$DisplayFunction]经典曲面1—笛卡儿坐标系f[x_,y_]:=-x-3y-1Plot3D[f[x,y],{x,-1,1},{y,-1,1}]平面设计13zyxxyzoParametricPlot3D[{x,x-z,z},{x,-1,1},{z,-1,1},Axes-False,ViewPoint-{3.180,1.032,0.521}]平面设计xyzo0xzyxyzoxyzo13zy平面设计ParametricPlot3D[{x,y,1-3y},{x,-1,1},{y,-1,1},Axes-False,Boxed-False,ViewPoint-{2.788,1.845,0.521}]xyzoxyzo11zx平面设计ParametricPlot3D[{x,y,-x-11},{x,-1,1},{y,-1,1},Axes-False,Boxed-False,ViewPoint-{2.788,1.845,0.521}]xyzoxyzo1yx平面设计ParametricPlot3D[{x,-x-1,z},{x,-1,1},{z,-1,1},Axes-False,Boxed-False,ViewPoint-{2.788,1.845,0.521}]麦比乌斯带经典曲面2—麦比乌斯带麦比乌斯圈(Mbiusstrip,Mbiusband)是一种单侧、不可定向的曲面。因A.F.麦比乌斯(AugustFerdinandMöbius,1790-1868)发现而得名。x[u_,v_]:=(1+v/2Cos[u/2])Cos[u]y[u_,v_]:=(1+v/2Cos[u/2])Sin[u]z[u_,v_]:=v/2Sin[u/2]ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,0,2Pi},{v,-1,1}]-101-101-0.5-0.2500.250.5-101拓扑学大怪物－－克莱因瓶经典曲面3—克莱因瓶在1882年，著名数学家克莱因(FelixKlein)发现了后来以他的名字命名的著名“瓶子”。这是一个象球面那样封闭的（也就是说没有边）曲面，但是它却只有一个面。在图片上我们看到，克莱因瓶的确就象是一个瓶子。但是它没有瓶底，它的瓶颈被拉长，然后似乎是穿过了瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。如果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相连的话，我们就会得到一个轮胎面.bx=6Cos[u](1+Sin[u]);by=16Sin[u];rad=4(1-Cos[u]/2);X=If[Piu=2Pi,bx+radCos[v+Pi],bx+radCos[u]Cos[v]];Y=If[Piu=2Pi,by,by+radSin[u]Cos[v]];Z=radSin[v]ParametricPlot3D[{X,Y,Z},{u,0,2Pi},{v,0,2Pi},PlotPoints-{48,12},Axes-False,Boxed-False,ViewPoint-{1.4,-2.6,-1.7}]在我们绘制克莱因瓶的时候，如果能够看清拓扑内部结构更有利于我们理解，而在mathematica中由于缺少曲面透明的效果，我们将使用镂空的效果达到同样的目的。首先我们定义一个克莱因瓶:bx=6Cos[u](1+Sin[u]);by=16Sin[u];rad=4(1-Cos[u]/2);X=If[Piu≤2Pi,bx+radCos[v+Pi],bx+radCos[u]Cos[v]];Y=If[Piu≤2Pi,by,by+radSin[u]Cos[v]];Z=radSin[v];用ParametricPlot3D得到克莱因瓶的表面:gr=ParametricPlot3D[{X,Y,Z,{EdgeForm[RGBColor[.4,.3,.1]],SurfaceColor[GrayLevel[.25],White,30]}},{u,0,2Pi},{v,0,2Pi},PlotPoints-59,Axes-False,Boxed-False,ImageSize-400,Background-Black,LightSources-{{{0,1,1.3},GBColor[0.3,0.3,.8]},{{1,-1,1.3},RGBColor[.7,.2,.2]},{{-1,-1,1.3},RGBColor[0.3,.8,0.3]}},AmbientLight-Black];12二次曲面欣赏经典曲面系列—二次曲面一般说来，直线与二次曲面相交于两个点；如果相交于三个点以上，那么此直线全部在曲面上。这时称此直线为曲面的母线。如果二次曲面被平行平面所截，其截线是二次曲线。经典曲面系列—二次曲面球面完全对称直角方程参数方程取值范围中心轴X轴,Y轴,Z轴对称性顶点（）截痕圆、点截部圆主要特征2222RzyxuRzvuRyvuRxcossinsincossin0,0,R（）0,,0R（）R,0,0图形),,(RzyxR1222222czbyaxuczvubyvuaxcossinsincossin完全对称直角方程参数方程取值范围中心轴X轴，y轴，Z轴对称性顶点截痕椭圆，圆，点截部椭圆主要特征图形椭球面（）0,0,a（）0,,0b（）c,0,0axabybczcxyz标准二次曲面的绘图二次曲面的绘制qypxz22qvpuzvyux22xyz无直角方程参数方程取值范围中心轴Z轴对称性顶点截痕双曲线、直线截部双曲线、直线双曲抛物面是二次曲面中最桀骜不驯的曲面。一眼望去，其形状酷似马鞍，因而俗称马鞍面。双曲抛物面的脊梁有两组相互垂直的抛物线构成，但两组抛物线的开口方向却南辕北辙。让我们用一组水平面切割标准的马鞍面，你能想象出切割出的曲线的形状吗？在它的脊梁上方是一组东西向的双曲线，而在脊梁的下面，却是南北向的双曲线，在脊梁正中原点处的那张平面只得到两条彼此相交的直线。双曲抛物面是无界曲面，我们看到的是它的局部，其整体可以想象却不能绘制。主要特征图形双曲抛物面无备注yxz二次曲面的绘制二次曲面-单叶双曲面x[u_,v_]:=Sec[u]Cos[v];y[u_,v_]:=Sec[u]Sin[v];z[u_,v_]:=Tan[u];ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,-Pi/3,Pi/3},{v,0,2Pi},Boxed-False,BoxRatios-{1,1,1}]x[u_,v_]:=Sec[u]Cos[v];y[u_,v_]:=Sec[u]Sin[v];z[u_,v_]:=Tan[u];ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,-Pi/3,Pi/3},{v,0,2Pi},Boxed-False,BoxRatios-{1,1,1}]二次曲面-双叶双曲面x[u_,