第十四章虚位移原理.

第十四章虚位移原理§14-1约束及其分类§14-2自由度和广义坐标§14-3虚位移·虚功和理想约束§14-4虚位移原理直接研究主动力和约束反力的关系。引言•分析静力学•静力学分为刚体静力学和分析静力学。•刚体静力学（几何静力学）只考虑约束的力的作用方面，通过主动力在约束所容许的微小位移上的元功，揭示质点系的平衡条件。------用几何的方法研究刚体的平衡；------考虑约束的限制运动方面，回顾⑴选取研究对象，取分离体；•在上述求解过程中，往往需要把某些约束反力从方程中消去，以达到求解的目的。在刚体静力学中，处理刚体或刚体系统的平衡问题的步骤为:⑵进行受力分析，画受力图；⑶建立平衡方程；⑷求解平衡方程。•这种先建立主动力与约束反力的关系，随后又消去某些约束反力的方法，常给解题过程带来麻烦，尤其是复杂系统。（解除约束，代之以约束反力）用虚位移原理处理刚体或刚体系统的平衡问题的基本思想以整个系统为研究对象，根据约束的性质，分析整个系统可能产生的运动，通过主动力在约束所容许的微小位移上的元功，揭示质点系的平衡条件。在上述求解过程中，无须解除约束，只有在需要求解约束反力（包括内力）时，才有针对性地解除约束。§14-1约束及其分类一、约束在第一篇静力学中，曾讨论过约束，分析的侧重点是，如何将约束对物体的限制作用以约束反力的形式表现出来。在本章中讨论约束，要为虚位移原理、分析力学作准备，分析的侧重点是，如何将约束对物体的位置、形状以及运动的限制作用以解析表达式的形式表现出来。约束的定义•质点系分为自由质点系和非自由质点系。约束方程0),,,,,,(tzyxzyxf非自由质点系受到的预先给定的限制称为约束。用数学方程来表示的限制条件称为约束方程。如•若质点的运动状态（轨迹、速度等）只取决于作用力和运动的初始条件，则这种质点系称为自由质点系；它的运动称为自由运动。•若质点系的运动状态受到某些预先给定的限制（运动的初始条件也要满足这些限制条件），则这种质点系称为非自由质点系；它的运动称为非自由运动。---只限制质点或质点系在空间的位置，这种约束称为几何约束。⒈几何约束和运动约束几何约束xyoφlM222lyx222ryxAAlABxoy约束的分类实例r0By222)()(lyyxxBABAωC---当质点系运动时受到的某些运动条件的限制称为运动约束。xoy于是，轮C在水平轨道上纯滚动的条件表达为yC=r运动约束方程瞬心运动约束C实例xCrωMPvCφvC－rω=0M即：这种约束对质点或质点系不仅有位移方面的限制，而且有速度或角速度方面的限制。如车轮在直线轨道上作纯滚动，轨道限制轮心作直线运动，且滚过的弧长等于轮心走过的距离。或yC=r0dtdrdtdxC几何约束方程ABABAAyyxxyx⒉定常约束和非定常约束定常约束非定常约束f(x,y,z)=0f(x,y,z，t)=02022)(vtlyx稳定约束不稳定约束如如------约束方程中不显含时间t的约束。------约束方程中显含时间t的约束。前面所列的单摆、曲柄连杆机构及车轮的约束均为定常约束；在任意瞬时t，其约束方程为------如果约束不仅限制质点在某一方向的运动，而且能限制其在相反方向的运动，称之为双面约束，或固执约束。------如果约束仅限制质点在某一方向的运动，称之为单面约束，或非固执约束。⒊双面约束和单面约束双面约束单面约束)(0双面约束By)(0单面约束ByBByxOyxO实例yxO单面约束还是双面约束？约束方程？)(222双面约束lyx)(222单面约束lyxyxOAAA0lA0l------约束方程中不包含速度或包含速度但是可积分的约束。⒋完整约束和非完整约束完整约束非完整约束------约束方程中包含速度但是不可积分的约束。(r)0,1,2,,()1,2,,()ifins质点数；约束数(rr)0,1,2,,()1,2,,()iifins，质点数；约束数COyxvCxRC*ABABAAyyxxyx约束方程不可积分，所以导弹所受的约束为非完整约束。00RxRxCC可以积分为圆轮所受约束为完整约束。一、自由度在完整约束的条件下，确定质点系位形的独立参数的个数等于该质点系的自由度数。1.以质点作为质点系基本单元质点系由n个质点、s个完整约束组成，则其自由度为N=3n－s对平面问题，如Oxy平面内，zi≡0，则N=2n－sxyoφlM222lyx如单摆，n=1，s=1，∴N=2×1－1=1§14-2广义坐标与自由度C2.以刚体作为质点系基本单元质点系由n个刚体、s个完整约束组成，则其自由度为N=6n－s对平面问题，如Oxy平面内，zi≡0，φx≡0，φy≡0，则N=3n－sxoyxCPvCφωyC=rvC－rω=0如轮C在水平轨道上纯滚动∴自由度数为刚体数n=1，约束数s=2，N=3×1－2=1再如平面双摆由刚体OA、AB及铰链O、A组成。约束方程∴自由度数为刚体数n=2，xyoABφ1φ2l1l2约束数s=4，N=3×2－4=2本章只讨论定常的双面完整几何约束00ooAAoAABAAoAABxyxxyy二、广义坐标•在完整约束的质点系中，广义坐标的数目等于该系统的自由度数。•确定质点系位形的独立参数称为广义坐标。xoylrAB如曲柄连杆机构有一个自由度，可任选xA、yA、xB之一为广义坐标，而选更方便。0sincossincos222BBAAyrlrxryrx再如平面双摆有两个自由度，选1、2为广义坐标比较合适。•约束方程xyoAB12l1l2221122111111sinsincoscossincosllyllxlylxBBAA推广可得：选广义坐标q1，q2，…，qN，则各质点的坐标若质点系有n个质点，s个完整约束组成，则自由度为N=3n－s。),,,(),,,(),,,(212121NiiNiiNiiqqqzzqqqyyqqqxx),,2,1(ni练习：分别确定下列结构的自由度和广义坐标.(1)长为l的刚杆.(2)用三根长为l的刚杆铰接的三角形结构.(3)用四根长为l的刚杆铰接的四边形结构.解:xyAB(1)约束方程为(xA-xB)2+(yA-yB)2=l2自由度为:k=22-1=3广义坐标为:x,y,rA=xi+yjrB=(x+lcos)i+(y+lsin)jxy(2)约束方程为(xA-xB)2+(yA-yB)2=l2(xA-xC)2+(yA-yC)2=l2(xB-xC)2+(yB-yC)2=l2自由度为:k=23-3=3广义坐标为:x,y,rA=xi+yjrB=(x+lcos)i+(y+lsin)jrC=[x+lcos(+60o)]i+[y+lsin(+60o)]j显然用三根长为l的刚杆铰接的三角形结构可以视为一根刚杆.xyABCxy(3)约束方程为(xA-xB)2+(yA-yB)2=l2(xA-xD)2+(yA-yD)2=l2(xB-xC)2+(yB-yC)2=l2自由度为:k=24-4=4广义坐标为:x、y、、rA=xi+yjrB=(x+lcos)i+(y+lsin)jrC=[x+l(cos-sin)]i+[y+l(sin+cos)]j(xC-xD)2+(yC-yD)2=l2rD=(x-lsin)i+(y+lcos)jxyABCDxy一、虚位移在某瞬时，质点系在约束所允许的条件下，可能实现的、任何无限小的位移称为虚位移。•在稳定几何约束下，质点系无限小的实位移是其虚位移之一。虚位移的特点：a虚位移仅与约束条件有关，是纯粹的几何量；a与实位移相比：•虚位移是无限小的位移；实位移可为无限小，也可为有限值；•虚位移是假想的位移，与时间、力、质点系的运动情况无关；虚位移常用r、x、s、等表示；①δ---等时变分算子符号（变分符号）；②δ---表示无限小的变更；说明:关于符号δ③δ的运算规则与微分算子“d”的运算规则相同。§14-3虚位移·虚功和理想约束MMMM斜面对于物块M的约束是定常约束。综上所述，M在图示瞬时，物块M在dt内发生的无限小的实位移dr沿斜面向下。物块M的虚位移可以是沿斜面向下的δr1，drdrdrdrδr1物块M置于固定的斜面上，二者差别很大。实位移是力学现象，虚位移是几何概念，也可以是沿斜面向上的δr2，因为δr1，δr2都是约束所容许的。δr2在定常几何约束下，质点系无限小的实位移是其虚位移之一。可见，dr=dre+drr=MM'MdrM'v0dre=v0dt---牵连位移drr---物块相对斜面的位移在dt内，斜面位移为dre；drdrdrdredrr非定常约束下，无限小的实位移不等于虚位移之一！物块M置于以速度vo移动的斜面上，斜面对于物块M的约束是非定常约束。在dt内，物块的实位移为dr：dre且根据合成运动理论，有dredredreM物块M的虚位移可以是沿斜面向下的δr1，δr2也可以是沿斜面向上的δr2，因为δr1，δr2都是约束所容许的。δr1可见，滑块的虚位移为δrB，AB设曲柄的虚位移为δφ，二、虚功质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功称为虚功，用δW表示。δW=－FδrB力偶M的虚功：δW=Mδφ力F的虚功：δW=F·δrFmδrφ=FδrcosφMφ•设质点m的虚位移为δr，力F在虚位移上所作的虚功为如曲柄滑块机构在力偶M和力F的作用下处于平衡，xoyF于是，如前所述，虚位移是虚设的，虽然与力在实位移中的元功符号相同，但有着本质的区别。虚功也是虚设的元功，δrB•理想约束------在质点系的任何虚位移中，如果约束反力所作的虚功之和等于零，这种约束称为理想约束。–若质点系中任意质点Mi，受约束反力Ni，虚位移δri，则理想约束的条件为110nniiiiiWNNr•理想约束举例–光滑接触面MNδrδW=N·δr=0三、理想约束*在动能定理一章中已分析过光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆、不可伸长的柔索、固定端等约束均为理想约束，现从虚功的角度，这些约束也为理想约束。BAδrB•理想约束举例•光滑铰链连接•对于作纯滚动刚体的固定面约束•理想刚体•柔性体约束NN'δr•光滑铰支座或光滑轴承ACωFTNDGNδrδrBδrAABδrATATBβαδrAcosα=δrBcosβ虚位移原理：具有完整、双面、定常、理想约束的质点系，在给定位置保持平衡的必要和充分条件是：所有作用于该质点系上的主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。110nnFiiiiiWFr0)(1niiiiiiizZyYxX矢量表达式为坐标分解式为虚功原理虚功方程静力学普遍方程§14-4虚位移原理虚位移原理的应用•已知质点系处于平衡状态，求主动力之间的关系或平衡位置。•已知质点系处于平衡状态，求其内力或约束反力。应用虚位移原理解题时，主要是建立虚位移间的关系，通常采用以下方法：•作图给出机构的微小运动，直接由几何关系来定；•选一广义坐标（自变量），给出各主动力作用点的坐标方程，求变分，各变分间的比例即为虚位移间的比例；•“虚速度”法（点的合成运动、平面运动基点法、速度投影法、瞬心法等）,虚位移方向与虚速度方向相同。应用虚位移原理的步骤1）取研究对象2）受力分析3）确定虚位移虚位移关系的确定3种方法：4）虚位移原理5）求解未知力例1螺旋千斤顶中，旋转手柄OA=l=0.6m，螺距h=12mm。今在OA的水平面内作用一垂直手柄的力P=160N，试求举起重物B的重量。不计各处摩擦。WAolPB•已知质点系处于平衡状态，求主动力之间的关系或平衡位置。Ao解：Wl千斤顶受理想约束，给P力点A虚位移δrA=lδφ，由虚功方程Pl－W