第十四讲比例的意义和性质

第十四讲比例的意义和性质表示两个比相等的式子叫比例。判断两个比能不能组成比例，要看它们的比值是不是相等组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。例如120:80=6:4内项外项：，在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫比例的基本性质。在绘制地图或其他的平面图时，需要把实际距离按一定比例缩小或扩大后，再画到图纸上。这个“一定的比例”就是比例尺，它表示图上距离和相对应的实际距离的比。图上距离和实际距离的比，叫做比例尺。图上距离：实际距离=比例尺，或图上距离实际距离=比例尺：1.张、王、李三人共有54元，张用了自己钱数的35，王用了自己钱数的34，李用了自己钱数的23，各买了一只相同的钢笔。那么张和李两人剩下的钱数共是多少元？解：张的钱数×35=王的钱数×34=李的钱数×23，将分数的分子(用去的份数)化作相同的数，得到：张的钱数×610=王的钱数×68=李的钱数×69，所以，张的钱数：王张的钱数：李的钱数=10：8:9，张原有的钱数=541010+8+9=20元，李原有的钱数=54910+8+9=18元，张和李两人剩下的钱数=20×(1-35)+18×(1-23)=14元2.买甲乙两种铅笔共208支，甲种铅笔每只3角，乙种铅笔每只5角，买两种铅笔用去的钱数相同。问甲种铅笔买了几只？解1：设甲种铅笔买了x只，3x=5（208-x）,3x=1040-5x,8x=1040,x=130解2：铅笔的单价和铅笔的支数成反比，甲、乙单价的比是3:5，所以买的甲、乙两种铅笔的只数的比是5:3，总分数是5+3=8份，甲买的只数是208×58=1303.一个车间有两个小组。第一个小组与第二个小组人数的比是5:3，如果第一小组有14人到第二小组，则第一小组与第二小组人数的比就是1:2.原来两个小组各有多少人？解1：设甲原来有5x人，乙有3x人，(5x-14):(3x+14)=1:2,10x-28=3x+14,x=6,5x=30,3x=18解2：第一小组人数占总人数的58，如果第一小组有14人到第二小组，那么第一小组人数占总人数的13，因此，14人的对应分率是(58-13),总人数是14÷(58-13)=48人，原来第一小组有48×58=30人，第二组有48-30=18人解3;原来第一小组与总人数的比是5：(5+3),如果第一小组有14人到第二小组，则第一小组与总人数的比是1：(1+2),因为两组总人数不变，所以两组总人数的分数应该相同；5：(5+3)=5：8=15：241：(1+2)=1：3=8：24(15-8)份是14人，1份是14÷(15-8)=2人，两组共2×24=48人，原来第一小组有2×15=30人，第二组48-30=18人4.A、B两个平行四边形如下图那样重叠在一起，重叠部分的面积是A的14，是B的16。已知A的面积是12平方厘米，求B的面积是多少平方厘米。解1用比例：1÷14=4(A的面积是4个重叠部分的面积)，1÷16=6(B的面积是6个重叠部分的面积),4:6=2:3，A和Ｂ的面积比是２:３，设Ｂ的面积是ｘ平方厘米，12：x=2:3,x=18解2用分数解答：因为A和Ｂ的面积比是２:３，A是2份，B是3份，B的面积是1232解3用方程：设B面积x平方厘米，x×16=12×14,解4用分数：把重叠部分看作单位1,12×14÷16=18，5.甲、乙两个同学数学测验的成绩比为5:4，如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，那么甲、乙两个同学成绩的比为5:7，问甲、乙两个同学数学测验的成绩各是多少分？解1：设甲、乙两个同学数学测验的成绩分别为5x,4x，则(5x-22.5)：(4x+22.5)=5:7，5(4x+22.5)=7(5x-22.5),15x=12×22.5,x=1222.515=4×4.5=18,甲同学5x=5×18=90,乙同学4x=4×18=72分解2：变化前后，甲乙总成绩不变，5+4=9,5+7=12，而9与12的最小公倍数为3×3×4，5:4=20:16；5:7=15:21,变化后乙相对于变化前甲增加了：21-15+(20-16)=10份，对应于22.5×2=45分，故1份对应4.5分，故原来甲成绩为4.5×20=90分，乙成绩为4.5×16=72分，注：变化前后，甲乙总成绩不变，总成绩化为相同的36份。6.甲、乙两人下象棋。弈前讲好，甲赢一盘得2分，乙赢一盘得3分。两人共下了10盘，恰好得分相等。若没出现和棋，两人各赢了几盘？解1：两人每盘得分与所赢得盘数成反比。设甲赢x盘，则x：(10-x)=3：2，甲赢x=6,故乙赢10-x=4盘解2：方程法，设甲赢x盘，乙10-x盘，则2x=3(10-x)，7.下图是甲、乙、丙三个咬合的齿轮示意图，如果甲轮转5圈，乙轮转7圈，丙纶转2圈用的时间相同，那么甲、乙、丙三个齿轮的齿数至少应分别是多少？解：甲、乙、丙三个齿轮的齿数与转的圈数的乘积应该相等，因此，三个齿轮的齿数最少应该分别是5,7,2的最小公倍数除以各自转的圈数。甲：5725=14，乙：572107，丙：572352注：两咬合的齿轮转的圈数与齿数成反比。8.学校把两捆树苗分给四、五、六三个年级种，六年级分得全部树苗的512，四、五年级分得树苗的比为3:4.已知第一捆树苗的棵树为第二捆的78，如果从第二捆中拿出8棵放到第一捆中，则两捆树苗的棵数相等。问：三个年级各分得树苗多少棵？解：两捆树苗共有的棵数：设第二捆树苗为1，第一捆为78，(1-78)÷2=116对应8棵，故8：116=x:(1+78),x=15×16=240棵六年级分得240×512=100(棵);四年级分得（240-100）×334=60(棵);五年级分得240-100-60=80(棵)解2：设第一捆为7份，第二捆为8份，8×2÷(8-7)×(7+8)=240棵。四、五、六三个年级分得树苗的比是：512：[(1-512)×334]：[(1-512)×434]=512：14：13=5:3:4六年级分得树苗：240×5534=100(棵);四年级分得树苗：240×3534=60(棵);五年级分得树苗：240×4534=80(棵);9.一个比例式的比值是225，两个外项的和是37，差是13，写出这个比例式。解：设比例式为a:b=c:d，则3713adad,∴2512ad,25:b=c:12=225,b=25512,C=12125比例式为：25：25512=12125：12，即25:10512=2845:12(两外项不能变)或(交换两外项，再由比值得)12:5=60:25学习比和比例关系是提高小学数学综合能力的一个重要方面，深刻理解相关联的量是学习的基本要求比和比例主要包括比，按比例分配和正比例，反比例应用题。解答比和比例问题应综合运用比和比例的意义，性质，它常常同分数应用题，工程问题以及行程问题等交织在一起，使数量关系变得复杂起来。比例问题的解题思路与方法是：第一步要找出与问题有关的两种相关联的量，并正确判断它们是否成比例关系，是成正比例还是成反比例；第二步找出两种量的对应数值，并将未知数量设为x，第三步根据正反比例意义列出比例式；第四步解比例，求出x的值；第五步检验，写出答句，例1.小明和小方各走一段路，小明走的路程比小方多51，小方用的时间比小明多81，小明和小方的速度之比是多少？分析：小明和小方路程之比为6：5，小明和小方所用时间的比是8：9，我们把这两个比看作最简整数比，利用路程与时间的关系，可求出小明和小方的速度之比解1：95:86=27：20答;小明和小方的速度之比27：20解2：设小明和小方路程分别是6x，5x，所用时间分别是8y，9y，则小明和小方的速度之比：yxyx95:86=27：20例2.甲乙两仓库存货吨数比为4：3，如果由甲库中取出8吨放到乙库中，则甲乙两仓库存货吨数比为4：5，两仓库原存货总吨数是多少吨？(类前边)分析：甲库原来存货占甲乙两库总数的74344，取出8吨后，那么甲库余下的吨数占甲乙两库总数的94，变化前后两仓库存货总吨数不变，所以取出的8吨是占甲乙两库总数的9474解1：8÷（9474）=63（吨）（已知部分求全体用除法）解2.设甲乙两仓库原存货吨数为：4x，3x则（4x-8）：（3x+8）=4：5x=9总吨数为3x+4x=7x=79=63例3.A，B两地相距360米，前一半时间小华用速度A行走，后一半时间用速度B走完全程，又知A：B=5：4，前一半路程所用时间与后一半路程所用时间的比是多少？分析：全程的一半是360÷2=180（米）速度A速度B，前一半路程用速度A行走，后一半路程用速度A走了一部分，又用速度B走完全程。第一种速度行：360×455=200（米），多于一半20米，第二种速度行：360×454=160（米），少于一半20米，解1：)4160520(:520200=9：11注:后一半路程用了两种速度.解2.设用速度A走了180+x，速度B走了180-x，则41805180xxx=20，前一半路程所用时间与后一半路程所用时间比：)420180520(:5180=36：44=9：11,例4.某船第一次顺流航行21千米又逆流航行4千米，第二次在同一河道中顺流航行12千米，逆流航行7千米，结果两次所用的时间相等，顺水船速与逆水船速之比是多少？（设船本身的速度及水流的速度都是不变的）解1：船第一次顺流航行21千米，第二次顺流航行9千米，21-12=9（千米），也就是第一次顺流多用了航行9千米所用的时间，第二次逆流比第一次多用了（7-4=）3千米的航行的时间，总的时间两次都相等，就是顺流9千米用的时间等于逆流3千米所用的时间，顺流船速：逆流船速=（21-12）：（7-4）=3：1，即顺流船速是逆流船速的3倍解2：设静水船速x，水流速度y，则顺水船速x+y，逆水船速x-y，故yx21+yx4=yx12+yx7yxyx3913yxyx例5.学前班有几十位小朋友，老师买来176个苹果，216块饼干，324粒糖，并将他们尽可能多的平分给每位小朋友，余下的苹果，饼干，糖的数量之比是1：2：3，问：学前班有多少位小朋友？分析：因为1+2=3，176+216-324=68，所以全班人数应是68的约数。68的大于10的约数是17，34和68.解1：如果全班人数为17，176÷17=10…6,216÷17=12…12,324÷17=19…1，6:12:1≠1:2:3不符合，如果全班人数为34，176÷34=5…6,216÷34=6…12,324÷34=9…18，6:12:18=1：2：3符合，如果全班人数为68，176÷68=2…40,216÷68=3…12,324÷68=4…52，40:12:52≠1:2:3不符合，答：有34位注：两个数除以同一个数的余数的差等于这两个数差除以同一个数的余数，枚举法。解2：设学前班有x人，176=xy+k,216=xm+2k,324=xn+3k,故176+216-324=xy+xm-xn=68,∴y+m-n=x68,∵y+m-n是整数，∴x是68的约数，68的大于10的约数是17，34和68.试验，同上例6.某工地用3种型号的卡车运送土方，已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为10：7：6，速度之比为6：8：9.运送土方的路程之比是15：14：14，三种车辆数的比是10：5：7，工程开始时，乙丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到10天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了25天完成任务。那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少分析：甲种车的一半干25天，另一半干15天，相当于所有甲种车都干20天，所以甲乙丙三种车工作时间之比为20：25：25=4：5：5，相同时间内，三种车各一辆完成的工作量之比为27:28:28727:4:41496:1487:15610，甲、乙、丙三种车完成的工作量之比为：(28×