第十章_定性选择模型与受限因变量模型.

第十章定性选择模型和受限因变量模型对于被解释变量而言，很多情况也会对其取值有所限制。有时，因变量描述的是微观个体的某种选择、特征或所属等，即因变量为定性变量，相应的模型称为定性选择模型或定性响应模型；另一些情况是，因变量的取值被限定在某个特殊范围，一般我们称这类取值范围受到限制的因变量为受限因变量，相应的模型称为受限因变量模型。两类模型样本数据一般是横截面数据。两类模型被广泛应用于消费者行为、劳动经济学、农业经济学等领域，大多属于微观计量经济学的研究范畴。本章介绍几种常见的定性选择模型与受限因变量模型。第一节线性概率模型因变量为虚拟变量的模型被称为定性选择模型或定性响应模型。如果只有两个选择，我们可用0和1分别表示它们，如乘公交为0，自驾车为1，这样的模型称为二元选择模型（binarychoiceModels），多于两个选择（如上班方式加上一种骑自行车）的定性选择模型称为多项选择模型（Multinomialchoicemodels）。我们先从基础的二元选择模型入手，介绍定性选择模型的设定和估计。最简单的二元选择模型是线性概率模型（LinearProbabilityModels,LPM）。一、线性概率模型的概念下面用一个关于是否读研究生的例子来说明如何解释线性概率模型的结果。模型为：012iiiiYGPAINCOMEu其中：01iY该生三年内未去读研三年内去读研个学生拿到学士学位后第iiiGPA第个学生本科平均成绩位：千美元）个学生家庭年收入（单第iiINCOME设回归结果如下（所有系数值均在10%水平统计上显著）：ˆ0.70.40.002iiiYGPAINCOME对每个观测值，我们可根据（10.3）式计算因变量的拟合值或预测值。在常规OLS回归中，因变量的拟合值或预测值的含义是，平均而言，我们可以预期的因变量的值。但在本例的情况下，这种解释就不适用了。假设学生甲的平均分为3.5，家庭年收入为5万美元，Y的拟合值为ˆ0.70.43.50.002500.8Y尽管因变量在这个二元选择模型中只能取两个值：0或1，可是该学生的的拟合值或预测值为0.8。我们将该拟合值解释为该生决定读研的概率的估计值。因此，该生决定读研的可能性或概率的估计值为0.8。需要注意的是，这种概率不是我们能观测到的数字，能观测的是读研还是不读研的决定。对斜率系数的解释也不同了。在常规回归中，斜率系数代表的是其他解释变量不变的情况下，该解释变量的单位变动引起的因变量的变动。而在线性概率模型中，斜率系数表示其他解释变量不变的情况下，该解释变量的单位变动引起的因变量等于1的概率的变动。CPA的系数估计值0.4意味着家庭收入不变的情况下，一个学生的增加一个点（如从3.0到4.0），该生决定去读研的概率的估计值增加0.4。INCOME的系数估计值0.002表明，一个学生的成绩不变，而家庭收入增加1000美元（单位为千美元），该生决定去读研的概率的估计值增加0.002。LPM模型中，解释变量的变动与虚拟因变量值为1的概率线性相关，因而称为线性概率模型。二、线性概率模型的估计和问题第一个问题是线性概率模型存在异方差性。扰动项的方差是，这里p是因变量等于1的概率，此概率对于每个观测值不同，因而扰动项方差将不是常数，导致异方差性。可以使用WLS法，但不是很有效，并且将改变结果的含义。第二个问题是扰动项不是正态分布的。事实上，线性概率模型的扰动项服从二项分布。第三个问题，它假定自变量与Y=1的概率之间存在线性关系，而此关系往往不是线性的。(1)pp第四个问题是，拟合值可能小于0或大于1，而概率值必须位于0和1的闭区间内。回到有关读研的例子。假设学生乙的为4.0，家庭收入为20万美元，则代入（10.3）式，Y的拟合值为从而得到一个不可能的结果（概率值大于1）。假设另有一个学生丙的为1.0，家庭收入为5万元，则其Y的拟合值为-0.2，表明读研的概率为负数，这也是一个不可能的结果。ˆ0.70.44.00.0022001.3Y解决此问题的一种方法是，令所有负拟合值都等于0，所有大于1的拟合值都等于1。但也无法令人十分满意，因为在现实中很少会有决策前某人读研的概率就等于1的情况，同样，尽管某些人成绩不是很好，但他去读研的机会仍会大于0。线性概率模型倾向于给出过多的极端结果：估计的概率等于0或1。第五个问题是在线性概率模型中，以及不再是合适的拟合优度测度。事实上，此问题不仅是线性概率模型的问题，而是所有定性选择模型的问题。较好一点的测度是模型正确预测的观测值的百分比。首先，我们将每一预测归类为1或0。如果拟合值大于等于0.5，则认为因变量的预测值为1。若小于0.5，则认为因变量的预测值为0。然后，将这些预测值与实际发生的情况相比较，计算出正确预测的百分比：2R2R100观测值总数正确预测的观测值数比正确预测观测值的百分需要指出的是，这个测度也不是很理想，但预测结果的好坏，并非定性选择模型唯一关心的事，这类模型常被用于研究影响人们进行某个决策的因素。让我们来看一个竞选的例子。假设候选人甲和乙二人竞选某市市长，我们可以用一个二元选择模型来研究影响选民决策的因素，模型为：01231iiiiiCANDINCOMEAGEMALEu其中：110iCAND票个选民不投候选人甲的如果第个选民投候选人甲的票如果第ii位：千美元）个选民的家庭收入（单第iiINCOME个选民的年龄第iiAGE01iMALE女性男性VariableCoefficientStandarderrort-Statisticp-ValueConstant-0.510.19-2.650.01INCOME0.00980.0033.250.00AGE0.0160.00533.080.00MALE0.00310.130.020.98表10.2两候选人选举线性概率模型回归结果Dependentvariable：CAND1Observations：30=0.58Adjusted=0.53ResidualSumofSquares=3.15F-statistic=11.872R2R如表所示，INCOME的斜率估计值为正，且在1%的水平上显著。年龄和性别不变的情况下，收入增加1000元，选择候选人甲的概率增加0.0098。AGE的斜率估计值也在1%的水平上显著。在收入和性别不变的情况下，年龄增加1岁，选择候选人甲的概率增加0.016。的斜率系数统计上不显著，因而没有证据表明样本中男人和女人的选票不同。我们可以得出如下结论：年老一些、富裕一些的选民更喜欢投票给候选人甲。表中给出CAND1的拟合值，每个大于等于0.5的拟合值计入CAND1为1的预测，而小于0.5的拟合值则计入CAND1为0的预测。从表可看出，30个观测值中，27个（或90%）预测正确。选甲的14人中，12人（或85.7%）预测正确。选乙的16人中，15人（或93.8%）预测正确。是0.58，表明模型解释了因变量的58%的变动，这与90%的正确预测比例相比，低了不少。注意表10－3中有一些拟合值大于1或小于0。这是我们前面指出的这类模型的缺点之一，这些拟合值是概率的估计值，而概率永远不可能大于1或小于0。2R第二节Probit模型和Logit模型虽然估计和使用线性概率模型很简单，但存在上面讨论的几个问题，其中最严重的两个问题是拟合值小于0或大于1的问题和假定自变量和的概率之间存在线性关系的假设不现实的问题。使用更为复杂的二元响应模型可以克服这些缺陷一．Probit和Logit模型的设定估计二元选择模型的另一类方法假定回归模型为这里不可观测，通常称为潜变量（latentvariable）。我们能观测到的是虚拟变量：*01kijijijYXu01iY*iY0若其它*iY这就是Probit和Logit方法的思路。Probit模型和Logit模型的区别在于对中扰动项u的分布的设定，前者设定为正态分布，后者设定为logistic分布。与线性概率模型的区别是，这里假设潜变量的存在。例如，若被观测的虚拟变量是某人买车还是不买车，将被定义为“买车的欲望或能力”，注意这里的提法是“欲望”和“能力”，因此解释变量是解释这些元素的。可以看出，乘上任何正数都不会改变，因此这里习惯上假设Var(ui)=1，从而固定的规模。我们有*iY*iY*iY0101Pr(1)Pr[()]1[()]kiiijijjkjijjPobYobuXFX其中F是u的累积分布函数。如果u的分布是对称的，则，我们可以将上式写成1()()FzFz01()kijijjPFX我们可写出似然函数：10(1)iiiiYYLPP上式中F的函数形式取决于有关扰动项u的假设，如果的累积分布是logistic分布，则我们得到的是logit模型。在这种情况下，累积分布函数为：iuexp()()1exp()iiizFzz因此()log1()iiiFzzFz请注意，对于logit模型：01log1kiijijjipxp上式的左端是机会（odds）的对数，称为对数机会比率（log-oddsratio），因而上式表明对数机会比率是各解释变量的线性函数，而对于线性概率模型，为各解释变量的线性函数。如果服从正态分布，我们得到的是probit模型（或normit模型），在这种情况下，累积分布函数为：ip/21()exp()22izitFzdtiu无论是probit模型还是logit模型，极大似然函数都伴随着非线性估计方法，目前很多计量经济分析软件已可用于probit和logit分析，用起来很方便。由于累积正态分布和累积logistic分布很接近，只是尾部有点区别，因此，我们无论logit法还是probit法，得到的结果都不会有很大不同。可是，两种方法得到的参数估计值不是直接可比的。由于logistic分布的方差为，因此，logit模型得到的的估计值必须乘以，才能与probit模型得到的估计值相比较（正态分布标准差为1）。233概率=F(Z)10ZProbit模型线性概率模型图10-1线性概率模型和Probit模型二、Probit模型和Logit模型的极大似然估计和假设检验估计LPM，我们可以采用OLS或WLS。在Probit模型和Logit模型中，由于的非线性性质，OLS或WLS都不再适用。估计Probit模型和Logit模型，通常采用极大似然法。1(;)[()][1()],0,1iiYYiiiiifYGGYxβxβxβln()ln[()](1)ln[1()]iiiiilYGYGβxβxβ1ln()ln()niiLlββ极大似然估计量（MLE）即由极大化此对数似然函数得到。对于logit模型，G是标准logisticcdf，是logit估计量；对于probit模型，G是标准正态cdf，是probit估计量。由于此最大化问题的非线性性质，我们很难写出Probit模型和Logit模型的参数的极大似然估计量的具体表达式。可以证明，在很一般的条件下，MLE是一致的、渐近正态和渐近有效的(一般性讨论参见Woodridge（2002））。伴随每一个极大似然估计值，有一个与之对应的标准误差。支持Probit和Logit的软件包在给出系数估计值的同时会给出与之对应的标准误差。一旦我们从软件包的报告中得到了标准误差，就可以构造（渐近的）t检验和置信区间，与应用OLS、2SLS估计量做检验时一样。例如要检验，我们做法是，构造t统计量，然后按通常的检验程序进行检验。我们也可以对Probit模型和Logit模型的参数的多重约束(即关于的多个线性或非线性约束)进行检验，可以采用沃尔德检验、拉格朗日乘数检验和似然比检验，详细讨论见第4、5章有关内容。三、偏效应在二元