第十章变形与刚度计算.

2第十章变形与刚度计算§10-1轴向拉伸与压缩的变形§10-2圆轴扭转变形及刚度计算§10-3弯曲变形与刚度计算§10-4能量法简介§10-5简单静不定问题的求解3§2-6轴向拉伸与压缩的变形一纵向变形FFbhh1b1ll1E为弹性摸量1lllllllElENFANFlEAEA为抗拉刚度4FFbhh1b1ll1二横向变形bbb1bbbbb泊松比:横向应变:钢材的E约为200GPa，约为0.25—0.335i)多力杆：1nNiiiiFllEA()()NlFxdxlEAxii)对于N沿杆长连续变化的情况，即FN=FN(x)：NFllEA的应用推广：20kN60kN40kN200200FNx40kN20kNFNxFN(x)6讨论题在板状试件的表面上，沿纵向和横向粘帖两个应变片1和2，在F力作用下，若测得1120×10－6，2=40×10－6，则该试件材料的泊松比是。12FF(A)3；(B)3；(C)1/3；(D)1/3；C72F3FFl/2l/2EA2EA讨论题图示阶梯形杆总变形△l=。()0A()2FlBEA()FlCEA3()2FlDEAA8讨论题.抗拉（压）刚度为EA的等直杆受力如图所示，试问：EALPEALPL2211（1）总伸长是否为？如有错误，正确的算式是什么？P2P1L2L11122NNFLFLLEAEAEALPEALPP22121)(FNxP1-P2P29例10-1、阶梯杆所受载荷及尺寸如图示，E=200GPa,[]=170MPa。试求：杆的总变形量。FNx20kN40kN40kN60kN20kN200200A1=200mm2A2=250mm2解：轴力图如图所示12202000.1200200kNmmlmmGPamm12006lll.mmkNmmlmmGPamm22402000.1620025010解：1)计算轴向应变2)计算横截面应力已知：d1=15.3mm,L=54mm,E=200GPa,试计算横截面上的正应力及横向变形量。004L.mm0.3例题10-2、,3)计算横向应变4)计算横向变形d压紧力：LL00454.674110E1482().MPa6222101d00034().mmFA545.kN11§10-2圆轴扭转变形及刚度计算1、变形计算ddx或PTddxGI由右图可知，表示相距为dx的两d个横截面之间的相对扭转角。表示的是扭转角沿长度方向的变化率ddxPTGI12距离为L的两个横截面之间的相对转角则为：L0PTdxGI若两截面之间扭矩的值不变，且轴为等直杆若两截面之间扭矩的值发生变化，或者轴为阶梯杆(单位：rad)niii1iPiTLGI(单位：rad)PTLGI—相对扭转角GIP称作抗扭刚度132、刚度计算maxmaxmax[]PdTdxGI(rad/m)maxmax180[]PTGI(°/m)或注意区分两截面之间的相对扭转角与单位长度扭转角14例10－3d=110mm，若各轮之间距离均为l=2m，G=80GPa，[]=0.5°/m，(1)试校核轴的刚度；(2)计算相邻两轮之间的扭转角和轴两端截面之间的相对扭转角。解：maxTmax=9560N.m1、刚度计算maxPTGI1800.48[]所以刚度符合要求。MA=15.9kN.mMB=MC=4.78kN.m152、变形计算计算变形时，扭矩T应取代数值。BC＝BCT1800477.BClPGI1800954CACACAPTl.GI＝1800635ADADADPTl.GI＝轴两端截面之间的相对扭转角为：BD＝BCCAAD＋＋0805.＝16ABFC500f20510例10-4、已知F=60kN，E=200GPa，G=0.4E，不考虑AB杆的变形，求B截面的垂直位移。解：Bw300ACPTLGI320510.m300171、挠度一、基本概念横截面形心C(即轴线上的点)在垂直于x轴方向的线位移,称为该截面的挠度。用w表示。挠度：向上为正,向下为负.ABwx'Bw挠度C'C§10-3弯曲变形与刚度计算182、转角ABwxC'Cw挠度B转角横截面变形前后的夹角称为该截面的转角。用表示自x转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负。19ABwxC'Cw挠度B转角3、挠曲线挠曲线式中,x为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w为该点的挠度。挠曲线方程为()wfx梁变形后的轴线称为挠曲线。204、挠度与转角的关系ABwxC'Cw挠度B转角挠曲线tgw'()w'x21二、用积分法求弯曲变形推导纯弯曲正应力公式时，得到：1横力弯曲时忽略剪力对变形的影响：1()()zMxxEI由数学知识可知：22231[1()]dwdxdwdx略去高阶小量221dwdx22()zdwMxdxEIzMEI22在规定的坐标系中,x轴水平向右为正,w轴竖直向上为正.曲线凸向上时：OxwxOw00wM因此,w与M的正负号相同0M曲线凹向上时:00wM0wMMMM0M0w23由于弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：22()zdwMxdxEI由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。2w近似原因:(1)略去了剪力的影响;(2)略去了项;22()zdwMxdxEI2422()zdwMxdxEI积分一次得转角方程为：zdwEIdx22()zdwEIMxdx再积分一次得挠度方程为：zEIwzEI()Mxdx()MxdxdxCxDC25积分常数C、D由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。0Aw0Aw0AAw位移边界条件光滑连续条件ALARwwARALALARww－弹簧变形AAAAAA26刚度条件数学表达式刚度条件的应用(1)校核刚度(2)设计截面尺寸(3)求许可载荷wwmax[]max[]27例10-5、已知EIz为常数，M0，L，求A，B，及中点的挠度；若，试校核刚度。24zMLwEI22()zdwEIMxdxABM0wLx解：1、外力分析FAFB0ABMFFLx()Mx0xL0MxL挠曲线、转角、挠度方程202zMEIxCL306zMEIwxCxDL22()zdwEIMxdx0MxL3、变形分析0MxL2、内力分析28ABM0wLx202zMEIxCL306zMEIwxCxDL确定积分常数0x(0)w0xL()wL00D得：06MLC所以20026zMMLEIxL30066zMMLEIwxxL0(0)6AZMLEI0()3BZMLLEI求A，B，wL/2()()294、刚度计算0w200026MMLxL3Lxmaxw所以，刚度满足要求。30011()()()26262zMMLLEIwLLL20()()216zMLLwEI20026zMMLEIxL校核刚度24zMLwEI(0)θ30066zMMLEIwxxL2093ZMLEI[]w301、叠加法原理（力的独立性原理）在小变形前提下，当构件或结构同时作用几个载荷时，如果各载荷与其产生的效果(支反力，内力，应力和位移、变形等)成线性关系,则各载荷与其产生的效果互不影响，各自独立，它们同时作用所产生的总效果等于各载荷单独作用时所产生的效果之和。2、求梁的弯曲变形的叠加法分别求出各载荷单独作用时的变形，然后把各载荷在同一处引起的变形进行叠加(代数叠加)。三、用叠加法求梁的弯曲变形31例10－6、一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图所示。试按叠加原理求梁跨中点的挠度wC和支座处横截面的转角A,B。qCABmCABqmlCABAqAmwCqwCmBmBq解：将荷载分为两项简单荷载Cw()45384qlEI216mlEICqCmwwAθAqAmθθ324qlEI()3mlEIBθBqBmθθ324qlEI6mlEI()32讨论：如何分解载荷？BAlqFMBAlqBAlFBAlM分解原则：分解后每根梁只作用单个载荷。33q讨论：如何分解载荷？BqAaaCAaaCBAaaCBq如何求B截面的挠度及转角？34AaaCBqCwCBCABwBwCwBqEICAaaCaqAaaCBAaaCBq如何用另一种方法求C截面及B截面的挠度及转角？35使用叠加法计算挠度和转角时，根据不同的载荷情况和梁的变形形式，可采取两种处理方式：(1)载荷叠加：将载荷分解为几种基本载荷，梁某处的总变形等于各基本载荷作用下在该处产生变形的代数和。(2)变形叠加：将梁分解成以一定方式连接的几种受基本载荷作用的简单梁，利用变形积累的原理，求梁某处的变形。在将梁分解成简单梁时，要求各简单梁的内力与原梁的内力完全相同，只是端部的约束条件可以不同。逐段刚化法内力叠加法36例10-7、试用叠加法(变形叠加)求C截面的挠度。BqEICAaaBqCAaBCAaaBqACACMBCMACMACM0BCMBCM0AC段BC段第1根0BCM第2根ACM037例10-8、试用叠加法(变形叠加)求C截面的挠度。解：（1)BC段变形，AC段刚化BqEICAaaBqCAa(1)Cw(2)AC段变形，BC段刚化qBCAaa22qamF=qaCFwCmw(2)Cw(3)总变形Cw043qaEI()44qaEI()CFCmww4712qaEI()12CCww4712qaEI()思考题：求wB38例10-9、用叠加法(变形叠加)求B截面的挠度。解：（1)BC段变形，AC段刚化BqEICAaaBqCAa(1)Bw(2)AC段变形，BC段刚化qBCAaa22qamF=qaCFCm48qaEI32qaEICw4712qaEI()()()32qaEI()C3qaEI()(2)BwCwCFCmCa41912qaEI()39(3)总变形Bw12BBww43124qaEI()(1)Bw48qaEI()(2)Bw41912qaEI()40ABFC500f20510例10-10、已知F=60N，E=210GPa，G=0.4E，求B截面的垂直位移。解：1）AC段刚化ABF1Bw33ABFLEI361710.m2）AB段刚化2Bw300ACPTLGI320510.m12BBB822().mm30041ABFC500f20510例10-11、已知F=60N，E=200GPa，G=0.4E，求B截面的垂直位移。解：1）AC段刚化ABF1Bw33ABFLEI2）AB段刚化2Bw300AC12BBBCAFAw42降低梁的最大弯矩值1、合理地布置梁的荷载四、提高梁的承载能力措施lFFl/4Fl/4l/4l/2Fl/8432、合理地设置支座位置qllqaaql2/80.0214ql2当两端支座分别向跨中移动a=0.207l时44增大Wz1、合理选择截面形状在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面31132zDW2211(2)4Da,aD/2321()1.1866zzbhRWW221111224Da,aD32131416766zzabhW.W45工字形截面与框形截面类似.1222222105.1,6.18.024DaaaD145