衍射习题详解

1．在单缝衍射实验中，缝宽a=0.2mm，透镜焦距f=0.4m，入射光波长=500nm，则在距离中央亮纹中心位置2mm处是亮纹还是暗纹？从这个位置看上去可以把波阵面分为几个半波带？[]（A）亮纹，3个半波带；（B）亮纹，4个半波带；（C）暗纹，3个半波带；（D）暗纹，4个半波带。答案：D解：沿衍射方向，最大光程差为336210sin0.21010m=1000nm=20.4xaaf，即22422。因此，根据单缝衍射亮、暗纹条件，可判断出该处是暗纹，从该方向上可分为4个半波带。2．波长为632.8nm的单色光通过一狭缝发生衍射。已知缝宽为1.2mm，缝与观察屏之间的距离为D=2.3m。则屏上两侧的两个第8级极小之间的距离x为[]（A）1.70cm；（B）1.94cm；（C）2.18cm；（D）0.97cm。答案：B解：第k级暗纹条件为sinak。据题意有2tan2sin2kxDDDa代入数据得9238632.81022.31.9410m=1.94cm1.210x3．在单缝夫琅和费衍射实验中，设第一级暗纹的衍射角很小。若以钠黄光(1＝589nm)为入射光，中央明纹宽度为4.0mm；若以蓝紫光(2＝442nm)为入射光，则中央明纹宽度为________mm。答案：3mm。解：单缝衍射中央明纹宽度为122yyfa，所以，1122yy由此得22114424.03mm589yy4．一宇航员声称，他恰好能分辨他下方距他为H=160km的地面上两个发射波长550nm的点光源。假定宇航员的瞳孔直径D=5.0mm，则此两点光源的间距为xm。答案：21.5m。解：最小分辨角为11.22D又根据题意有1xH所以93131.2255010160101.2221.5m510HxHD5.单色光1=720nm和另一单色光2经同一光栅衍射时，发生这两种谱线的多次重叠现象。设1的第1k级主极大与2的第2k级主极大重叠。现已知当1k分别为2,4,6,,时，对应的2k分别为3,6,9,,。，则波长2nm。答案：480nm。解：在主极大重叠处，两谱线的衍射角相等，即1122)sinabkk（所以1212kk由题意知1223kk由此求得1211222720480nm33kk6.（1）用光栅亮纹公式，第三级分别去对应第二级的最大波长，第四级的最短波长便可求出400到506.7nm以及533.3到760nm。（2）单缝衍射第一级，第二级对应此处第二级和第四级缺级，有缺级公式知道比例为2.7.波长为600nm的单色光垂直照射到一单缝宽度为0.05mm的光栅上，在距光栅2m的屏幕上，测得相邻两条纹间距0.4cmx。求：（1）在单缝衍射的中央明纹宽度内，最多可以看到几级，共几条光栅衍射明纹？（2）光栅不透光部分宽度b为多少？答案：（1）最多可以看到第5级，共11条明纹；（2）0.25mm。解：（1）单缝衍射中央明纹的半角宽度11sina中央明纹在屏上的半宽度为71526100.024m=2.4cm510ffa单缝衍射中央明纹宽度内干涉亮纹的最高级次m6kx而该最高级次的衍射方向正好与单缝衍射第一级暗纹方向相重，为缺级，所以最多可以看到第5级明纹。即在单缝衍射中央明纹宽度内可观察到01,2,3,4,5,共11条明纹。（2）由缺级公式abkka，据题意知：当1k时，m6kk，所以660.050.3mmdaba0.30.050.25mmbda8.波长为680nm的单色可见光垂直入射到缝宽为41.2510cma的透射光栅上，观察到第四级谱线缺级，透镜焦距1mf。求：（1）此光栅每厘米有多少条狭缝；（2）在屏上呈现的光谱线的全部级次和条纹数。答案：（1）2000条；（2）屏上出现01,2,3,5,6,7,级，共13条明纹。解：（1）缺级公式为abkka，根据题意知，当1k时，4k。所以光栅常数44510cmaba狭缝数4112000510Nab（条/厘米）（2）由光栅公式()sinabk得()sinabk。2对应于最高衍射级次maxk。将680nm代入，得6max7()5107.376.810abk（向前取整数）所以在屏上出现的光谱级数为01,2,3,5,6,7,，可看到共13条明纹。9.波长为400nm~760nm范围的一束复色可见光垂直入射到光栅常数44.810cmd的透射光栅上，在屏上形成若干级彩色光谱。已知透镜焦距1.2mf。求：（1）第二级光谱在屏上的线宽度；（2）第二级与第三级光谱在屏上重叠的线宽度。答案：（1）19.7cm；（2）9cm。解：由光栅公式sindk得第k级衍射角arcsinkkd可见光为连续光谱，其最短波长和最长波长分别为min400nm和max760nm，因此其第k级光谱分布的角宽度为maxminkkk第k级光谱在焦平面上的线宽度为maxminmaxmintantankkkkkyyyff式中，maxminmaxminarcsin,arcsinkkkkdd分别为同一级光谱中最长和最短波长的衍射角。（1）令2k，即可由上式算出第二级谱线宽度22max2mintantan120.3330.1690.197m=19.7cmyf（2）当第三级光谱最短波长的衍射角3min小于第二级光谱最长波长的衍射角2max时，将发生第二级与第三级光谱的重叠。其重叠的线宽度为2max3mintantanLf令3k，可解得3mintan0.258，所以2max3mintantan120.3330.2580.09m=9cmLf计算提示：令maxkAd，minkBd，则maxminarcsin,arcsinkkAB。再利用关系2arcsinarctan1xxx，及tanarctanxx，可得max221tan11/1kAAA，min221tan11/1kBBB10.在比较两条单色X射线谱线波长时，注意到谱线A在与某种晶体的光滑表面成30的掠射角时出现第1级反射极大。谱线B（已知具有波长0.097nm）则在与同一晶体的同一表面成60的掠射角时出现第3级反射极大，则谱线A的波长为Anm；晶面间距为d=nm。答案：0.17nm；0.168nm。解：设谱线A的波长为A，谱线B的波长为B，按给定条件，由布拉格公式有Ad130sin2，Bd360sin2将两式相除得3160sin30sin3BA所以330.17nm3ABB晶面间距30.0970.168nm2sin2sinBBAABAkkd