第四章(调和)

数学物理方程第4章调和方程第四章调和方程§1方程的建立和定解条件§2格林公式、调和函数及其基本性质§3格林函数§4用电象法求解特殊区域的狄氏问题数学物理方程第4章调和方程二、拉普拉斯方程边值问题的提法1第一边值问题（狄氏问题）2第二边值问题（牛曼问题）ufufn3、狄氏外问题4、牛曼外问题§1方程的建立和定解条件调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数。2222222222222(,,)0uuuuufxyzxyzuuuuxyz一、方程的建立数学物理方程第4章调和方程三、泊松方程边值问题泊松方程)(rfu边界条件[]()uun()定义在0,0第一类边界条件0,0第二类边界条件0,0第三类边界条件泊松方程与第一类边界条件，构成第一边值问题(狄里希利问题)泊松方程与第二类边界条件，构成第二边值问题(诺依曼问题)泊松方程与第三类边界条件，构成第三边值问题数学物理方程第4章调和方程1﹑奥—高公式设及和是在上连续，在内有连续偏导数的任意函数,则有如下的奥-高公式,,Pxyz,,Qxyz,,RxyzPQRdPdydzQdxdzRdxdyxyzcos,cos,cos,PnxQnyRnzds其中是在点处的外法向量cos,,cos,,cos,nnxnynz,,xyz§2格林公式、调和函数及其基本性质一、格林公式数学物理方程第4章调和方程2﹑格林第一公式在上述的奥-高公式中﹐令，，注意到显然的恒等式：vPuxvQuyvRuz22vuvvuuxxxxx我们就有如下的格林第一公式vuvuvuvuvdudsdnxxyyzz2()vuvdudsuvdn或数学物理方程第4章调和方程3﹑格林第二公式在上述格林第一公式中，交换﹑的位置，得uvuvvudvuuvdsnn格林公式通常指格林第二公式，在格林函数法求解定解问题时常要用到。2()uvudvdsvudn然后两式消减，我们就得到格林第二公式：n2()vuvdudsuvdn原有数学物理方程第4章调和方程由物理学家狄拉克首先引进用以讨论物理学中的一切点量质点点电荷瞬时力脉冲等定义d函数是指具有以下性质的函数：0,0,0)()(xxxid1)()(dxxiid4、d函数数学物理方程第4章调和方程如对一维问题:设在无穷直线上区间内有均匀的电荷分布，总电量为一个单位，在区间外无电荷如图，则电荷密度函数为22lxl2,022,12,0)(lxlxlllxxldxyo2l2ll1物理意义：集中的量的密度函数若f(x)在内连续，由中值定理有22,ll22ll对于有2,2lbla2121),()()(dfdxxxfbal数学物理方程第4章调和方程对于在连续，有)(xf0x或者表示的是任意阶可微函数的极限，通常意义下没有意义，只在积分运算中才有意义。当时，得到点电荷的密度函数0l此积分应理解为数学物理方程第4章调和方程有关d函数的等式应该在积分意义下理解。0)()(dxxxxfd0)(xxd)()(xxdddxxxfdxxxf)()()()(dd)()(xxdddxxxfdxxxf)()()()(dd)(1)(xaaxdddxxaxfdxaxxf)(1)()()(dddxxgxfdxxxgxf)]()0()[()()()(dd)()0()()(xgxxgdd数学物理方程第4章调和方程令0,00,1)()(xxxdxxxd两边微商，得因为由傅里叶逆变换，得拉普拉斯变换0,)()(00000tedtettttptptddL对二、三维同样有函数二维：处有一个单位点电荷，密度分布函数为三维：处有一个单位点电荷，密度分布函数为)()(00yyxxdd),(00yx)()()(000zzyyxxddd),,(000zyx数学物理方程第4章调和方程求证：，其中)(412rrd证明:要证明，就是要证明积分意义下)(412rrd例数学物理方程第4章调和方程①当时，有0,012rr0r25222222222222)(31zyxzyxxzyxx25222222222222)(31zyxzyxyzyxy25222222222222)(31zyxzyxzzyxz三式相加，可得数学物理方程第4章调和方程②当时，不可导，将V取为整个三维空间rr10VaVdxdydzardxdydzr222021lim1Vadddrrarasin3lim225222002252220lim12drraraa数学物理方程第4章调和方程令，上式积分与a无关tanar022522222)tan()tan(tan121adaaaadxdydzrV0,412rr从而有202322tan1tan12d202cossin12d203sin31124因此)(412rrd即数学物理方程第4章调和方程二、泊松方程的基本积分公式建立点源泊松方程V0rK0xyz0()()VVVvuuvdVvfdVurrdVd)(0rrd奇异，不能化为面积分。在V中点挖掉半径的小球。小球边界。0rK)(rfu[]()uun数学物理方程第4章调和方程dSnvunuvdVvuuvKT)()(dSnvunuvdSnvunuv)()(在，。KT0)(0rrddVvfKT0)(ru)(rv和连续。dVvfdVvfTKTdnudSnuv2)41(dnu4dnu4nu0数学物理方程第4章调和方程dSrrudSnvu)]41([drru22141)(0ru.]),()()(),([)(),()(0000dSnrrvrunrurrvdVrfrrvruT这样，边界条件得以进入积分之中！上式为泊松方程的基本积分公式。000111()(())d4SMMMMuuMuSnrrn令f=0,即得调和方程的基本积分公式：调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个函数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。数学物理方程第4章调和方程1、调和方程的基本解00222000220011()()()11lnln()()MMMMrxxyyzzkrxxyy三维二维三、调和函数的基本性质2、调和方程的基本积分表达式000111()(())d4SMMMMuuMuSnrrn数学物理方程第4章调和方程3、牛曼内问题有解的必要条件4、平均值公式（定理）5、极值原理ufn22()d()dVSvuuvvuVuvSnnd0SuSn取1vd0SfS021()d4akuMuSa狄氏问题的解唯一确定，牛曼问题的解除了相差一常数外也是唯一确定的。6、拉普拉斯方程解的唯一性问题调和函数的最大、最小值只能在边界上达到000111()(())d4SMMMMuuMuSnrrn数学物理方程第4章调和方程§3格林函数22()d()dVSvuuvvuVuvSnn()d0SvuuvSnn若u，v均为调和函数000111()(())d4SMMMMuuMuSnrrn0001111()(()()d44SMMMMvuuMuvSnnrrn0114MMvr若v不仅为调和函数，且满足0011()(()d4SMMuMuvSnr0()dSGuMuSn0011()4MMGMvr由格林公式两式相加令则数学物理方程第4章调和方程02()0,1|4MMvMvr2()0,|()uMufM内00(,)()()dGMMuMfMSn)(|,)(2MfuMFMu内）（对泊松问题对拉普拉斯问题000(,)()(,)()()ddGMMuMGMMFMVfMSn因此求解狄氏问题就转化为求此区域的格林函数，即0011()4MMGMvr000(,)(-)(,)[]0GGGndrrrrrr数学物理方程第4章调和方程§4用电像法确定格林函数用格林函数法求解的主要困难还在于如何确定格林函数本身一个具体的定解问题，需要寻找一个合适的格林函数，对一些具体问题可以给出构建格林函数的方法这方法是基于静电学的镜像原理来构建格林函数，所以我们称这种构建方法为电像法（也称为镜像法）．在区域外找出区域内一点关于边界的象点，在这两个点放置适当的电荷，这两个电荷产生的电位在曲面边界上相互抵消。这两个电荷在区域中形成的电位就是所要求的格林函数。电象法求格林函数数学物理方程第4章调和方程物理模型：若在000(,)Mxy处放置一正单位点电荷则虚设的负单位点电荷应该在100(,)Mxy于是得到这两点电荷在xoy的上半平面的电位分布．也就是本问题的格林函数，即为0010022220000220022001111(,)lnln2π||2π||1111(,|,)lnln2π2π()()()()()()1ln[]4π()()GGxyxyxxyyxxyyxxyyxxyyrrrrrr1、上半平面区域拉普拉斯方程的第一边值问题求解zddqqpxo0MMr1MMrzddqqxo0MMr1MMr1M0MM数学物理方程第4章调和方程据此可求解上半平面区域的定解问题例1定解问题：00,(0)|()xxyyyuuyux【解】根据第一边值问题，构建的格林函数满足200()()xxyyGGGxxyydd0|0yG0000(,),(,)xyxy处放置于一个正和一个负的点电荷（或点源）构建格林函数为2200002200()()1(,|,)ln[]4π()()xxyyGxyxyxxyy数学物理方程第4章调和方程边界外法线方向为负y轴，故有0000222222000000111||=2π()π()π()yyyyGGnyxxyxxyxxy代入到拉普拉斯第一边值问题解的公式，则由得0002200()(,)dπ()yxuxyxxxy00(,)()()dGMMuMMSn