第四章_转动参照系.

第四章转动参照系§4.1平面转动参照系§4.2空间转动参照系§4.3非惯性系动力学（二）§4.4地球自转所产生的影响vvr1、速度平板参照系S′：运动坐标系oxyz与平板一起以绕z轴转动地面参照系S：静止坐标系o，两坐标系原点重合=kk§4.1平面转动参照系osprjikxy()z平板上一质点Prxiyj绝对速度相对速度牵连速度下页上页drdidjvxiyjxydtdtdtvxiyjvr2、加速度科氏加速度产生原因：在s系中的观察者看来,牵连运动(即)可使相对速度v发生改变而相对运动(即v)又同时使牵连速度r中的r发生改变牵连运动与相对运动相互影响tcaaaa下页上页drdidjvxiyjxydtdtdt=xyiyxj22222(2)(2)(22)2ijij=i+jijij+ijdvaxyxyxyyxdtxyxyyxyxarrv相对加速度向心加速度变角速切向加速度科里奥利加速度[例]圆盘半径为R,以匀角速度绕垂直于盘心O的轴线转动.一质点沿径向槽自盘心以匀速度v向外运动,试求质点加速度各分量的量值[解]设在某一瞬时t,质点运动到1位置,在tt瞬间,运动到2位置,假定t很小,于是cost1,sintt,2t0,故在2处可仍按原先12O的径向及横向进行投影[cos()sin]rvvtrvttv2[()]vrvttvrt(1)[()cossin]vrvttvtr[()]2rvtvtrvt(2)下页上页由此得200limlim2rrttvartvavt(3)可以看出:牵连运动(圆盘转动)改变了相对速度v的方向,因而产生了横向加速度v;同时,相对运动(质点向外运动)又改变了牵连速度r的量值,因为这时r已变为rvt，故又一次产生了横向加速度v，因而沿横向的科里奥利加速度为2v.如质点在盘上不动,即0v,则在瞬间tt,质点只随着盘转到1的位置,它离盘心O的距离仍然等于r,所以只有径向加速度2r.下页上页§4.2空间转动参照系转动参考系定点转动，的量值方向都改变，OO＇重合1、任一矢量G的变化率xyzGGGGijkyxzxyzdGdGdGddddGGGdtdtdtdtdtdtdtGijkijkijkijkddddtdtdt*dddtdtGGG绝对变化率=相对(或地方)变化率+牵连变化率下页上页2、动点P的绝对速度3、动点P的绝对加速度下页上页av*dvdv=dtdt*()rrr=r+r2***2dddddtdtdtdt*=()+2rrr+r2*2dddadtdtdtrrr*ddv==dtdt绝对速度=相对速度+牵连速度**ddddtdtdt下页上页**2=()+2=()-+2rrr+rrrr+rr2*22*2dddadtdtdtddddtdtdta=a+a+atc2*2dradt相对加速度2*()22tcdarrrdtdravdt牵连加速度科里奥利加速度地球自转：是一个恒矢量(量值和方向都不变),可以OB表之，故0ddt,则下页上页22()(cos)tdarrrdtrr222()ROMOMMP在此情形下22vaaR更一般的情况S′系的原点不与S系重合，且相对速度为相对加速度为，则0v0atca=a+a+a02*()22tcdarrrdtadravdt牵连加速度科里奥利加速度2*2dradt相对加速度*0drdrrdtdtvv下页上页§4.3非惯性系动力学（二）(1)平面转动参照系１．相对于S＇系的动力学方程22a=ar+rv如果质量为m的质点所受到的合外力为F，即ma=F故有22a=Fmr+mrmvm下页上页2.惯性力对于平面转动参照系S而言，如果添上三种惯性力：mr,2mr和2mv，则牛顿运动定律对S就“仍然”可以成立科里奥利力2mv，参照系S的转动及质点的相对运动所引起变角速惯性力mr，S系作变角速转动所引起的惯性离心力2mr，S系的转动所引起的22a=Fmr+mrmvm下页上页[例]在一光滑水平直管中，有一质量为m的小球.此管以恒定角速度绕通过管子一端的竖直轴转动.如果起始时，球距转动轴的距离为a，球相对于管子的速度为零，求小球沿管的运动规律及管对小球的约束反作用力.[解一]非惯性参照系求解设小球在某一瞬时运动到P点，位置为x，速度为x，设管对小球反作用在z方向上的分力为zR，竖直分力为yR22mamgRmrmrmv下页上页得小球的运动微分方程为(1)0(2)02(3)2yzmx=mxmyRmgmzmxR（1）式的通解为ttxAeBe(4)微分得ttxAeBe(5)利用起始条件0,,0txax，可得2aAB（6）故()2ttaxeeacht(7)2222()22=ttyzaRmgRmxmeemasht(8)22mamgRmrmrmv下页上页惯性参照系求解：选用极坐标系.如取管的起始位置为极轴，管子的一端O（即转动轴通过的那一点）为极点，知当小球P运动到离极点O为r的时候，小球的运动微分方程为2()0(9)(2)(10)rmrrFmrrR因=常数，故0把这些关系代入式（9）及（10）两式后，它们就简化为20(11)2(12)mrmrmrR(1)0(2)02(3)2yzmx=mxmyRmgmzmxR下页上页（2）空间转动参照系tcaaaaFaaactmmm22()aFrrv+rmmmmm=合外力+变角速惯性力+惯性离轴力+科里奥利力更为一般的情况，动系原点与静系原点不重合情形，O对O的加速度为oa，则2()2()2aFarrrvFarrvoommmmmmmmmm下页上页（3）相对平衡如果质点P固定在S系中不动，则v=0，故0c=0,aa，而a与ta相等.当0ca=0,a时，m=0tFa即当质点在非惯性系中处于平衡时，主动力、约束反作用力和由牵连运动而引起的惯性力的矢量和等于零.这种平衡叫做相对平衡.下页上页§4.4地球自转所产生的影响（1）惯性离心力地球自转的角速度约为7.3×10-5弧度/秒惯性离心力使重力常小于引力重力随着纬度发生变化，纬度越低重力越小只有两极重力和引力才相等除两极外重力的方向也不与引力的方向一致引力通过地心，而重力一般并不通过地心下页上页（2）科里奥利力1、研究质点相对地球的运动时，可以只考虑科里奥利力当质点相对于地球运动时，一般质点离地轴的距离变化很小，故惯性离心力的变化也很小，可以用重力来代替引力而不考虑离心力的效应，只考虑科里奥利力的效应.近似认为重力mg通过地球球心，2mmgmvaFk式中F代表重力以外的作用力下页上页x轴指向南方，y轴指向东方，z轴竖直向上，cos0sinxyzijkv=即得质点P在,,xyz三个方向的运动微分方程为2sin2(sincos)2cosxyzmx=Fmymy=Fmxzmz=Fmgmy下页上页2、对常见现象的解释1）贸易风—在地球上，热带空气上升，在高空向两极推进；而两极附近空气下降，并在地面附近向赤道附近推进，形成了一种对流，彼此交易，故称贸易风。但由于科里奥利力的作用，南北向的气流，却发生了东西方向的偏转。2sin2(sincos)2cosmymxzmgmyxyzmx=Fmy=Fmz=F下页上页(a)北半球地面(sin0)气流自北向南推进(0x),导致科里奥利力的j分量2sin0mx朝西，成为东北贸易风；2sin2(sincos)2cosmymxzmgmyxyzmx=Fmy=Fmz=F(b)南半球地面(sin0)气流自南向北推进(0x)，导致科里奥利力的j分量2sin0mx也有朝西的偏向，而成为东南贸易风.(c)大气上层的反贸易风，在北半球为西南贸易风，在南半球则为西北贸易风.下页上页2）轨道的磨损和河岸的冲刷当物体在地面上运动时，在北半球上科里奥利力的水平分量总是指向运动的右侧，即指向相对速度,xy的右方。例如x自北向南，科里奥利力则指向西方北半球河流右岸的冲刷甚于左岸，因而右岸陡峭；双轨单行铁路的右轨所受到的压力大于左轨，因而右轨磨损较甚，南半球的情况和此相反2sin2(sincos)2cosmymxzmgmyxyzmx=Fmy=Fmz=F3）落体偏东假定质点从有限的高度h处自由下落，可以认为g值不变，且重力以外的0xyzFFF。因当0t时，质点的初速度也等于零，故其初始条件为0,0txyz,0,xyzh可解得2224sin[sin()cos]2cos44cos[sin()cos]xxzhygtyzgxzh由2sin2(sincos)2cosmymxzmgmyxyzmx=Fmy=Fmz=F下页上页再度略去含2项，就简化为02cosxygtzg再积分两次，并利用初始条件，得32110cos32xygtzhgt消去t，得轨道方程为22238cos()9yzhg作业：4，5，8，102224sin[sin()cos]2cos44cos[sin()cos]xxzhygtyzgxzh下页上页