第四章基本立体及表面交线1

4.1基本立体的投影4.2平面与立体相交4.2.1平面与平面立体相交4.2.2平面与曲面立体相交4.3立体与立体相交4.3.1平面立体与平面立体相交4.3.2平面立体与曲面立体相交4.3.3曲面立体与曲面立体相交第四章基本立体及表面交线基本立体平面立体曲面立体立体的表面均为平面立体的表面均为曲面，或由平面和曲面组成4.1基本立体的投影基本立体是由点、线、面几何要素构成的基本几何体，基本立体按其表面性质的不同可分为：1、棱柱⑵棱柱的三面投影图⑴棱柱的组成棱柱由棱面和上下底面组成，各棱线互相平行。直立的五棱柱，它的水平投影是一个五边形，反映上下底面的形状特征，另外两面投影为多个矩形线框。一、平面立体2、棱锥⑵棱锥的三面投影图⑴棱锥的组成棱锥由多边形底面和具有公共顶点的三角形棱面组成，各棱线相交于顶点。直立的三棱锥，底面的水平投影是一个三角形（反映实形），棱面的各投影均为三角形线框，棱线的投影汇交于同一点。●2、棱台⑴棱台的组成用平行于棱锥底面的平面将棱锥截断，去掉顶部后所得的形体称为棱台。⑵棱台的三面投影图水平放置的四棱台，上下底面的水平投影是四边形（反映实形），棱面的各投影均为梯形线框。常见的基本平面立体投影图工程物体都可视为由基本形体经切割、叠加、组合所形成。其投影图是组成他们的简单几何形体投影的集合，必须熟练掌握基本形体的投影图特点。对于柱体，应主要从反映底面实形的投影来判断其形状特征。二、曲面立体1、圆柱圆柱体由圆柱面和两个底面围成，正圆柱的底平面垂直于轴线。2、圆锥圆锥体由圆锥面及底平面所围成，正圆椎的底平面垂直于圆锥的轴线。4、圆球由球面所围成的立体称为球体。3、圆台用平行于圆锥底面的平面将圆锥截断，去掉顶部。常见的基本曲面立体投影图工程形体一般都是比较复杂的，当若干个基本形体经叠加、切割或交接组合在一起时，这些基本形体表面还可能产生交线。我们除了要熟练掌握基本形体投影图的特点外，还要掌握这些交线的画法。例：两棱柱叠加形状特征视图交线4.2平面与立体相交平面与立体相交，可看作是由平面截切立体。该平面称为截平面，截切以后的立体称为截切体。截平面与立体表面的交线称为截交线。（1）截交线是立体表面和截平面的共有线，截交线上的点是二者共有点（2）截交线一般是封闭的平面图形。截平面截交线截断面截切体平面立体的截交线曲面立体的截交线平面立体的截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其形状取决于平面立体的形状及截平面相对平面立体的截切位置。多边形的各顶点是平面立体的棱线与截平面的交点。多边形的每条边是截平面与棱面的交线。求截交线的实质是依据共有性求交点和交线截交线的性质：共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。4.2.1平面与平面立体相交平面截切立体的画图⒈求截交线的两种方法：★求各棱线与截平面的交点→棱线法。★求各棱面与截平面的交线→棱面法。⒉求截交线的步骤：☆截平面与立体的相对位置☆截平面与投影面的相对位置确定截交线的投影特性确定截交线的形状★空间及投影分析★画出截交线的投影分别求出截平面与棱面的交线或交点，并连接成多边形。例1、求如图所示三棱锥被正垂面PV所截切，求作截交线的水平投影和侧面投影。——棱线法棱线法s′a′b′c′c″a″b″sPvs″(1)求Pv与s′a′、s′b′、s′c′的交点1′、2′、3′为截平面与各棱线的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影1′2′3′(2)根据线上取点的方法，求出1、2、3和1″、2″、3″11″2″23(3)连接各点的同面投影即等截交线的三个投影(4)补全棱线的投影3″具体步骤如下：立体棱面的截交线对投影面的相对位置可分为以下三种情况：（1）平面平行于投影面，它与任何位置平面的交线都一定平行于相应的投影面。（2）两平面同时垂直于某一投影面，其交线也应垂直于该投影面。（3）其它情况下两平面的交线通常是一般位置直线，如正垂面与铅垂面的交线、正垂面与侧垂面、正垂面与一般位置平面的交线等。SQ截交线对投影面处于特殊位置可以用棱面法直接求出截交线21′2′1″2″343′4′3″4″例2完成立体的三面投影图。——棱面法空间分析基本形体是四棱体，然后用一个正垂面P和一个铅垂面Q截切。投影分析正垂面截平面与立体顶面及左侧面的交线是正垂线。铅垂面截平面与立体左侧面及前面的交线是铅垂线。两截平面的交线ⅠⅢ是一般位置线。棱面法ⅢⅠSQ77′6″655′7″6″5″1p′q1′2′4″3″1243例3求作三棱锥被截切后的投影虚线方法一：先用水平面完整截切立体，然后画正垂面截切立体。方法二：在立体棱面（平面）上取点。投影分析：①分析三棱锥各棱面的投影。②立体先用一个水平面截切，然后用一个正垂面截切，两截平面的交线是正垂线。3′4′1″2″a′b′abc′d′cd4.2.2平面与曲面立体相交截平面截交线截交线的性质截交线是截平面与回转体表面的共有线。截交线上的点是截平面与回转体表面的共有点。截交线的形状取决于回转体表面的形状及截平面与回转体轴线的相对位置。截交线都是曲线和直线构成的封闭的平面图形。求平面与回转体的截交线的一般步骤⒈空间分析和投影分析☆分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置，以便确定截交线的形状。☆分析截平面与投影面的相对位置，明确截交线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出截交线的已知投影，预见未知投影。3.画出截交线的投影☆将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。☆先找特殊点（转向轮廓线上的点），补充中间点。2.求截交线上点的方法直素线法纬线圆法表面取点法平面与圆柱相交的三种情况垂直于轴线圆椭圆平行于轴线两平行直线倾斜于轴线PVPPVPPVP一、圆柱体的截切例1如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个投影。平面与圆柱相交具体步骤如下：（1）先作出截交线上的特殊点（2）再作出适当数量的一般点（3）将这些点的投影依次光滑的连接起来1’15’5373’(7)’1”5”3”7”22’2”4684’4”（4）补全侧面投影中的转向轮廓线。8”6”ⅠⅢⅤⅦⅡⅣⅥⅧ由于平面与圆柱的轴线斜交，因此截交线为一椭圆。截交线的正面投影重影为一直线，水平投影与圆柱面的投影重影为圆。侧面投影可根据圆柱表面取点的方法求出。例2求圆柱管侧面投影解题步骤：★空间及投影分析截平面P与圆柱管的轴线平行——截交线是四条平行直线截平面Q与圆柱管的轴线垂直——截交线是两段圆弧截平面P、Q的交线是正垂线q′p′★求截交线先求截平面与圆柱体外表面的截交线然后求截平面与圆柱管内表面的截交线线★分析圆柱体轮廓素线的投影●●●●p′q′例2求圆柱管侧面投影分析：该立体是在圆柱管的上部开出一个方槽后形成的。构成方槽的平面为垂直于轴线的水平面P和两个平行于轴线的侧平面Q。平面P与圆柱的交线为圆弧，平面Q与圆柱的交线为直线，平面Ｐ和Q彼此相交于直线段（正垂线）。例3求圆柱管被挖切后立体的投影。平面与圆柱相交作图步骤如下：（1）先作出完整圆柱体基本形体的三面投影图。平面与圆柱相交（2）然后作出槽口三面投影图。（3）作出管孔的三面投影图。例4求作圆柱切口的三面投影3′8′2′4′7′9′1′5′6′10′3″8″4″9″2″7″5″10″1″6″12345106987圆椭圆三角形双曲线加直线段抛物线加直线段二、圆锥体的截切圆锥的截交线：根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。过锥顶两相交直线PV圆PVθθ=90°PV椭圆αθθ＞α抛物线PVθαθ=α双曲线PVαθ=0°＜α例1如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的另外两个投影。平面与圆锥相交此种截交线为一椭圆。由于圆锥前后对称，故椭圆也前后对称。椭圆的长轴为截平面与圆锥前后对称面的交线——正平线，椭圆的短轴是垂直与长轴的正垂线。ⅠⅡⅢⅣ正平线正垂线ⅠⅡⅢⅣ正平线正垂线平面与圆锥相交具体步骤如下：（1）先作出截交线上的特殊点。1’2’121”2”3’4’345’6’65（2）再作一般点。（3）依次光滑连接各点，即得截交线的水平投影和侧面投影。（4）补全侧面转向轮廓线。3”4”5”6”7’8’787”8”ⅠⅡⅢⅣⅤ例2求圆锥被截切后的正面投影.1′4′5′2′3′1″5″4″3″2″3514y2y12例3完成顶尖的水平投影图。1′7′8′2′3′6′4′5′6″3″5″8″7″2″4″1″13872564平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。三、球体的截切平面与球相交例1：求半球体截切后的水平投影和侧面投影。水平面截圆球的截交线的投影，在平面图上为部分圆弧，在侧面图上积聚为直线。两个侧平面截圆球的截交线的投影，在侧面图上为部分圆弧，在平面图上积聚为直线。例2、球被正垂面截切，求截交线的水平投影。具体步骤如下：（1）先求特殊点：长短轴和转向轮廓线上的点。（2）还可补充一些中间点。（3）依次连接各点的水平投影。平面与球相交11’23’4’432’655’6’12347’8’7811’23’4’43655’6’7’8’78小结一、平面截切平面立体截交线一般情况下是由直线组成的封闭的平面多边形，多边形的边是截平面与棱面的交线。求截交线的方法：棱线法棱面法二、平面截切回转体截交线的形状取决于截平面与被截回转体轴线的相对位置。截交线是截平面与回转体表面的共有线。求截交线的方法：表面取点法——直素线法纬线圆法（2）分析截平面与被截立体对投影面的相对位置，确定截交线的投影特性。三、解题方法与步骤⒈空间分析和投影分析（1）分析截平面与被截立体的相对位置，确定截交线的形状。⒉求截交线（1）当截交线的投影为非圆曲线时，要先找特殊点，再补充中间点，最后光滑连接各点。（2）分析和补画出平面体的棱线和回转体轮廓素线的投影。（3）当单体被多个截平面截切时，要逐个截平面进行截交线的分析与作图。