第四章多项式插值与数值逼近20101031

数学与信息科学学院实际问题中经常要涉及到函数值的计算问题：（1）如果函数表达式本身比较复杂，且需要多次重复计算时，计算量会很大；（2）有的函数甚至没有表达式，只是一种表格函数，而我们需要的函数值可能不在该表格中。对于这两种情况，我们都需要寻找一个计算方便且表达简单的函数来近似代替，这就是数值逼近问题。1n已知定义于区间上的实值函数在个互异节点处的函数值，若函数集合中的函数满足[,]ab()fx0[,]niixab0()niifx()x012()(),,,,()iixfxin则称为在函数集合中关于节点的一个插值函数，并称为被插值函数,[a,b]为插值区间，为插值节点，（*）式为插值条件。()x0niix()fx()fx0niix插值的定义/*AlgebraicInterpolation*/插值类型代数插值：集合为多项式函数集x0x1x2x3x4xg(x)f(x)几何意义：()ygx()yfx有理插值：集合为有理分式函数集/*Rational*/三角插值：集合为三角函数集/*Trigonometric*/1代数多项式插值的概念:当给出了函数f(x)的n+1个点后,构造一个多项式P(x),满足如下两个条件:(1)p(x)是一个不超过n次的多项式;(2)在给定的点xi(i=0,1,…,n)上与f(xi)取相同的值,即p(xi)=f(xi)(i=0,1,…,n)。通常称p(x)为f(x)的插值函数,点xi为插值节点,f(x)为被插函数，条件（1）和条件（2）为插值条件。§4.1代数多项式插值2代数多项式插值的存在性和唯一性)(...)(000100xfxaxaaxpnn)(...)(111101xfxaxaaxpnn)(...)(10nnnnnnxfxaxaaxp证明：P(x)为n次代数多项式，设p(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn因为在n+1个已知节点p(x)=f(x),将n+1个（xi,f(xi))代入p(x),可得…（方程组1）其中，未知量a0,a1,…,an的系数矩阵行列式为范德蒙行列式：jijinnnnnnxxxxxxxxxxx)(111212110200∵给定的n+1个节点互异，即xi≠xj(i≠j)∴上述行列式不为零，方程组1有唯一非零解，即p(x)存在且唯一。3代数插值多项式的构造-Lagrange插值(1)线性Lagrange插值给定f(x)的2点函数表，求一个f(x)的近似函数经过这两个已知点。xx0x1yy0y1101xxxx101xxxx101xxxx可得线性Lagrange插值为(直线方程的两点式表示形式)L1(x)=l0(x)*y0+l1(x)*y1其中l0(x)称为Lagrange插值关于节点x0的插值基函数,l1(x)称为Lagrange插值关于节点x1的插值基函数：l0(x)=l1(x)=101xxxx010xxxxXY0y0x0x1y1y=f(x)y=L1(x)插值基函数的特点是在对应节点上取值1,其他节点上取0。线性Lagrange代数多项式插值的基函数图形:XYX1X21l0(x)XYX1X21l1(x)(2)二次Lagrange多项式插值给定f(x)的3点函数表,求f(x)的近似函数.))(())((201021xxxxxxxxxx0x1x2yy0y1y2可得二次Lagrange插值为L2(x)=l0(x)*y0+l1(x)*y1+l2(x)*y2其中插值基函数：l0(x)=l1(x)=l2(x)=))(())((210120xxxxxxxx))(())((201021xxxxxxxx))(())((120210xxxxxxxx二次Lagrange代数多项式插值的基函数图形:XYX1X21X3l0(x)XYX1X21X3l1(x)XYX1X21X3l2(x)x0x1x2…xnl0(x)l1(x)…ln(x)nijjjijxxxx0思考：1请填写下面的n次Lagrange插值基函数的数值表：111000000000……………………2模仿1次和2次Lagrange插值基函数，写出n次Lagrange插值基函数表达式。（3）n次Lagrange代数多项式插值插值3请写出n次Lagrange插值的表达式))...()()...(())...()()...((110110niiiiiiniixxxxxxxxxxxxxxxxli(x)=，即li(x)=))...()()...(())...()()...((110110niiiiiiniixxxxxxxxxxxxxxxxnijjjijxxxx0)()(niiinyxlxL0)()(4例题1X0123Y-5-6-116已知f(x)的部分函数表如下，试用Lagrange插值计算x=4，x=5处f(4)和f(5)处的值。解：函数表中有4个点，可以构造3次Lagrange插值多项式：当x=4时，f(4)=L3(4)=43-2×4-5=51当x=5时，f(4)=L3(5)=53-2×5-5=1105216)23)(13)(03()2)(1)(0()1()32)(12)(02()3)(1)(0()6()31)(21)(01()3)(2)(0()5()30)(20)(10()3)(2)(1()(33xxxxxxxxxxxxxxxL计算步骤：①求出所有的基函数；②将基函数与对应的函数值相乘；③将所有的积求和；例：已知233sin,214sin,216sin分别利用sinx的1次、2次Lagrange插值计算sin50并估计误差。解：0x1x2x185500n=1分别利用x0,x1以及x1,x2计算4,610xx利用216/4/6/214/6/4/)(1xxxLsin50=0.7660444…)185(50sin10L0.776143,421xx利用sin500.76008,n=2sin500.7654,5相关的Matlab程序nijjjijixxxxxl0)()()(x,y代表已知节点的值；u代表待求节点的自变量；v代表与u对应的Lagrange插值函数值。W代表求v时的Lagrange插值基函数。nkkknnkjjjkjkyxlxLxxxxxl00)()()()()(例题2已知f(x)的部分函数表如下，试用Matlab编程生成它的Lagrange插值，画出L(x)的曲线和所有的(x,y)点。X123456Y161821171512小结：1这堂课的内容是什么？2代数多项式插值要满足哪2个条件？它的几何意义是什么？3Lagrange插值基函数的特点是什么？公式是怎样的？4Lagrange插值的公式是怎样的？作业：1已知函数表如下：X00.511.522.5Y-1-0.7501.2535.25试用（0，-1），（1，0）和（2，3）三个点构造二次Lagrange插值L2(x),并用其余三点验证L2(x)。§4.2多项式插值的近一步研究为了理论分析的方便，引入记号ωn+1(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn)它是一个n+1次多项式，并且ωn+1’(xk)=(xk-x0)(xk-x1)…(xk-xk-1)(xk-xk+1)…(x-xn)则Lagrange插值多项式为niiininnfxxxxxL011)(')()()(它与函数f(x)相比存在截断误差Rn(x)=f(x)-Ln(x)称为插值多项式的余项。]),[)(()!1()()()()(],[),],,[1.41)1)1(baxnfxLxfxRbaxLnfbafbaCfnnnnnnn有插值余项对任何次插值多项式的内存在，则在（且：设定理))()((''21)()()(11011xxxxfxLxfxR、对于线性插值有特别地))()()(('''31)()()(221022xxxxxxfxLxfxR、对于二次插值，有注：（1）插值误差与节点和之间的距离有关；（2）如果本身为多项式，其插值函数为本身。（3）通常不能确定,而是估计,x(a,b)将作为误差估计上限。0niixx()fx11()()nnfxM101||()!nniiMxxn插值多项式。的被称为条件满足插值多项式求一个次数尽可能低的和１阶导数函数值的个互异节点上在已知函数HermitefxHfxHfxHxHnixffxffbaxnbafiiiiiiiii)(')(')(),(),...,1,0)(('')(],[1],[一、Hermite插值1、Hermite插值问题及插值公式§4.3Hermite插值和分段插值')(')()(12),...,1,0)(',,(112121212iiniinnniiifxHfxHPxHnniffxn满足插值条件的多项式次数存在唯一的个离散数据定理：假设有),...,1,0)(()()(),...,1,0)((]1)21[)(]')()([)(12220012nixlxxxnixlxxxxxfxfxxHHermiteniiiinijjijiiniiiiin（其中插值为次Hermite插值多项式的构造思想类似于Lagrange插值多项式的构造方法，即通过构造一组插值基函数来表示Hermite插值多项式。2100()()()()()nnniiiiiiHxfxxfxx设满足前述2n+2个条件的插值多项式为21()nHx其中，满足()ix()ix0()()ijijijxx0()()ijijijxx012,,,,,ijn10ijijij的计算方法：()ix()ix和均为2n+1次多项式，且有n个二重根()ix()ix和011,,,,,iinxxxx令2()()()iiiixAxBlx01110111()()()()()()()()()()()iiniiiiiiiinxxxxxxxxxxlxxxxxxxxxxx其中22()()()()iiiiiixAlxAxBlx120()()()()iiiiiiiiiiiiixAxBxAAxBlx代入条件22()()()iiilxlxlx00121112nikikkiniiiikikkiAxxBAxxxx解之得01110111()()()()()()()()()()()iiniiiiiiiinxxxxxxxxxxlxxxxxxxxxxx01101()()()()niinkikkixxxxxxxxxx01()niikikkilxxx001(),,,,()ijijijxijnx2()()()iiixxxlx20112012()[()](),,,,niiikikkixxxlxxxin从而得到插值基函数()ix下面求另一组插值基函数()ix2()()()iiiixCxxlx令221()()()()iiiiiiiiixxxClxCxxlx1012,,,,iCinHermite插值多项式2100()()()()()nnniiiiiiHxfxxfxx2()()()iii