西交大复变函数考查课习题及答案

西安交通大学现代远程教育考试卷及答案课程：复变函数（A）专业班号考试日期年月日姓名学号期中期末一、单项选择题（每题2分，共20分）1、若函数zf在区域D内解析，则函数zf在区域D内（）A．在有限个点可导B．存在任意阶导数C．在无穷多个点可导D．存在有限个点不可导2、设fz在01z内解析且0lim1zzfz，那么Re,0sfz（）A．2iB．2iC．1D．-13、函数411zzzzf，在以0z为中心的圆环内的洛朗展式有m个，则m=（）A．1B．2C．3D．44、下列命题正确的是（）A．ii2B．零的辐角是零C．仅存在一个数z,使得zz1D．izzi15、函数zzfarctan在0z处的泰勒展式为（）A．02121nnnnz（z1）B．01221nnnnz（z1）C．012121nnnnz（z1）D．0221nnnnz（z1）6、在下列函数中，0Re0zfsz的是（）A．21zezfzB．zzzzf1sinC．zzzzfcossinD．zezfz1117、设ai，C：iz=1，则dziazzC2cos（）A．0B．2ieC．2ieD．icosi8、下列函数是解析函数的为（）A．xyiyx222B．xyix2C．)2()1(222xxyiyxD．33iyx9、下列命题中，不正确的是（）A．如果无穷远点是fz的可去奇点，那么Re,0sfzB．若fz在区域D内任一点0z的邻域内展开成泰勒级数，则fz在D内解析C．幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数D．函数22eiei将带形域0Imz映射为单位圆110、函数2222fzxyxixyy在（）处可导。A．全平面B．2xC．2yD．处处不可导二、判断题（每题2分，共30分；正确：√；错误：×）1、对任意的z，2Lnz2Lnz.（）2、在柯西积分公式中，如果Da，即a在D之外，其它条件不变，则积分dzazzfiC210，Dz.（）3、区域0Imz＞是无界的单连通的闭区域。（）4、若a是zf和zg的一个奇点,则a也是zgzf的奇点。（）5、若,uxy与,vxy都是调和函数，则,,fzuxyivxy是解析函数。（）6、解析函数,,fzuxyivxy的,uxy与,vxy互为共轭调和函数。（）7、如果fz在0z连续，那么0fz存在。（）8、解析函数的导函数仍为解析函数。（）9、如果fz在0z解析，那么fz在0z连续。（）10、解析函数的零点是孤立的。（）11、单位脉冲函数t与常数1构成一个傅氏变换对。（）12、如果,uxy，,vxy的偏导数存在，那么fzuiv可导。（）13、因为sin1z，所以在复平面上sinz有界。（）14、在0z处可导的函数，一定可以在0z的邻域内展开成泰勒级数。（）15、每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛。（）三、解答题（每题5分，共50分）1、己知F)()]([Ftf，求函数)52(tf的傅里叶变换。2、求拉普拉斯逆变换1L]54[2sss.3、13zdzzzcos（积分曲线取正向）4、求幂级数02!)1(nnnz的和函数，并注明其收敛域。5、设)]()([)(00iF，求其像原函数)(tf.6、求下列各函数在其孤立奇点的留数。(1)3sin)(zzzzf;(2)zzzfsin1)(2;(3)11e)(zzzf.7、应用傅代变换解微分方程：)()()(ttHtHt8、请指出指数函数zew、对数函数zwln、正切函数zwtan的解析域，并说明它们的解析域是哪类点集。9、求以222121yxyxv,为虚部的解析函数zf，使00f.10、计算积分：Cnzzz10)(d，其中C为以0z为圆心，r为半径的正向圆周，n为正整数。复变函数一、1B2B3C4B5B6C7B8B9A10A二、1╳2╳3╳4√5√6、╳7、╳8、√9、√10、╳11、╳12、╳13、╳14、╳15、╳三、1、2、3、解：4、解：．5、解：6、解：（1）为的可去奇点,;（2）为的三阶极点,为的一阶极点。,;（3）为的本性奇点,,.7、解：∵F=F∴F[H(t)]+F[H(t)]=1∴F[H(t)]=∵衰减函数F[f(t)]=∴H(t)=8、答：（1）指数函数的解析域为：整个复平面，解析域是无界开区域；（2）对数函数的解析域为：除去原点及负半实轴，解析域是无界开区域；（3）正切函数的解析域为：除去点，解析域是无界开区域。9、解：由得10解：设的方程为,则所以：（当时）；（当时）。