第四章插值法-徐芳

第四章插值与拟合在生产实际及科学试验中，经常要研究变量之间的函数关系，但很多情况下很难找到具体的函数表达式，往往只能通过观测或测量得到一张数据表：xx0x1x2……xny=f(x)y0y1y2……yn表中给出某个区间[a,b]上一系列点的函数值yi=f(xi)。§4.1问题的提出问题：无法求出不在表中的点的函数值，也不能进一步研究函数的其他性质，如函数的积分和导数等。为了解决这些问题，需要设法通过这张表格求出一个简单函数p(x)来近似f(x)，使得p(xi)=f(xi)(i=0,…n)。y=f(x)y=p(x)——插值问题已知精确函数y=f(x)在一系列节点x0…xn处测得函数值y0=f(x0),…,yn=f(xn)，由此构造一个简单易算的近似函数p(x)f(x)，满足条件p(xi)=f(xi)(i=0,…n)。这里的p(x)称为f(x)的插值函数。最常用的插值函数是…?多项式x0x1x2x3x4xp(x)f(x)1、插值的基本概念设函数在区间有定义，且在已知点：上的函数值为：如果存在一个简单函数使则称为的插值函数；点称为插值节点；包含插值点的区间[a，b]称为插值区间；求插值函数的方法称为插值法。)(xfyba,bxxxan10nyyy,,,10)(xpy)(iixpyni,,,,210)(xp)(xfbxxan0)(xp)(xp可以是多项式、分段函数、三角函数等等.则称之为插值多项式为多项式函数如果,)(xP如果为分段的多项式，则称为分段插值。从几何上看,插值法就是求曲线()yPx使其通过给定n+1个点(,),0,1,2,,iixyin并用它近似已知曲线()yfx整体误差的大小反映了插值函数的好坏x0x1x2x3x4xP(x)f(x))()(xPxf和插值函数对于被插函数处的函数值必然相等在节点ix)()(xfxP的值可能就会偏离但在节点外必然存在着误差近似代替因此)()(xfxP2、插值多项式的存在唯一性已知数表nnyyyxxx1010nnxaxaxaaxP2210)(令多项式满足niyxPii,,,,)(210即方程组nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa101111000010有唯一解?)(1101111000010nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa既有)(21111010212110200nnnnnnnnyyyaaaxxxxxxxxx因为njiijnnnnnnxxxxxxxxxxx02121102000111)(Vandermonde行列式即方程组（2）有唯一解),,,(naaa10nnxaxaxaaxP2210)(所以插值多项式存在且唯一§4.2Lagrange插值oxy)(xp)(xf00(,)xy11(,)xy首先考虑最简单的插值多项式：在[a,b]上有两个插值节点x0,x1，且已知f(x)在节点上的函数值y0,y1。现在要求一个多项式L1(x)，使得：),()(101iyxLii若能够找到这样的函数li(x)，即jijixlji01)(且次数不能超过1。则0100110001000101yyyxlyxlyxlyxLiii)()()()(1101111001011110yyyxlyxlyxlyxLiii)()()()(恰好满足插值条件。1、线性插值问题：怎样求出这样的li(x),i=0,1不妨先求l0(x)，由于l0(x)在x1处函数值为0，显然应包括x-x1这个因子；又因它的次数不能超过1，则l0(x)=A(x-x1)，而l0(x)在x0处函数值为1，故A=1/(x0-x1)，即得：1010xxxxxl)()(同理可得0101xxxxxl)()(则称之为线性插值多项式。)()()()()(010110101xxxxyxxxxyxL其中，与称为线性插值基函数。且有)(0xl)(1xl例1已知,,求1010011121解:这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11,利用线性插值1121100()1011100121121100xxLx714.10)115(115py115y2、抛物线插值抛物插值又称二次插值，它也是常用的代数插值之一。设已知f(x)在三个互异点x0，x1，x2的函数值y0，y1，y2，要构造次数不超过二次的多项式使满足二次插值条件：这就是二次插值问题。其几何意义是用经过3个点的抛物线近似代替曲线如下图所示。因此也称之为抛物线插值。22210()Lxaxaxa2()(0,1,2)iiLxyi),(),,(),,(221100yxyxyx2()yLx)(xfyyy=L2(x)y0y1y1y=f(x)Ox0x1x2x为了与下一节的Lagrange插值公式比较,仿线性插值,用基函数的方法求解方程组。先考察一个特殊的二次插值问题：求二次式,使其满足条件：)(0xl0)(,0)(,1)(201000xlxlxl这个问题容易求解。由上式的后两个条件知:是的两个零点。于是21,xx)(0xl))(()(210xxxxcxl再由另一条件确定系数1)(00xl))((12010xxxxc))(())(()(2010210xxxxxxxxxl从而导出类似地可以构造出满足条件：的插值多项式0)(,0)(,1)(210111xlxlxl))(())(()(2101201xxxxxxxxxl及满足条件：的插值多项式0)(,0)(,1)(120222xlxlxl))(())(()(1202102xxxxxxxxxl这样构造出来的称为抛物线插值的基函数012(),(),()lxlxlx)(),(),(210xlxlxl0201122012010210122021()()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxxxxxLxyyyxxxxxxxxxxxx容易看出,L2(x)满足条件)2,1,0()(iyxPii取已知数据作为线性组合系数,将基函数线性组合可得210,,yyy3、Lagrange插值多项式使其满足条件次多项式求),,1,0)((nixlni),,,(,,)(njijijxlji1010)())(()()(110niiixxxxxxxxAxl设.为待定常数其中A可得由1)(iixl)())(()(1110niiiiiixxxxxxxxA(*)),,1,0()()()())(()()())(()()(0110110nixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxlnijjjijniiiiiiniii所以称之为Lagrange插值基函数.利用拉格朗日基函数,可以构造多项式niiinnnxlyxlyxlyxlyxL01100)()()()()(.Lagrange)(.,)(,)(插值多项式为称解故其为拉格朗日问题的且满足插值条件的多项式为次数不超过xLyxLnxLniinn插值多项式为：线性插值多项式：n=1010110101xxxxyxxxxyxL)(),(,)(101iyxLii满足y=f(x)xyx0x1y=L1(x).),(),,()(的直线为过点11001yxyxxLy几何意义：插值多项式为：))(())(())(())(())(())(()(1202102210120120102102xxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxL),,(,)(2102iyxLii满足xyy=L2(x)x0y=f(x)x1x2.),(),(),,()(的一条抛物线和为过点2211002yxyxyxxLy几何意义：x0x1xixi+1xn-1xny=f(x)y=Ln(x)ab在插值区间a,b上用插值多项式p(x)近似代替f(x),除了在插值节点xi上没有误差外，在其它点上一般是存在误差的。若记Rn(x)=f(x)–Ln(x),则R(x)就是用Ln(x)近似代替f(x)时的截断误差,或称插值余项,我们可根据后面的定理来估计它的大小。4、Lagrange插值多项式的误差分析定理设在（a,b)内存在，在插值节点上的函)(xf)(],,[)()()(xfbaCxfnn1bxxxan10为满足条件),,,(,niyi10数值为iniinyxlxL0)()(),,,(,)(nkyxLkkn10的次Lagrange插值多项式，则对任意n],[bax有)()!()()()()()(xnfxLxfxRnnnn111证明（略）P89其中),(baniinxxx01)()(''''12010111()()()()()(),,22Rxfxfxxxxxx'''2012021()()()()(),,6Rxfxxxxxxxxn=2时插值余项为n=1时线性插值余项为余项表达式只有在f(x)的高阶导数存在时才能应用。(,)ab在内的具体位置通常不可能给出，|)(|max)1(1xfMnbxan|)(||)(|011niinnxxxN设|)(|xRn则)()!1()(1)1(xnfnn11)!1(1nnNMn例2处的近似值。在公式求，利用插值，，，的值分别为：，在设2007408180778801086070809048370300250150100......,.,..)(xxexexf解：))()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(()(23130321033212023102312101320130201032103xxxxxxxxxxxxyxxxxxxxxxxxxyxxxxxxxxxxxxyxxxxxxxxxxxxyxL代入分别将.,.,.,.,.3002501501002003210xxxxx81873002003.).(L可得...52001081873080相比，误差与准确结果e例3已知sin0.32=0.314567，sin0.34=0.333487，sin0.36=0.352274，分别用一、二次Lagrange插值计算sin0.3367的值，并估计截断误差。（1）解：3403203403203203403203401.sin....sin...)(xxxL3403203403203367032034032034033670336701.sin.....sin....).(L3303650.得).)(.(sin)(34032021xxxR510920.)()!()()()()()(xnfxLxfxRnnnn111由于是|..||..||sin||).(|34033670320336702336701R3400000918920003300167023334870....（2）3603403603403403603403601.sin....sin...)(~xxxL3603403603403367034036034036033670336701.