西北师大附中奥赛辅导第二轮教案第五章万有引力

1第五章万有引力人造卫星考点要求读解内容要求读解12．万有引力定律Ⅱ知道万有引力定律的内容、适用条件，了解万有引力定律的建立过程，理解万有引力定律与重力的区别与联系。21．人造地球卫星、万有引力定律的应用（限于圆轨道）Ⅱ会运用万有引力定律推导人造地球卫星的速度、周期、轨道半径；知道同步卫星的特点及相关运动参量；能用万有引力定律解决有关天体运动问题。22．宇宙速度Ⅰ理解三个宇宙速度的含义，会推导第一宇宙速度。命题趋势导航万有引力定律是力学中的一个独立的基本规律，是航天科技的理论基础，这部分内容不仅涉及了匀速圆周运动的运动学和动力学知识，还经常与能量守恒相联系，具有很强的综合性和理论联系实际的应用性，加之我国航天技术的高速发展、载人航天器的成功发射、探月计划的逐步实施和胡锦涛书记提出的我国“航天精神”的发扬广大，万有引力定律将会是高考长期的热点。万有引力定律的考查题型多样，既有客观性的选择题，也有主观性的计算、简答题。难度上既有关于人造地球卫星的基本概念的定性判断题；也有中等难度或中等偏难的综合分析计算题。其主要命题方向有：1.人造地球卫星的轨道半径与周期、速度、角速度、向心加速度的定性判断；2.人造地球卫星的轨道半径与周期、速度、角速度定量计算；3.与天体质量、密度有关的综合运算；4.人造地球卫星变轨问题的分析判断；5.天体运动现象（如“黑洞”、“双星”等）的分析运算.§5.1万有引力定律人造地球卫星一、概念与规律1.开普勒定律※第一定律——轨道定律※第二定律——面积定律※第三定律——周期定律(1)内容：行星绕恒星运动的轨道半长轴的三次方与其周期的平方成正比.(2)公式：R3/T2=K（恒量）,（可用万有引力定律进行推证）.(3)适用条件：对行星绕同一恒星运动时，恒量K一定，不同的星系K值不同，可把同一K值的星系叫同一引力体系。如太阳系的九大行星是同一引力体系，地球周围的月球、人造卫星是同一引力体系.例2：有人说，人造地球卫星的轨道半径越大，卫星的周期一定越大，对吗？2例3：人造地球卫星运行时，其轨道半径为月球轨道平均半径的31，则此卫星运行的周期大约是()A.l—4天之间B.4—8天之间C.8—16天之间D.大于16天2.万有引力定律(1)内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的．两个物体间的引力的大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比．(2)公式：F=G2rMm，其中G=6．67×10-11N·m2／kg2，叫引力常量.(3)适用条件：公式适用于质点间的相互作用．当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．均匀的球体也可视为质点，r是两球心间的距离．(4)引力常量的测量：在牛顿发现万有引力定律一百多年后，英国物理学家卡文迪许巧妙的用扭秤实验第一次比较准确的测出了引力常量.例1：由公式F=G2rMm可知，当r非常小时，F会非常大，那么，距离很近的物体将会吸引到一起，实际情况不是这样，如何理解？3.人造地球卫星（1）处理天体运动问题的两个假设天体的运动（包括人造地球卫星）做匀速圆周运动（实际上一般情况为椭圆）；天体运动的向心力就是万有引力．（2）人造地球卫星◎轨道平面：必须是过地心的平面[不能是平行于某一纬度的平面（00除外）；也不能是一直与某一经度平行的平面（只能是瞬时重合）；可以在于赤道平面上；也可以与赤道平面有夹角].◎环绕速度(线速度)：∵G2rMm=rmv2∴rGMv即v∝r1r↑→v↓所以，半径越大，卫星的运行速率越小；因人造地球卫星有最小半径（地球半径），速率有最大值，计算得最大速率就是第一宇宙速度，计算得最大速度V=7.9km/s◎环绕角速度：3∵rGMvω=rv=3rGM∴r↑→ω↓所以，半径越大，卫星的运行角速度越小◎周期：从万有引力定律出发：G2rMm=rm2=mrT224∴T=2πGMr3∴r↑→T↑从开普勒第三定律出发：∵kTR23∴T=3rk即：T∝3r∴r↑→T↑从角速度与周期的关系出发：T=2∴ω↓→T↑所以，半径越大，周期越大；人造地球卫星有最小半径（地球半径），周期有最小值，计算得最小周期Tmin=84min◎向心加速度：222222()FGMmGMRRaggmrmrrRh向，r↑→a向↓(h为卫星距地面的高度.所以，半径越大，向心加速度越小。人造地球卫星有最小半径（地球半径R），对应向心加速度有最大值g，此值为近地卫星的向心加速度，也是地面上物体的重力加速度。例4：(1998年上海)发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道l，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点如图5-1-1所示，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是()A.卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B.卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度C.卫星在轨道2上经过P时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度D.卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于在轨道2上经过Q点时的加速度图5-1-1例5：土星外层上有一个环．为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度V与该层到土星中心的距离R之间的关系来判断：()A.若V∝R，则该层是土星的一部分B.若V∝R，则该层是土星的卫星群C.若V∝1／R，则该层是土星的一部分D.若V2∝1／R，则该层是土星的卫星群（3）地球同步卫星◎所谓地球同步卫星，是相对于地面静止的（在地球上的人观察时不动的卫星）．◎周期：T=24h◎轨道平面：必须在赤道平面，且为圆轨道.3P2Q14◎轨道半径：G2rMm=mrT224,3224GMTr=32224TgR=4.2×104km同步卫星离地面的高度：h=r–R=32224TgR－R=3.56×104km,h约为地球半径的5.6倍，也就是说：所有同步卫星必须在同一轨道上。◎环绕速度：rGMv=3．07km/s,为保持相对于地面静止，速度方向与地球自转方向相同，为自西向东运行，角速度与地球自转角速度相同：ω=T2=7.26×10-5rad/s.◎向心加速度：2222220.034/()GMRRaggmsrrRh向例6：下列关于地球同步卫星（通信卫星）的说法中，正确的是A．为避免通信卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上B．不同国家发射通信卫星的地点不同，这些卫星轨道不一定在同一平面内C．通信卫星只能运行在赤道上空某一恒定高度上D．通信卫星定点在地球上空某处，各通信卫星角速度相同，但线速度可以不同例7：我国自行研制发射的“风云一号”、“风云二号”气象卫星的飞行轨道是不同的．“风云一号”是极地圆形轨道卫星．其轨道平面与赤道平面垂直，周期为T1＝12h；“风云二号”是同步轨道卫星，其轨道平面就是赤道平面，周期为T2=24h．两颗卫星相比：离地面较高；观察到地球表面的范围较大；运行速度大．若某天上午8点“风云一号”正好通过赤道附近太平洋上一个小岛的上空．那么“风云一号”下一次通过该小岛上空将是·4.宇宙速度(1)第一宇宙速度(环绕速度)：计算方法：V1=gRRGM=7.9km/s。V1是人造地球卫星的最大环绕(环绕地球)速度,是人造地球卫星的最小发射速度(2)第二宇宙速度(脱离速度)V2=11．2km／s,是使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．(3)第三宇宙速度(逃逸速度)V3=16．7km/s,是使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．例8：某天体的半径为地球半径的2倍，质量为地球质量的1/8，则在该天体上发射一颗人造卫星所需的最小速度为。二、方法与技巧1.重力与万有引力的关系5严格地说：万有引力是重力与地球自转向心力的合力。一般地,重力等于万有引力，即：G2rMm=mg∴GM=gr2把该式称为恒等式（黄金代换式），在解题中常用。例9：月球质量是地球质量的1/81,月球半径是地球半径的1/4,在距月球表面38m高处,有一质量为m=60kg的物体自由下落,求物体下落时间?2.重力加速度随高度的变化关系在地面上或地面附近，重力加速度为恒量，即g=G2rM（r为地球半径不变）。注意：绕地面附近的人造地球卫星（近地卫星）的向心加速度也为g在距地面高为h处的重力加速度为g′，则：mg′=2hRGMm∴g′=ghRR2如：当h=R，即卫星距地面高度等于地球半径处的重力加速度为g′=g/4例10：宇航员在围绕地球做匀速圆周运动的空间站中会处于完全失重状态，下列说法中正确的是A．宇航员仍旧受重力的作用B．宇航员受力平衡C．宇航员受的重力正好充当向心力D．宇航员不受任何作用力例11：火箭内平台上放有测试仪器,火箭从地面上起动后,一直以加速度a=g/2竖直加速上升,当升到某一高度时,测试仪对平台的压力为刚起动时压力的17/18倍,已知地球半径R=6.4×106m,求火箭离地面的高度h?3.天体质量M、密度ρ的估算关键是找出物体的向心加速度a=rT224（1）质量：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T，由G2rMm=mrT224得M=2324GTr（2）密度：ρ=VM=334RM=3233RGTr（R为天体的半径）当卫星绕天体表面运行时，r=R，则ρ=23GT64.用万有引力处理天体问题的常用方法类比法（思维方法）比值法（运算方法）例12：在天体演变的过程中．红色巨星发生“超新星爆炸”后，可以形成中子星(电子被迫同原子核中的质子相结合而形成中子)，中子星具有极高的密度．(1)若已知某中子星的密度为1017kg/m3，该中子星的卫星绕它做圆轨道运动．试求该中子星的卫星运行的最小周期．(2)中子星也在绕自转轴自转．若某中子星的自转角速度为6．28×103rad／s．为了使该中子星不因自转而被瓦解，则其密度至少应为多大?(假设中子星是通过中子间的万有引力结合成球状星体．引力常量G＝6．67×10-11Nm2／kg2)例13：地球半径为R,地面的重力加速度为g,地球同步卫星离地面的高度为h,则地球同步卫星的线速度的表达式为.例14：一宇航员在某一行星的极地着陆时，发现自己在当地的重力是在地球上重力的0．01倍，进一步研究还发现，该行星一昼夜的时间与地球相同，而且物体在其赤道上完全失去了重力，试计算这一行星的半径R。(结果保留两位有效数字)5.人造卫星变轨问题处理方法引力约束：万有引力是向心力(两个约束的结果相同,即等效)机械能约束：∵r↑→E↑∵总机械能E=rMmGmv221=-rGMm2∴r↑（r是圆轨道半径）→E↑(势能表达式EP=rMmG不要求掌握)在某轨道上:若v↑→卫星需要的F向=mv2/r↑(能提供的不够)→离心→r↑→Ep↑r↑→F向↓→v↓→Ek↓→EP↑→E↑→所以低轨向高轨转移时，应加速卫星获得能量从上可知：（1）卫星从低轨向高轨转移时，在低轨上要加速，但变轨后，卫星的环绕速度将减小，反之，卫星的环绕速度将增加。（2）卫星在圆轨道上运动时，半径越大，卫星的总机械能越大;卫星在同一椭圆轨道上运动时，总机械能是不变的。例15：(2000全国)某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道7会慢慢改变。每次测量中卫星的运动可近似看作圆周运动，某次测量卫星的轨道半径为rl，后来变为r2，Ekl、Ek2表示卫星在这两个轨道上的动能，T1、T2表示卫星在这两个轨道上绕地球运动的周期，则()A.r2r1,Ek2Ek1，T2T1B.r2r1,Ek2Ek1，T2T1C.r2r1,Ek2Ek1，T2T1D.r2r1,Ek2Ek1，T2T1例16：宇宙飞船要与轨道空间站对接，飞船为了追上轨道空间站可以采取的措施()A.只能从较低轨道上加速B.只能从较高轨道上加速C.只能从同空间站同一高度轨道上加速D.无论在什么轨道上，只要加速都行6．关于近地卫星和赤道上的物体的对比(1)向心力的来源相同都是地球引力的作用，但大小不同，赤道上的物体的向心力是引力的一小部分。近地卫星的向心力是引力的全部.(