西南交通大学概率教案13(考研必备)

§4.3协方差及相关系数一、协方差二、相关系数定义3.1设(X,Y)为二维随机变量，称Cov(X,Y)=E{[X–E(X)][Y–E(Y)]}为X与Y的协方差。一、协方差1、协方差定义协方差是反映X与Y相互关系的特征量。由方差定义与协方差定义可知：D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)Cov(X,Y)=E(XY)–E(X)E(Y)证：D(X+Y)=E{[X+Y–E(X+Y)]2}=E{[(X–E(X))+(Y–E(Y))]2}=E{[X–E(X)]2}+E{[Y–E(Y)]2}+2E{[X–E(X)][Y–E(Y)]}=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)Cov(X,Y)=E{[X–E(X)][Y–E(Y)]}=E[XY–XE(Y)–YE(X)+E(X)E(Y)]=E(XY)–E(X)E(Y)其它解：因为0202141)(20xdyxfX例3.1已知(X,Y)的联合密度函数为试求Cov(X,Y)。其它020,204/1),(yxyxf其它0202141)(20ydxyfY相互独立。与，即YXyxfyfxfYX),()()(0),()()()(YXCovYEXEXYE，故于是其它解：因01021)()(10xxdyyxxfX其它，01010),(yxyxyxf例3.2已知(X,Y)的概率密度函数为试求Cov(X,Y)。其它01021)()(10yydxyxyfY127)(127)21()(10YEdxxxXE，类似地故31)()(1010dxdyyxxyXYE144112712731),(YXCov于是例3.3已知(X,Y)的联合分布律为试求Cov(X,Y)。XY01P{X=k}01/41/41/211/31/61/2P{Y=k}7/125/121，解：21211210)(XE12512511270)(YE616111310141104100)(XYE2411252161)()()(),(YEXEXYEYXCov)()(),(70YDXDYXCov2、协方差的性质),(),(10XYCovYXCov),(),(20YXabCovbYaXCov),(),(),(321210YXCovYXCovYXXCov)(),(40XDXXCov0),(50YXCovYX相互独立，则与若),(),(60YXacCovdcYbaXCov例3.4设随机变量X和Y相互独立,都服从正态分布N(,2),试求aX+bY与cX+dY的协方差。解:Cov(aX+bY,cX+dY)=Cov(aX,cX)+Cov(aX,dY)+Cov(bY,cX)+Cov(bY,dY)=acCov(X,X)+adCov(X,Y)+bcCov(Y,X)+bdCov(Y,Y)=acD(X)+(ad+bc)Cov(X,Y)+bdD(Y)=ac2+0+bd2=(ac+bd)2其它，01010),(yxyxyxf例3.5已知(X,Y)的概率密度函数为试求D(2X±3Y)。，，，知，解：由例1441),(31)(127)()(2.3YXCovXYEYEXE125)21()(1022dxxxXE且14411)(14411127125)]([)()(222YDXEXEXD同理)3,2(2)3()2()32(YXCovYDXDYXD故),(12)(9)(4YXCovYDXD144131144112144119144114)3,2(2)3()2()32(YXCovYDXDYXD),(12)(9)(4YXCovYDXD144155144112144119144114注：相关系数是反映X和Y相互关系的一个无量纲的特征量。定义3.2设(X,Y)为二维随机变量,D(X),D(Y),Cov(X,Y)分别为X,Y的方差与协方差,则称为随机变量X与Y的相关系数。)()(),(YDXDYXCovXY二、相关系数1、相关系数定义14411)()(1441),(5.32.3YDXDYXCov，知，、例解：由例其它，01010),(yxyxyxf例3.6已知(X,Y)的概率密度函数为试求XY111144111441)()(),(YDXDYXCovXY故2、相关系数的性质注:|XY|=1,称之为X与Y完全相关,充要条件是存在常数a,b,使P{Y=aX+b}=1。10|XY|1于是XY成为一个表征X,Y间线性关系紧密程度的量,当|XY|较大时,表示X,Y线性相关程度较高,反之较低。20若X,Y相互独立,且D(X),D(Y)0,则XY=0。注:若X,Y的相关系数XY=0,则称X与Y不相关。性质2表明X,Y相互独立时,X与Y不相关;反之,若X与Y不相关,则X,Y不一定相互独立(见下例)。X–101pk1/31/31/3例3.7设X的分布律为但,当(X,Y)服从二维正态分布时,X,Y不相关与X,Y相互独立是等价的。这是因为,当(X,Y)服从二维正态分布N(1,2,12,22,)时,X与Y相互独立的充要条件是=0。00),(0)()(0)()()(3XYYXCovYEXEXEXEXYE再由因为令Y=X2,显然X与Y不独立,但X与Y是不相关的