第四章狭义相对论

第12次课日期周次星期学时：2内容提要：第四章狭义相对论§4.1洛仑兹变换一．一．牛顿力学的时空观绝对时空观；力学相对性原理；伽利略变换；牛顿力学的速度相加原理；二．二．麦克斯韦电磁场理论的挑战三．三．爱因斯坦的选择四．四．洛仑兹变换五．五．例题。目的要求：1.了解牛顿的绝对时空概念，并能由之导出伽利略坐标变换和速度变换公式。2.理解爱因斯坦相对性原理和光速不变原理。3.理解洛仑兹变换公式并能正确进行坐标换算。了解相对论时空观和绝对时空观的不同以及洛仑兹变换与伽利略变换的关系。重点与难点:爱因斯坦的两条基本假定；洛仑兹变换及其应用。教学思路及实施方案：本次课应强调：牛顿的绝对时空概念，伽利略坐标变换和速度变换公式是紧密联系在一起的。爱因斯坦相对性原理和光速不变原理是狭义相对论的两个基本假定，承认这些假定，就等于否定了牛顿的绝对时空。关于洛仑兹变换应重点指出：1．洛仑兹正变换和逆变换是对称的，只差以(u)代u，这是因为在相对论中k和k系地位相当，k系不会比k系更优越。这与洛仑兹最早推出它的时候，理解上是不同的。2．比较洛仑兹变换和伽利略变换，最显著的区别是：后者t=t′，而前者的时间变换关系式中则含有空间坐标。时间不再是绝对的，而是和空间联系在一起，这是对牛顿的绝对时空的否定。3．洛仑兹变换式)当cu时就回到牛顿力学的伽利略变换式。因此科学理论的发展不是全盘否定已有的被实验证明了的理论，只是给已有的理论限定了适用范围并将已有的被实验证明了的理论作为极限情况包含在新的理论中。应强调用洛仑兹变换求解问题的一般方法是用适当的洛仑兹变换式彼此相减。教学内容：引言：以上三章介绍了牛顿力学最基本的内容。牛顿力学的基础就是以牛顿命名的那三条定律。这理论是在十七世纪形成的，在以后的两个多世纪里，牛顿力学以及整个经典物理学(大致可分为力学、声学、热学、光学和电磁学等分支)对科学和技术的发展起了很大的推动作用，而自身也得到了很大的发展。面对这些成就，在绝大多数物理学家的眼光里，物质世界的运动已经构成了一幅清晰的画面，基本问题都研究清楚了，留给下一代人所做的工作，将不过是把已有的实验做得更精密一些，使测量数据的小数点后面增加几位有效数字而已。例如，1900年，著名的英国物理学家开尔文(威廉·汤姆逊)在一篇瞻望二十世纪物理学的文章中说：“在已经基本建成的科学大厦中，后辈物理学家只要做一些零碎的修补工作就行了”，接着他又说：“但是，在物理学的睛朗天空的远处，还有两朵小小的令人不安的乌云”。这两朵乌云，指的是当时物理学无法解释的两个实验，一个是热辐射实验，另一个是迈克尔逊—莫雷实验。但是，连开尔文也没想到，正是这两朵小小的乌云，不久就发展成为物理学中一场革命的风暴。本世纪初建立的相对论和量子力学，对牛顿力学以及某些长期认为是不言自明的基本概念作出了根本性的改革。本章介绍相对论的基础知识，量子力学也将在本书第十二章中简单介绍。一．牛顿力学的时空观自古以来，空间概念来源于物体的广延性，时间概念则来源于过程的持续性。牛顿力学关于时间、空间的概念大致包括下列四方面的内容。(1)绝对时空观牛顿把空间和时间看作物理事件的框架(或载体)，一切事件都相对于它们而用空间坐标和时间坐标描述。具体地说，空间既作为物质世界位置性质的表现，又作为容纳一切物质客体的容器。在这两种空间概念的结合上，牛顿作了更进一步的假定：在空时坐标的参考系中，存在一种优越地位的“惯性系”。对于它来说，物体运动遵从惯性定律，即不受力的物体保持其原有的静止或匀速直线运动状态。当物体受力F时，按牛顿定律F＝ma产生加速度a，这时的加速度是相对于惯性系的坐标来定义和测量的。因此，在牛顿力学中，空间和时间不仅被看作为同物质一样的独立存在，而且还扮演了某种具有绝对意义的角色，它作为一个惯性系作用于一切物质客体。(2)力学相对性原理在经典力学中我们已知道，牛顿运动定律适用的参照系为惯性系，一个参照系是不是惯性系只能通过观察和实验来判断。我们还知道，相对于已知惯性系作匀速直线运动的任何参照系也都是惯性系，牛顿定律对这样的参照系同样适用。因此，若我们找到了一个惯性系，就会有无限多惯性系的存在。也就是说，力学现象对一切惯性系来说，都遵从同样的规律；或者说，在研究力学规律时一切惯性系都是等价的。这就是力学的相对性原理。这一原理是在实验基础上总结出来的。实践表明，它的确反映了物质和运动的客观性。(3)伽利略变换经典力学对上述原理有一个数学表达式，这就是伽利略变换。设有两惯性参照系K和K′，以速度u相对作匀速直线运动。在每一参照系中各取一直角坐标系。为方便起见，令这两坐标系各对应轴相互平行，X和X′沿运动方向（如图)。当0tt时两坐标系的原点O和O′重合。现在自K，K′系对同一质点P的运动进行观测。设在任一时刻t，得P的坐标各为(zyx,,)和(zyx,,）。从图上分析，显然有：(这里应用的是经典力学时空观)utxxyyzz或tuxxyyzz上式即为伽利略变换式。要注意的是，K′系的时间t′和K系的时间t是一样的，即tt。这意味着，K系的观察者和K′系的观察者可以共用一只钟，这和空间坐标不同，时间坐标是绝对的。(4)牛顿力学的速度相加原理从伽利略变换很容易推出经典力学的速度相加原理。将上式对时间求导，考虑到t=t′可得uvv这正是在第一章中已导出的伽利略速度变换式。由上面的推导可以看出它是以绝对的时空概念为基础的。将上式再对时间求导，可得出加速度变换公式。由于u与时间无关，所以有aa这说明同一质点的加速度在不同的惯性系内测得的结果是一样的。在牛顿力学里，质点的质量和运动速度没有关系，因而也不受参照系的影响。牛顿力学中的力只与质点的相对位置或相对运动有关，因而力也是和参照系无关的。因此，只要amf在参照系K中是正确的，那么，对参照系K′来说，牛顿定律也是正确的。换句话说，牛顿定律对伽利略变换是形式不变的。由上面的讨论可知，绝对时空观、伽利略变换、经典速度相加原理、力学相对性原理和无限多惯性系的存在，这五件事情是互相联系而不矛盾(或者说自洽)的。二．麦克斯韦电磁场理论的挑战在牛顿等人对力学进行深入研究之后，人们对其它物理现象，如光和电磁现象的研究也逐步深入了。十九世纪中叶，已形成了比较严整的电磁理论——麦克斯韦理论。它预言光是一种电磁波，而且不久也为实验所证实。在麦克斯韦电磁场理论中，解麦克斯韦方程组可推出光在真空中的速率由下式决定：001c其中，0，0是两个电磁学常数。将这两个值代入上式，可得81099.2cm/s。0，0与参照系无关，因此c也应该与参照系无关。这就是说在任何参照系中测得的光在真空中的速率都应该是这一数值。这一结论还特别为后来的很多精确的实验和观察(最著名的是1887年迈克尔逊和莫雷作的实验)所证实。它们都明确无误地证明光速的测量结果与光源和测量者的相对运动无关，亦即与参照系无关。光速的近代测定值为c（2997924581.2）m/s可见光或电磁波的运动不服从伽利略变换!为了解决伽利略变换和电磁规律的矛盾，只能有两种选择：(1)放弃相对性原理，保留伽利略速度变换法则。这种选择认为存在一种优越的坐标系(以太静止于其中)。光在它内部的传播是各向同性的，而在其余的参照系中，光速就不能是各向同性的。这样伽利略速度变换法则就可用。(2)保留相对性原理，放弃伽利略变换。根据第一种选择的思路，设计了迈克尔逊—莫雷实验(1887年)。当时认为电磁波是在所谓以太的介质中传播，因此以太可看作绝对空间的代表。光在其中的传播速度就是光在真空中的传播速度c。如果有一惯性系k，相对于绝对空间(或以太)沿电磁波传播的方向以速度u运动，那么自K′观测电磁波的传播，其速度就应该是ucc。若从地面上一点(地球是近似的惯性系)来测量在不同方向上(比如说，相互垂直的方向)传播的光速，那么由于地球的运动，沿不同方向测得的光速将有不同的量值。这样就可以借以判定地球相对于绝对参照系(绝对空间或以太)的运动，从而找出绝对参照系。—莫雷实验装置如教材图4.2所示。单色光从光源S发出，经半镀银玻片P分成两束。一束透过P向右，被反射镜1M反射折回P，再被P反射后进入望远镜E；一束被P射向上，被2M反射后折回，再透过P后也进入E。1l和2l分别为干涉仪的两个彼此垂直的“臂”的长度。整个装置浮在一个水银槽上，可以在水平面内平稳地转动，并保持光程21PMPM固定不变。t2设地球相对于绝对参照系的运动自左向右，速度为u。当装置处于如图所示的位置时，1PM与u平行，于是光束(1)在P、1M间来回所经路线也与u平行，而光束(2)在P、2M间来回所经路线则与u垂直。可以证明，光束(1)在P、1M间来回所需时间1t比光束(2)在P、2M间来回所需时间2t稍长。如把整个装置绕垂直于图面的轴线转90°，光束(1)、(2)所经路线正好互换，于是光束(1)所需时间1t就比光束(2)所需时间稍短。因而在转动过程中，就能从望远镜E观察到干涉条纹的移动。原以为按所设计的实验可观察到条纹的移动，并指望由此判定地球的绝对运动。但出乎意料，迈克尔逊和莫雷在1887年经过多次反复实验，都未观察到条纹的移动。这实验，后来经许多人加以改进并反复做过，都只能得到否定的结果，也就是始终没有观察到地球相对于以太(或绝对空间)运动的效应。当时许多科学家曾提出不同的假设来解释迈克尔逊—莫雷实验的否定结果，但很少有人怀疑伽利略变换的正确性，因而他们都失败了。以至于开尔文把这一悬案说成是物理学晴朗天空边际的一朵乌云。三.爱因斯坦的选择爱因斯坦选择了第(2)种方案，为此他提出了两条基本假定：(1)狭义相对论的相对性原理：一切彼此相对作匀速直线运动的惯性参照系，对于描写物质运动的一切规律来说都是等价的。这实际上是力学相对性原理的推广，这意味着电磁运动及别的形式的运动都和机械运动一样，遵从相对性原理。(2)光速不变原理：在彼此相对作匀速直线运动的任一惯性参照系中，所测得的真空中的光速都是相等的。这意味着爱因斯坦已假定光在真空中的速度c是极限速度。爱因斯坦的这两条基本假定彼此是有联系的、不矛盾的。因为光速不变性(与光源速度无关性)是真空中麦克斯韦方程组的推论，而这个方程组是电磁现象规律性的数学描述。所以要求光速不变成立，等于要求在真空中麦克斯韦方程组在两个相互作匀速直线运动的惯性系内都成立，也就是要求推广的相对论原理成立。但是爱因斯坦的这两条假定同一个优越的以太静止参照系的存在、同经典物理中的绝对时空观却是水火不相容的，例如：同时性的概念。四.洛仑兹变换牛顿力学的绝对时空观与两个惯性系之间的时空坐标变换——伽利略变换——是紧密联系在一起的。绝对时空观是伽利略变换的基础，而伽利略变换则是绝对时空观的反映和体现。爱因斯坦的新的空间—时间理论(相对论)一定包含一种新的空时坐标变换关系，它应当取代伽利略变换，这就是洛仑兹变换。洛仑兹变换可写为：正变换：221cvvtxx；yy；zz；2221cvcvxtt逆变换：221cvtvxx；yy；zz；2221cvcxvtt上式就是发生在同一客观时空点的“事件”反映在两个惯性系中的空间、时间坐标之间的变换关系，称为洛仑兹变换。在洛仑兹变换的推导过程中，除用了空间均匀、各向同性和时间的均匀性假设外，主要靠了光速不变原理，因此它的结论是符合相对性原理的。可以证明在此变换下麦克斯韦方程组的形式不变。1900年拉莫尔(L.Larmor)用这变换式成功地解释了迈克尔逊——莫雷实验。应指出以下几点：1．洛仑兹正变换和逆变换是对称的，只差以(u)代u，这是因为在K′系看K系是以速率u沿着负x′轴方向匀速运动的缘故。这也说明在相对论中k和k系地位相当，k系不会比k系更优越。这与洛仑兹最早推出它的时候，理解上是不同的。2．比较洛仑兹变换和伽利略变换，最显著的区别是：后者t=t′，而前者的时间变换关系式中则含有空间坐标。时间不再