第四章矩阵

75第四章矩阵§1基本知识§1.1基本概念1、矩阵（同型矩阵）：2、矩阵的相等：3、矩阵的加法：4、数乘矩阵：5、矩阵的减法：6、矩阵的乘法：7、矩阵的转置：8、单位矩阵：9、数量矩阵：10、零矩阵与负矩阵：11、分块矩阵：12、可逆矩阵与逆矩阵：13、初等矩阵：14、对称矩阵与反对称矩阵：15、退化（或奇异）矩阵与反退化（或非奇异）矩阵：16、伴随矩阵：17、对角矩阵（分块对角矩阵）：§1.2基本定理1、初等变换的性质定理：对一个矩阵施行一次行（列）初等变换相当于用一个相应的初等矩阵左（右）乘这个矩阵，即：设BA,为nm矩阵，则（1）AjiPBBAmmrrji),(),(，这里),(jiPmm是mm初等矩阵；),(),(jiAPBBAnnCCji这里),(jiPnn是nn初等矩阵；（2）AkPBBAmmkri)(，这里)(kPmm是mm初等矩阵；)(kAPBBAnnkCi，这里)(kPnn是nn初等矩阵；（3）AkjiPBBAmmkrrji))(,(，这里))(,(kjiPmm是mm初等矩阵；))(,(kijAPBBAnnkCCji这里))(,(kijPnn是nn初等矩阵.2、矩阵可逆的判定定理：（1）n阶矩阵A可逆0||A；且可逆时，有AAA||11.76（2）n阶矩阵A可逆A等价于n阶单位矩阵，即A可以通过初等变换化为单位矩阵EPAQQPnE使得阶可逆矩阵存在,,；（3）n阶矩阵A可逆A与n阶单位矩阵行等价，A可以通过行初等变换化为单位矩阵EPAPnE使得阶可逆矩阵存在,；（4）n阶矩阵A可逆A与n阶单位矩阵列等价，A可以通过列初等变换化为单位矩阵EAQQnE使得阶可逆矩阵存在,；（5）n阶矩阵A可逆A可以表示为n阶初等矩阵的乘积；（6）n阶矩阵A可逆nAR)(，即A的行（列）向量组是线性无关组.§1.3基本性质1、矩阵的运算性质：（1）交换律：ABBA；（2）结合律：)()()(),()(),()(ABkkBABkABCACABCBACBA；（3）分配律：CABAACBACABCBA)(,)(；lAkAAlkkBkABAk)(,)(；（4）在一个多项式的等式中，将变元x用一个n阶矩阵A替换后（常数项应替换为该项常数与n阶单位矩阵E的乘积），得到的是一个矩阵等式；（5）TTTTTTTTkAkABABAABAB)(,)(,)(；（6）对角形矩阵的乘积是对角形矩阵，且设nnbbbBaaaA2121,则：nnbababaAB2211；2、矩阵可逆的性质：（1）可逆矩阵一定是非奇异矩阵；（2）可逆矩阵的逆矩阵是唯一确定的；（3）可逆矩阵的逆矩阵是可逆矩阵，且AA)(1传递性；（4）可逆矩阵的乘积是可逆矩阵，且乘积的逆矩阵等于逆矩阵的乘积颠倒顺序，即若77),2,1(miAi均是n阶可逆矩阵，则mAAA21是可逆矩阵，且：11111121)(AAAAAAmmm；（5）可逆矩阵A的转置TA是可逆矩阵，且TTAA)()(11；3、初等矩阵的性质：（1）初等矩阵都是可逆矩阵，且:))(,())(,()),/1(())((),,(),(111kjiPkjiPkiPkiPjiPjiP；（2）初等矩阵的转置是初等矩阵，且))(,())(,()),(())((),,(),(kijPkjiPkiPkiPjiPjiPTTT；4、分块矩阵的性质（1）分块矩阵的加法满足交换律；加法与乘法满足结合律；乘法对加法满足两个分配律；分块对角矩阵的乘积是分块对角矩阵；（2）设rtrrttAAAAAAAAAA212222111211是一个分块矩阵，那么TrtTtTtTrTTTtrTTTAAAAAAAAAA212221212111；（3）设),2,1(miAi都是方阵，那么分块对角矩阵mAAAA21可逆的),,2,1(miAi都是可逆矩阵，且112111mAAAA；（4）分块矩阵的初等变换具有和一般矩阵的初等变换的性质定理类似的性质；（5）设BA,分别是nm,阶方阵，DC,分别是mnnm,矩阵，则分块矩阵BDABCA0,0是可逆矩阵BA,是可逆矩阵，且：78111111111100,00BDABABDABCBAABCA；（6）设BA,分别是nm,阶方阵，则分块矩阵00BA可逆BA,均可逆且0000111ABBA.§1.4基本运算矩阵的运算包括矩阵的加、减、乘、数乘、幂与转置运算，对分块矩阵同样有上述运算.如下关于矩阵乘法的结论比较重要，读者应该理解并记忆：（1）、AB的第i行等于A的第i行左乘B；（2）、AB的第i列等于B的第i列右乘A.1、矩阵的加法（减法）：2、数乘矩阵：3、矩阵的乘法：4、矩阵的幂：5、矩阵的转置：§2基本题型及其常用解题方法§2.1矩阵可逆的判定与证明和逆矩阵的计算1、利用定义例4.1设n阶方阵A满足0kA，其中k为正整数，证明：AE为可逆矩阵，并求1)(AE，这里E为n阶单位矩阵.分析由)1)(1()1)(1(111xxxxxxxkkk，用A替换x并利用条件0kA，便不难得到结论.证明：因为EAEAAEAEkk))((1，79EAEAEAAEkk))((1，故：AE可逆且11)(kAAEAE.说明①利用定义证明A可逆，便是要证存在B，使得EBAAB，但由方法2可知只要能证明EAB成立，或EBA便可，祥见例4.2；②将一个多项式等式中的未知量x，用一个方阵A替换便得一个矩阵等式.比如),()()(xhxgxf则)()()(AhAgAf.但要注意：多项式中的常数项C应替换为CE，如AAfAEAfxxf2)(,2)(,2)(是没有意义的.2、利用矩阵的行列式及其伴随矩阵这一方法的理论依据是n阶方阵A可逆0A，且可逆时，AAA11，其中A是A的伴随矩阵.说明①11,1)(AAAAAA；②AAAAAn21)()(.例4.2设BA,为两个n阶方阵，如果EAB或EBA，其中E为n阶单位矩阵，证明A可逆且BA1.证明仅证EAB的情形（类似证明EBA的情形）.因为EAB，所以1BA，从而0A，故A可逆且BEBBAAABAEAA)()(1111.例4.3（97,6分）设A为n阶非奇异矩阵，为n维列向量，b为常数.计分块矩阵bAQAAIPTT,0，其中A是A的伴随矩阵，I是n阶单位矩阵.(1)计算并化简PQ；(2)证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是bAT1.解(1)AbAAAAAbAAAIPQTTTTT0而1,AAAIAAA，因此0TTTTAAAAA，)(1AbAAbATT，故：80)(01AbAAPQT(2)由(1)得)(12AbAQPT，而AP，因此)(1AbAQT，故：Q可逆的充分必要条件是0)(1AbAQT，即01AT.说明①0TTAAA，这里的0是一行n列的零矩阵；②1AAATT是一行一列矩阵，因此已是一个数.3、利用因式分解这一方法的理论依据是例4.2.例4.4题目同例4.1.证因为EAEAAEAEkk))((1，故：AE可逆且11)(kAAEAE.说明①与例4.1比较，这里只需证明EAAEAEk))((1便得结论；②给定一个矩阵等式，要证明某个矩阵A可逆，常常是从这个矩阵等式出发进行因式分解得EAB，从而得结论.例4.5（01,3分）设矩阵A满足042EAA，其中E为n阶单位矩阵，证明EA可逆，并求1)(EA.分析由)2)(1(22xxxx结合042EAA便得EEAEAEEAEA)2(21)(,2)2)((.证因为042EAA，所以,2)2)((EEAEA从而EEAEA)21)((，故：EA可逆，且EAEA21)(1.说明①若本题改为证明EA3可逆，并求1)3(EA，考生可在草稿纸上从等式)0())(3(bbEaEAEA出发得0)3()3(2EbaAaA与条件042EAA比较得43,13baa，从而8,4ba，81即知由042EAA可得EaEAEA8))(3(，从而EEAEA)2181)(3(，故：EA3可逆且EAEA2181)3(1；②解矩阵方程常常需要利用方法4.3.例4.6（98,3分）设矩阵BA,满足EBABAA82，其中100020001A，E为3阶单位矩阵，A是A的伴随矩阵，则________B.解因为EBABAA82，所以EBAAE8)2(，故：1111)2(8))2((8)2(8EAAAEAAAEB又：4000800042000400022000400022EAA故：4100081000414000800041B.4、利用矩阵的初等变换这一方法的理论依据是(1)n阶方阵A可逆A可以通过行初等变换化成单位矩阵E；1AEEA(2)n阶方阵A可逆A可以通过列初等变换化成单位矩阵E,1AEEA.例4.7（01,6分）已知矩阵011101110,111011001BA，且矩阵X满足：EBXAAXBBXBAXA，其中E是3阶单位矩阵，求X.分析由EBXAAXBBXBAXA，利用因式分解不难得：EBAXBA)()(，从而11)()(BABAX，问题转化为逆矩阵1)(BA的计算.解821001001100102110011001000101100112011001000101100011113132221rrrrrrEBA故：100110211)(1BA，又由EBXAAXBBXBAXA，可得EBAXBA)()(，故：100210521100110211100110211)()(11BABAX.5、利用可逆矩阵和初等矩阵的性质例4.8（01,3分）设1000001001000001,0001010000101000,,214142434431323334212223241112131444434241343332312423222114131211PPaaaaaaaaaaaaaaaaBaaaaaaaaaaaaaaa