西城区2003年抽样测试高三数学(理科)试卷

北京市西城区2003年抽样测试高三数学试卷（理科）2003．5学校___________班级___________姓名___________参考公式：三角函数的和差公积公式2cos2sin2sinsin2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscos圆台的体积公式)(3122rrrrhV圆台其中r′、r分别表示上、下底面半径，h表示圆台的高。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。每小题选出答案后，用铅笔在下表中将对应答案标号涂黑。（1）双曲线1222xy的两个焦点坐标分别是（）（A）)0,3(，)0,3(（B）)3,0(，)3,0(（C）（-1，0），（1，0）（D）（0，-1），（0，1）（2）下列四个函数中，在区间（0，1）上为增函数的是（）（A）xy2log（B）y=sinx（C）xy)21(（D）y=arccosx（3）如果复数ibi212（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）（A）2（B）32（C）32（D）2（4）α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定平面α与β平行的是（）（A）m，n是α内两条直线，且m∥β，n∥β（B）α，β都垂直于平面γ（C）α内不共线三点到β的距离都相等（D）m，n是两条异面直线，m，n，且m∥β，n∥α（5）函数xxy2cos22sin的最大值是（）（A）12（B）12（C）3（D）2（6）在等比数列}{na中，)0(65aaaa，baa1615，则2625aa的值是（）（A）ab（B）22ab（C）ab2（D）2ab（7）某人制定了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览。如果A、B为必选城市，并且在游览过程中必须按先A后B的次序经过A、B两城市（A、B两城市可以不相邻），则有不同的游览线路（）（A）120种（B）240种（C）480种（D）600种（8）设偶函数||log)(bxxfa在（0，+∞）上单调递减，则f（b-2）与f（a+1）的大小关系是（）（A）f（b-2）=f（a+1）（B）f（b-2）f（a+1）（C）f（b-2）f（a+1）（D）不能确定（9）P是双曲线)0,0(12222babyax右支上一点，1F、2F分别是左、右焦点，且焦距为2c，则21FPF的内切圆圆心的横坐标为（）（A）a（B）b（C）c（D）a+b-c（10）设函数f(x)的定义域为D，如果对于任意的Dx1，存在唯一的Dx2，使Cxfxf2)()(21（C为常数）成立，则称函数y=f(x)在D上的均值为C。给出下列四个函数：①3xy；②y=4sinx；③y=lgx；④xy2则满足在其定义域上均值为2的所有函数是（）（A）①②（B）③④（C）①③④（D）①③二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。（11）把参数方程cos1sinyx（α是参数）化为变通方程，结果是_____________。（12）nnn)2(421)2(lim2=_____________。（13）一个圆台的高是上下底面半径的等比中项，这个圆台高为1，母线长为3，则这个圆台的体积为_____________。（14）已知|a+b|-c（a、b、c∈R），给出下列不等式：①a-b-c；②a-b+c；③ab-c；④|a||b|-c；⑤|a||b|-c。其中一定成立的不等式是：_____________。（注：把成立的不等式的序号都填上）。三、解答题：本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（15）（本小题满分12分）已知5102cos2sin，),2(a，21)(tg，求tg（α-2β）的值。（16）（本小题满分13分）四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，并且∠DAB=60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD。（I）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）求二面角A-BC-P的大小；（Ⅲ）设E为BC边的中点，F为PC中点，求证：平面DEF⊥平面ABCD。（17）（本大题满分13分）某家用电器的生产厂家根据其产品在市场上的销售情况，决定对原来以每件2000元出售的一种产品进行调价，并按新单价的八折优惠销售，结果每件产品仍可获得实际销售价20%的利润。已知该产品每件的成本是原销售单价的60%。（I）求调整后这种产品的新单价是每件多少元？让利后的实际销售价是每件多少元？（Ⅱ）为使今年按新单价让利销售后的利润总额不低于20万元，今年至少应销售这种产品多少件？（每件产品利润=每件产品的实际售价-每件产品的成本价）（18）（本小题满分14分）函数y=kx（k0）的图象与函数xy2log的图象交于1A、1B两点（1A在线段1OB上，O为坐标原点），过1A、1B作x轴的垂线，垂足分别为M、N，并且MA1、NB1分别交函数xy4log的图象于2A、2B两点。（I）求证：2A是MA1的中点；（Ⅱ）若21BA平行于x轴，求四边形1221BBAA的面积。（19）（本小题满分16分）已知数列}{na是由正数组成的等差数列，nS是其前n项的和，并且53a，2824Sa。（I）求数列}{na的通项公式；（Ⅱ）证明：不等式332121)11()11)(11(21naaan对一切n∈N均成立；（Ⅲ）若数列}{nb的通项公式满足)(23Nnabnn，nT是其前n项的和，试问整数312是否是数列}{nnTb中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，请说明理由。（20）（本小题满分16分）已知椭圆C的方程为)0(12222babyax，双曲线12222byax的两条渐近线为1l、2l，过椭圆C的右焦点F作直线l，使1ll，又l与2l交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B（如图）。（I）当1l与2l夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）求||||APFA的最大值。西城高三数学（理科）参考答案及评分标准2003．5一、选择题BBCDACDCAD二、填空题（11）1)1(22yx；（12）6；（13）35；（14）①②④。三、解答题（其他解法仿此给分）：（15）解：∵5102cos2sin，∴52sin1，∴53sin。………………2分∵),2(，∴54sin1cos2。………………………………4分∴43tg。…………………………………………6分∵21)(tg，∴21tg………………………………8分∴341222tgtgtg。……………………10分∴247212)2(tgtgtgtgtg…………………………12分（16）（I）证明：取AD中点G，连结PG。∵△PAD为等边三角形，∴PG⊥AD。又由已知平面PAD⊥平面ABCD。∴PG⊥平面ABCD。…………………………3分连结BG，BG是PB在平面ABCD上的射影。由于四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴△ABD，△BCD均为等边三角形。∴BG⊥AD，∴AD⊥PB。………………………………5分（Ⅱ）解：∵AD∥BC，∴BG⊥BC，PB⊥BC。∴∠PBG是二面角A-BC-P的平面角。………………………………7分又PG，BG分别是两个边长相等的等边三角形的高。∴PG=BG。∴∠PBG=45°。即二面角A-BC-P的平面角为45°。……………………9分（Ⅲ）解：DE是等边三角形BCD的中线，∵BC⊥DE。∴E、F分别是BC、PC中点，∵EF∥BP，∴BC⊥EF。…………………………11分∴BC⊥平面DEF，∴平面DEF⊥平面ABCD。……………………………………13分（17）（I）解：设每件产品的新单价是x元。由已知，该产品的成本是2000×60%=1200（元）。…………………………1分由题意：x·80%-1200=20%·80%·x…………………………………………4分解得x=1875（元）。………………………………………………6分∴80%·x=1500（元）。所以，该产品调价后的新单价是每件1875元，让利后的实际销售价是每件1500元。………………………………8分（Ⅱ）解：设全年至少应销售这种电子产品m件，则由题意，m（1500-1200）≥200000，…………………………11分解得32666m。∵m∈N∴m最小值应为667（件）。所以，全年至少售出667件，才能使利润总额不低于20万元。…………………………13分（18）（I）证明：设)0,(1xM、)0,(2xN。则)log,(1211xxA，)log,(1412xxA……………………2分∵1421212log2loglog2xxx，∴||2||21MAMA。即2A为MA1的中点。……………………4分（Ⅱ）解：∵xBA//21轴，∴2412loglogxx。∴212xx，……………………6分∵O、1A、1B三点共线，∴222112loglogxxxx…………9分∴211221212112log2loglogxxxxxx，解得21x，………………………………11分∴42x。此时，)1,2(1A，)2,4(1B，)21,2(2A，)1,4(2B。于是|MN|=2，21||21AA，1||21BB。…………………………13分∴四边形1221BBAA的面积23|)||(|2||2121BBAAMNS………………14分（19）（I）解：设数列}{na的公差为d，由已知得28)3)(2(,52111dadada……2分∴(5+d)(10-3d)=28，∴022532dd，解之得d=2或311d。∵数列}{na各项均正，∴d=2，∴11a。∴12nan。……………………4分（Ⅱ）证明：∵n∈N，∴只需证明12332)11()11)(11(21naaan成立。…………………6分（i）当n=1时，左=2，右=2，∴不等式成立。……………………7分（ii）假设当n=k时不等式成立，即12332)11()11)(11(21kaaak。那么当n=k+1时，)11)(11()11)(11(121kkaaaa1222332)11(123321kkakk………………8分以下只需证明323321222332kkk。即只需证明321222kkk。…………9分∵01)3212()22(22kkk。∴32332)11()11)(11(121kaaak1)1(2332k。综合（i）（ii）知，不等式对于n∈N都成立。……………………10分（Ⅲ）解：由已知242nbn。)23()24222(2nnnnTn。∴)23()242(nnnTbnn……………………11分解不等式0nnTb，得n0或12n23。∴当12n23，n∈N时，0nnTb，当121n或n≥23，n∈N时，0nnTb。……………………13分而当12n23时，)246()12()23()242(nnnnnnTbnn3312)334(。∴312不是数列}{nnTb中的项。………………16分（20）（I）解：∵双曲线的渐近线为xaby，两渐近线夹角为60°，又1ab。∴∠POx=30°。∴3330tgab，………………2分∴ba3。又c=2，222cba，∴4322bb。∴12b，32a。∴椭圆C的方程为1322yx。…………4分∴